Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Они использовали его также дли исследования влияния неравенства диспер. сий, однако применили только а случае двухфакторного анализа с одним наблюдением в ячейке. Приведенное нами в таблице !0.4,3 сравнение с точными результатамн показывает очень хорошее согласие. Это сравнение про. изведено Боксом. чч) При условии, что у попадает в Я(уь) (в обозначениях й 9.3). 'ь") Я не касаюсь здесь схемы случайных блоков, рассмотренной Боксом и Лндерссиом (Бох, Лпйегзеп, 1955), поскольку претположсние независимости и одинаковой распределенности ошибок кажется нереалистичным в свете нашей моделя й 9.1. ! 10.2. Нсследопл11ие Влияння !1ш юрмплы1остп 395 критерий мы изучали в 9 9.3). В этом случае справедливость перестаповочного критерия зависит не от рапдомизации «внутри блоков», образованных уровнями фактора В, а от симметричности функции распределения при УУл, причиной которой является предположение независимости и одинаковая распределенность ошибок.
В $9.3 мы нашли, что относительно перестановочного распределения (У Мр((У) является не зависящей от наблюдений константой, а )рр((У) представляет собой линейную функцию статистики )2, определенной (9.3.16); эту статистику можно рассматривать как квадрат выборочного коэффициента вариации «д1!сперсии блоков», Таким образом, М„((У2) также является линейной функцией )У. Отсюда можно сделать следующие выводы о безусловных моментах (У, вычисленных по (!03.1): М((У) является константой Мр((У), а для получения М((У2) надо в Мр(()2) вместо )' подставить М()У), вычисленное относительно распределения У выборки. Так как числа ст.
св. приближенного р-распределения являются фупкциямн только первых двух моментов, то для получения чисел ст. св. в случае У мы можем в формулах для чисел ст. св. в случае перестановочного критерия подставить М()!) вместо )У. Применяя этот способ к (9.3.15), мы получаем, что числа ст. св. в случае У получаются путем умножения чисел ст.
св., полученных в нормальной теории, на множитель ! 2 ! — у 'и (Г) у (у — !) Рассматривая это выражение с точностью до порядка У-', получаем 1+ У-' !М()') — 2(У вЂ” 1)-1). Можно показать»), что М()У) = У-'уа+ 2(! — 1) — ', если отбросить члены порядка У-' и выше; уа обозначает здесь эксцесс распределения ошибок.
Таким образом, для того чтобы устроить приближение в случае зт, надо числа ст. св. У'-распределения статистики У в нормальной теории умножить на множитель, который с точностью до У вЂ” ' равен + (УУ) уа. (10.3.2) Отсюда видно, что при увеличении и = УУ наше распределение быстро приближается к распределению, построенному в нормальной теории, причем мы получаем наглядную меру отклонения от этого распределения.
Аналогичное исследование однофакторного анализа с ! группами, по У наблюдений в каждой, приводит к тому же множителю (10.3.2) (с точностью до порядка У-'), корректирую. щему числа ст. св. распределения статистики ~ для проверки ') С помощью псовых двух членов формулы (чо) статьи Бокса и Аидерсека (Вох, Ап!)егаеп, )950). ГЛ. Ю. ВЛИЯНИИ НАРУШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПРИДПОЛОЖИНИИ Таблица 10,3.2'). Приближенные с помощью поправок чисел степеней свободы вероятности ошибок первого рода вг-критерия длн проверка равенства средних в няти группах, объема пять каждая т! и ув равны асимметрии н эксцессу распределения ошибок Распределение -ол 5,5 ь*») 0,048 0,048 0,051 0,051 0,051 0,048 0,049 0,049 0,053 0,053 0,052 0,050 0,050 0,050 Пирсона Эджворта Эдж норта *') 0,050 0,052 0,052 0,049 0,050 0,051 0,048 0,050 0,050 0,048 0,049 0,049 0.052 0,053 0,053 Пирсона Эджворта Эджворта ь*) ") Звпмстваввнапв Рсгшп!«аап Шсагу )п бспввцап а) гаЬпв) сгцсг)в впб !Ьс выбу а1 бсрвгыгсв )гат вввптриап, С.
И Р. Вах, 3 1.. Апбсгьсп, )аппп а) !Ьв асуп) 3!и!. Зас., ссрнв В, г. 11 11З55), сур. Н. ») В«раз«пасть приближена другам спасабам. »») Здесь преблаженна псудавввтварпгвльна. ") Улучшая поправочиый множитель числа ст. св. путем более точного вычисления ма)ематических ожиданий (10.3.1), не следует забывать, что остается еще отличие от точного распределения й из.за подбора Р-преобразования только по первым двум моментам. *») Эги распределения определяются кривыми Пирсона н рядамл Эджворта; см.
Крамер (Сгзшег, 1946, йй 19А и 17.7). *"*) Гейен (Пауеп, 1950) цряблнзил вероятность на верхнем «хвосте» распределеивя й' линейной комбянацией неполных Р-функций с коэффициеитамв, зависящнмя от й 1 н уь, уз ошибок. При пользовании распределением Эджворта возникает затруднение, так как оно определяется плотностью, которая в случае ненормальное)и в аско)орых точках области определения отрицательна. гипотезы о равенстве средних в группах, причем уз обозначает эксцесс ошибок, которые предполагаются независимыми и одинаково распределенными.
Числа, помещенные в таблице 10.3.2, получены с помощью этого множителя, вычисленного до членов порядка е) у-з; эти числа относятся к случаю пяти групп, по пяти наблюдений в каждой, с номинальным уровнем значимости 5%. Распределения Пирсона н Эджворта*в) полностью определяются своими четырьмя моментами.
Вычисления, связанные с распределением Эджворта, произведены совсем другим методом во*), Как видно из этой таблицы, отклонение й !ОЛ. ПССЛЕДОВАННГ ВЛИЯНИЯ НГРАППНСГВА ДНСПГВГНП 397 уровня значимости от своего номинального значения практически неважно. Мы уже отмечали, что вопрос о влиянии ненормальности на вероятность ошибки второго рода нс прнвлекал пока особого внимания. Из наших элементарных расчетов в $ 10.2 вытекало, что ненормальность ошибок незначительно влияет в выводах о среднем на мощность, вычисленную в нормальной теории. Эмпирическое исследование двустороннего (-критерия проверки среднего по выборке объема б илн 10 показало незначительность влияния ненормальности на мощность* ), Вопрос о том, сохраняет лн г"-критерий1 прн ненормальных конкурирующих гипотезах мощность, вычисленную по нормальной теории, не надо смешивать с вопросом его эффективности при этих конкурирующих гипотезах относительно других критериев.
Мы коснемся последнего вопроса в $ 10.6. 9 10.4. Дальнейшее исследование влияния неравенства дисперсий Следующее правило позволяет нам обобщить все формулы для М(55), выведенные при равных дисперсиях, на случай нарушения этого предположения. При этом мы считаем ошибки независимыми (друг от друга и от случайных эффектов модели, если они есть). П р а в ил о. Пусть (;) есть квадратичная форма от (йч); пусть (уг) имеют структуру уг = т~+ей где (лг,) — константы или случайные величины, (е,) независимы между собой, а также от (тг), если (тг) — случайные величины, М(е)=0, Р(ег)=озн Тогда формулу М(Я) можно получить из соответствующей формулы, выведенной для случая, когда все а) имеют одно и то же значение о';, заменой о'; в М (()) на среднее взвешенное ~та,аз/~ тан Вес шн можно получить как значение Я при уг, =1 и остальных йч = О.
В частности, если () равно 55, то вычисленная так ~,ти, всегда равна единице. Далее, если Я равно 55 для классификации с равными числами в ячейке, то *) См. Пирсон (Рь Реагзоп, 1929, $ б). Он обнаружил, что симметрич. иые распределения оказывают малое влияние, а асиммстричные несколько большее. Из двух наших замечаний по поводу формулы (10,1.2) следует, что в случае, когда Ькритерий используется для проверки различия средних (зто является простейшим примером однофакторного анализа), зто влияние намного меньше, чем при проверке одного среднего (особенно при равныч объемах групп). При проверке гипотезы р = рз мощность будет больше или меньше мощности нормальной теории в зависимости от гого, будет лн знак И вЂ” рю совпадать илп нет со знаком у~ ошибок.
ззв гл. ~о. влияние нлеюигния основных пгадположю/ин а', заменяется на невзвешенное среднее (аД (если же все наблюдения в одной и той же ячейке имеют одинаковые дисперсии, то а~ заменяется на невзвешенное среднее дисперсий в ячейках).
Д о к а з а т е л ь от в о. Пусть /е'= Х х а//у,уц ! / (10.4.1) Подставляя у; = т/+ еь мы получаем Я= ~,2 ацт,т/+ 2 2 Яа//т/е/+ ~ ~а/;е,е/. / / / / Отсюда, вычисляя математические ожидания, находим М (1,/) = М (Х Х ацт/т/) + Х в/ан (10.4.2) где (10.4.3) в=ац. В частности, если все а',=а',, то М (Я) = М ~Д х„ацт/т/) + а~ ~ вг (10.4.4) / Правило получается из сравнения формулы для йй(//) (104.2) в общем случае и формулы (10.4.4) в частном случае.
Значения весов в,' вытекают из (!04.3) и (!0.4.! ). Если Я равно 55 и все а~=а'„то, как мы знаем из предыдущего, последний член в (10.4.4) равенне, поэтому в этом случае ~, в, =1. И, паком неп, чтобы убедиться, что все (в/) равны в случае равных чисел в ячейках, мы должны убедиться, что значения, принимаемые 55, когда у; = 1, а остальные — нулю, не зависят от того, которое из у/ равно 1. Это, пожалуй, легче всего сделать, анализируя, как проводятся вычисления, подобные тем, которые сделаны в следующем ниже примере, в правилах, данных в з 8.2 для 55, записанной в форме, удобной для вычислений. Иллюстрируем применения этого правила в примере однофакторного анализа с неравными числами.
Пользуясь в этом примере нашими обычными обозначениями, мы должны а', в М(55„) заменить на ~ ~в//а//, где а~ =Р(уц), а значения в, получаются, если положить у, =1, а все остальные уц=0 в 55л=(! — 1) '~~!/Т',. — а 'Т'), где Т,— сумма в /-й группе, Т вЂ” общая сумма, о=2„Т/; мы получаем, таким обра/ % !е1. ПсследоВАние Влияппя неРАВе1!стВА дпспеРГИП 399 зом, и!1 ! = (У вЂ” 1) (У! — и ). Итак, а~ заменяется в М (55А) на (У вЂ” 1) ' Х Х (У1 ' — и ') о1п (10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
