Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 80
Текст из файла (страница 80)
4Л) 1 1 Аналогично о'; в М(55,) надо заменить на ~ 2' В1,а1т, причем 1 значения В1, получаются, если положить у1Рл = 1, а все остальНЫе у!1=0 В 55,=т,'(ХХУ!'0-7.У, 'т), где т,=2„(У! — 1); таким образом, мы получаем В,, =т, '(! — У,'1). Итак, о~ заменяется в М (55,) на "'ХХ(! — У 'Уон. / (! 0.4.6) В случае, когда все ошибки в Ргруппе имеют одинаковые дисперсии о'„= оо (10.46) превращается в (У вЂ” 1) -' (У (от),„— — (о~) „], где (о'),„— невзвешенное среднее (о'-,.), а (о')„,— взвешенное среднее с весами (У1); формула (10.4.6) превращается во взвешенное среднее с весамн (У! — 1).
Если все (Ц равны, эти различные средние равны друг другу; мы получаем результат, совпадающий с результатом, полученным по последней части правила с равными числами наблюдений в ячейках. Из сформулированного выше правила вытекают следуюшне преимушества равных чисел наблюдений в ячейках в случае нарушения равенства дисперсий в полных классификациях. Напомним определение (9 9.1) несмещенного плана проверки гипотезы а1„=0, где а'„означает ое, входящее в формулы М(55). Определение состоит в том, что существуют два таких 55, что соответствующие М (55) различаются на со'„, где с — известная ненулевая константа.
Так как прн независимых ошибках н равных числах наблюдений В ячейках о,'- заменяются в каждом М(55) на одно н то же среднее дисперснй, то план с равными числами наблюдений в ячейках, несмещенный для проверки о,'=0 в условиях равных дисперсий, продолжает быть несмещенным, когда это условие нарушается. То, что это неверно вообще для планов с неравными числами, видно из проведенных выше вычислений для однофакторного анализа (таблица 10.4.1). В остальной части этого параграфа мы рассмотрим критерий для средних в моделях с постоянными факторами с незавпСимыми нормальными ошибками.
В этом случае имеются неко- 400 ГЛ. 10. ВЛИЯНИЕ НАРУШЕНИЯ ОСУ!ОВНЫХ ПРЕДПОЛОМ<ЕННИ Т а б л и ц а 10.4.1'). Влияние неравенства дисперсий популяций нв веронтяость ошибки первого рода двустороннего 2-критерия для проверки равенства средних с 58/е номинальным уровнем значимости /! и /, равны объемам выборок, О о,)'ои, а от по. равны дисперсиям популяциЙ (1! 121 !о 0,2 О,г 0,098 0,072 0.058 0.050 0,020 0,050 0,025 0,038 0,05! 0,32 0,22 0,072 0,002 0,030 0,072 0,008 0,03! 0,058 0,005 0,030 0,053 0,18 0,10 0,063 0,23 0,14 0,070 (15.5) (5,3) (7,7) «1 Заимствована ив Сои1г!Ьицоив го 1Ье 1Ьеогу ог 51одеитв 1-1евг вв вррн*д !о Ше ргомеив ог Нсо ввюр!ев.
Р. 1. Нво, 5!иг. ЙевевгсЬ Метами, т. 2. Пшвв1, стр. 12, ') Их вычислил Сюй (Нвп, 1938). ") Сюй (Нзц, 1938а) доказал общий результат, а именно: вероятность ошибки первого рода 1-критерия проверки равенства средних прп любых Х, = /, н любом а. является строго убывающей функцией ог О, котла О изменяется от 0 до 1, и строго возрастающей функцией от О, ко~да О измеНяется от 1 до оо.
торые точные результаты, относящиеся к вероятностям ошибок первого рода. В таблице 10.4.! даются вероятности е) ошибок первого рода двустороннего /-критерия по проверке равенства двух средних с 5% номинальным уровнем, когда дисперсии популяций находятся друг к другу в отношении 0=02/022 а объемы выборок равны (/1, /2) = (15,5), (5,3) и (7,7). Эта же таблица также дает вероятность того, что доверительный интервал с номинальным доверительным коэффициентом 95% не покрывает истинную разность средних. Наши выводы в $ 10.2 о том, что при больших выборках исследуемое влияние мало при равных объемах групп и может быть значительным при неравных объемах, переносится, таким образом, и па случай малых выборок.
Более того, наш вывод в случае больших выборок о том, что в однофакторном анализе с / равными группами при неравенстве дисперсий в группах истинная вероятность ошибки первого рода превышает номинальную вероятности, когда / з» 2, при малых выборках 'е) действует даже для / = 2. Ниже мы рассмотрим случай, в котором осуществляется этот результат при / 2- 2 и малых объемах групп. Вероятности, помещенные в таблице 10.4.2, вычислены для однофакторного анализа с помощью теоремы, которая позволяет при некоторых условиях найти распределение отношения 4 ю 4 исслгдовлппг. влияния нснлнвпстпл виспа спо 4щ Т в бляд в 10.4.2*).
Влнянне неравенства днсперснй на вероятность ошибки первого рода Р-крнтервн для проверки равенства средних в однофакторном анализе с зв/з номинальным уровнем и — обшее число ниблюдений, )ги — кввдрвт коэффнпнентн вариаций в группах Отношение ввсперсив в Вероятность н ошибки первого рода Числа групп г 1 — т ! + — !' и Объемы групп Рй группах 1 1) 5,5,5 3,9,3 7,5,3 3. 5,7 5, 5, 5 7, 5, 3 9, 5, 1 1, 5, 9 5, 5, 5, 5, 5 9, 5, 5, 5, 1 1, 5, 5, 5, 9 3, 3,...,3, 3 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 21 0,056 0,056 0,092 0,040 0,059 0,11 0,17 0,013 0,074 0,14 0,025 0,12 1:2:3 1,12 0,25 1;1;3 0,48 1,24 1:1:1:1:3 1.1...41:7 0,40 1,3! 1,49 2,24 '! Звнмствовзно из зогпе шеогегпз оп чнздгв!!с 1оппз зррпед 1п ше в1иду о1 впв!уз!з а1 твг!нпсе ргомешз, 1, Енес! о! !песня!ну о1 хит!зисе !п Ше опетнву с1взшигвноп, О, В.
р. Во», Л . Мв!Ь'. Шз1, М Овыв), стр. тм. *) Бокс (Вох, 1954а) двух квадратных форм от центрированных нормальных случайных величин в). Рассмотрим сначала четыре строки этой таблицы с группамн равных объемов (эти строки выписаны сразу после горизонтальных линий). Формула (10,2.19) показывает, что в этом случае отклонение вероятности от ее номинального значения 5$, должно быть положительным, если дисперсии в группах (от) не равны друг другу, причем это отклонение возрастает вместе с множителем 1+(! — 2) (/ — 1)-117„, где )Уо — квадрат коэффициента вариации дисперсий в группах, Все это имеет место в настояшем случае. Обозначим 0 отношение максималь- НОГО ЗНаЧЕНИя (О';) К МИНИМаЛЬНОМу, МОЖНО ПОКаЗатЬ, ЧтО (ун будет при фнксированном 0 максимальным, когда 1ат) находятся в отношении 1: 1: ...: 1: 0.
Последняя строка с 9 = 7 включена в таблицу для того, чтобы показать, как велико может быть отклонение в крайне неблагоприятном случае, который, по-видимому, на практике обычно не встречается. В двух остальных, если не во всех трех, строках с равными объемами групп отклонения можно считать терпимыми. Однако этого 409 гл. 1о. Влияние ИЛРушения ОснОВных пРгдпОлОженни нельзя сказать о шести из восьми строк с неравными объемамп групп. Некоторые вероятности *) в двухфакторном анализе с одним наблюдением в каждой ячейке помещены в таблице 10.4З.
Эти вероятности вычислены в случае, когда ошибки в ячейке ((,1) имеют одну и ту же дисперсию о,'. =О',. в 1-й строке, При гипотезе Ол отсутствия эффектов строки распределение 55л совпадает с только что рассмотренным распределением в однофакторном анализе с равными числами наблюдений; в то же время 55, определяется иначе. Поскольку в этом случае 554 и 55, оказываются независимыми (а 55а и 55,— нет), то можно применить приближение (о котором говорится после формулы (!0.2.19)), приводящее к центральному г-распределению. Так же, как в однофакторном анализе, истинные вероятности ошибок первого рода при проверке Ол всегда превышают номинальные вероятности.
Ситуация, возникаюгцая при проверке гипотезы На отсутствия эффектов столбцов, отличается от рассмотренного выше случая однофакторного анализа, так как в первом случае дисперсии внутри столбцов различны, а во втором случае они постоянны внутри групп, Заметим, что в этом случае все истинные вероятности меньше номинальных. Ни адно из отклонений нельзя признать слишком большим '*) (таблица 10.4.3). Почти все, что известно о влиянии неравенства дисперсий на мощность г'-критерия, содержится на рис. 10.4.1 и 10.4.2***), которые представляют собой графики мощности г"-критерия для проверки равенства средних с поминальным 5огр уровнем в однофакторном анализе с четырьмя группами **"'). Каждыгг ') Получены Боксом (Вох, 1954б).
Я переменил местами строки и столбпы, чтобы согласовать обозначения с принятыми н настоящей главе. Оба результата (этот и тот, который будет изложен н $10.5) для днухфакторного анализа получены Боксом с помощью общих теорем, а которых наши столбцы (его строки) незанисимы и имеют одно и то же 1-мерное нормаль. ное распределение. ") Бокс (Вох, !9546) на стр. 493 замечает: «сраанение последних че. тырех строк таблицы показывает, что приближение действует хуже а критерии по строкам, когда число строк больше числа столбцов, и хуже и нритерин по столбцам, ногда число столбцов больше числа строк».
'**) Численные расчеты для графикон рнс. 10.4.1 и 10.4.2 произведены Хорснеллом (Ногзпсн, 1953), который основывался на методах Дэаида и Джонсона (Оач)б, зоЬпзоп, 1951). Вюй (Нзц, 1938а) получил некоторые точ. ные результаты относительно влияния неравенства дисперсий на мощность Ькритерня проверки разности двух средних; однако трудно оценить их практическое значение. **'*) Заимствовано из Тпе еНес1 о! ппецпа! ягопр чаггапсез оп (не Г-(езг!ог )гогпоеепену о! ягоцр гпеапз, 6.
Ногзпен, В!оше1гжа, т. 40 (1953), стр. 134. 404 ГЛ. !О. ВЛИЯЗИ!Е ИАРУШЕНИЯ ОСНОВНЪ|Х ПРЕДПОЛОЖЕНИП из шести графиков построен по четырем (отмеченным на рисунках) точкам, ординаты которых получены с помощью аппроксимаций, основанных на моментах. Во всех случаях дисперсии групп находятся в отношении сг',: сг'.'о': о,'=1: 1: 1: 3, объемы групп с равными дисперсиями равнй объемы групп трех графиков каждого рисунка равны (Ун 1м уз, 74) = (7, 7, 7, 19), 8йд ь йо ь ф4» ййг ь ' Ю» Рг ГУ 4Р гР г»Р Рнс.
!0.4.2. Неравное среднее находнгсн в группе с большой днсперсней аз!аа:аз:аз 1!1:1:3 з з Ключ (10,!0,10, 10) и (12,!2,!2,4), так что общее число наблюдений всегда равно 40. Три из истинных средних (1г!) равны друг другу, а одно — отлично от них. !(а рис. 10.4.1 это последнее сРеднее находитсЯ в гРУппе с малой диспеРсией: 14!оь Ра = = из = рч', на рис. 10.4.2 оно находится в группе с большой дисперсией: и! = На = Из Ф рч.
Если все дисперсии (оз) равны оз, то параметр нецентральности ф следует определять по формулам ($2.8) 4 Ф.а Вл!!яник стлтнстическои злвг1симости 405 Ъ «'с где т,=! — 3 и р=~ Уг)г,/г уг. На наших рисунках по оси абсцисс откладывается гр, которое вычисляется по (10.4.7), если вместо па подставить (оа).„=~ У,.оа/) уг На каждом рисунке прерывистой линией нанесен график для случая равных дисперсий, Выводы из этих графиков читатель может сделать сам. Возможно, его выводы совпадут с выводами автора этих графиков*) и автора настоящей книги, заключающимися в том, что можно пользоваться, вообще говоря, схемой с равными объемами групп; если же мы уверены, что некоторые группы имеют большие дисперсии, то в этом случае не будет вреда, если в этих группах будет сделано больше наблюдений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
