Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Приведенное определение устанавливает размерность однозначно (независимо от используемого базиса). Это является следствием теоремы о базисе, которую мы,сейчас докажем. Мы также покажем, что по нашему определению размерность пространства 1/„, которое мы называли «п-мерным», равна и. ПРИЛОЖЕНИЕ ! 426 111 О О) О 1 О О О О !' !! ! (О1 (О) 11 зт~ векторы линейно независимы, так кзк ив рввеиствз с! в сз =О сч Теорема 1 (теорема о базисе). Любые два базиса ввкторного пространства содержат одно и го жв число векторов. Доказательство. Если векторным пространством )г является (О), то существует единственный базис, состоящий из пустого множества. В этом случае теорема верна.
Рассмотрим другой случай; пусть (а!,...,а,) и (й!,..., й,) — два различных базиса )г. Предположим, что г ( з. Векторы (а!,...,а,) порождают )г и являются линейно независимыми, так как они составляют базис. Ясно, что а!,..., а„(1! порождают )г. Однако они линейно зависимы, так как вектор фз, принадлежащий )Г, должен быть линейной комбинацией базисных векторов а!, ... ...,а,. Таким образом, существуют постоянные а!» ..., а„такие, что й! — — ана!+ ...
+а!,а,. Не все ан = О, так как в противном случае й! = О, а б! является базисным вектором. Не нарушая общности, мы можем допустить, что ан Ф О. Тогда а! является линейной комбинацией аг, ..., а„б» которые, следовательно, тоже должны порождать )г'. Очевидно, что аг, ... ..., ао (1!, Ог порождают )Г.
Однако они линейно зависимы, так как йг является линейной комбинацией аг, ..., а,, б!, например, (1г = амаг+ ... + а„а,+Ьг!й!. Если бы все ан (! = 2, .г) равнялись О, то 11„..., й, были бы линейно зависимыми, что противоречит нашему предположению. Таким образом, найдется по крайной мере одно агь неравное О, и снова, не ограничивая общности, мы сможем допустить, что агг Ф О. Тогда а, является линейной комбинацией ссм ..., а„й!, Ог, которые, следовательно, должны порождать )г.
Повторяя такие рассуждения, мы получим, что (11, й„..., й, порождают У; но тогда вектор 11,+! должен быть линейной комбинацией й!, ..., р,. Это противоречит тому, что рз, ..., р, образуют базис Г. Следовательно, г не может быть меньше з. Аналогично доказывается, что з не может быть меньше г. Отсюда следует, что г = з. Пример. Рассмотрим сновз векторное пространство 1',. Пусть через Я обозначено множество векторов внктоииая длгения 427 следует, что с! = с« = ...
= с, = О. Кроме того, векторным пространством, порожденным з), является (г, так как любой вектор (1. 1) в (г. может быть записан в ввде к ~ л,р! Следовательно, множество Я=(р«, рт„..., р,) ! 1 является базисом т'. Применяя только что доказанную теорему, сразу получим следствие. Следствие 1. Любой базис (Г„содержит точно и векторов, т.
е. размерность 17„ равна и. Обозна ч ение. Запись (Г, с: 'к'„означает, что (г, является г-мерным векторным пространством, содержащимся в (г„. (Будем всегда предполагать, что и ) О.) Обозначение (г, двусмысленно, так как раньше через )г, было обозначено множество всех г-мерных векторов, а теперь через (г, обозначено г-мерное векторное пространство и-мерных векторов; однако эта двусмысленность является лишь чисто внешней з). Л ем ма 3.
Если (г, ~ (Г,, г ) О, (г, порождается векторами (аь ..., а,) и хы )г„то коэффициенты в разложении х = а!а! + азат + ... + а.а» однозначно определяются тогда и только тогда, когда (аь ... ...,а,) линейно независимьс, т. е. тогда и только тогда, когда з = г и (аь ...,а,) является базисом (г,. « Доказательство. Пусть х= ~а;ао Допустим, что ! (Ь!) является любым другим множеством коэффициентов и 5 8 х= ~ Ьгао Тогда ~ (Ь! — а!) а,=О. Если (а!) линейнонезавиг=! г-! симы, то все Ь; — а! =О и, следовательно, а! единственны.
Если (а!) линейно зависимы, то существуют (с!), не все равные нулю, такие, что~ с,а,=О. Фиксируя (а!) в разложении х.= ~~'„а,аг, г-! 5 положим Ь, = а!+ сг( тогда х= ~ Ьга, и не все Ь; — а; = О. г=! Определение 12. Если (а!,ат,..., а ) — базис к', а х— произвольный вектор в (Г„, то коэффициент а! (!'= 1,...,п) при и! в единственном разложении х= ~~' а,а, по векторам ! ! базиса называется г-й координатой х в базисе (а!,...,а„).
*) Эти два (Г, чзоморфны; см., например, Биркгоф п Мак-Лейн (В(г(!- ко(1, Мас|апе, гл. 7, теорема 5) (нлн Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, «Наука», Москва, 1974, гл. т'11, Е 1, теорема 3, стр. 229).
ПРИЛОЖЕНИЕ ! В связи с этим определением отметим, что 1-я координата точки (хь хв..., х„) в У„является Рй координатой вектора (1. !) в базисе Я, введенном в рассмотренном выше примере. Определение !3. Базис (аь...,а,) пространства У,с: с: У„называется ортонормированным, если г векторов а~ попарно ортогональны и имеют норму, равную единице. Используя символ Кронекера би = ! при ( = ! н би = О при (чь 1, мы можем сказать, что (аь...,а,) является ортонормированным базисом, если (а',а)=би((, 1=1, ..., г). Простейшим примером ортонормнрованного базиса является базис Я пространства У„, состоящий из единичных векторов координатных осей, имеющих положительное направление.
В этом случае, как было показано раньше, мы видим, что алгебраическая длина проекции вектора х на 1-ю координатную ось равна р',х= хг Рассмотрим более общий случай. Если (аь...,а,) — произвольный ортонормированный базис, то в этом базисе (-я координата вектора х из У„ равна а,'.х, т. е. равна проекции х на единичный вектор аь Действительно, так как существуют единственные координаты аь ..., а„такие, что х= ~~',а!ар то отсюда следует ! ах=як аа,=~,ааа =~аби=ос Л ем ма 4.
Если векторы аь аь ..., а, попарно ортогональны и не равны нулю, то они линейно независимы. Доказательство. Пусть О = с|а~ + ... + с,а,, Отсюда следует, что все с; = О. Действительно, умножая скалярно наше равенство на аи получим О= а',,~ с а, =,~ с а',а = с,(а,~~. Так как ар чь О, то с~ — — О. Лемма б. Любое множество г линейно независимых векторов в У, с: У„является базисом У,.
До к аз а тел ь ство. Предположим противное. Пусть а~еп У, и (аь...,а) линейно независимы, но не являются базисом У,. По лемме 2 пространство У, имеет базис фь...,)),). Применяя к множеству 2г векторов (аь...,а„))ь...,(1,), по. рождающему У„процесс, использованный в доказательстве леммы 2, получим базис У,. Этот процесс не может отбросить ни одни из векторов ап ..., а„так как они линейно независимы, и не может отбросить все (3ь ..., (1„иначе (аь...,а ) являлись бы базисам.
Таким образом, полученный базис должен иметь более, чем г векторов, что протнворичнт теореме о базисе. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Следствие 2. Любые г+ 1 векторов в У, с: У„линейно зависимы. Из лемм 4 и 5 получаем также следующее утверждение. Следствие 3. Любое множество т ортогональных ненулевых векторов в У, с У„является базисом У,. Часто использование ортонормированного базиса приводит к упрощению доказательств, Мы покажем, что любой базис У, момсно «ортонормировать». Ортонормируем базис в Уг. Если, как изображено на' рис. 1. 6, (аьаз) — произвольный базис, а и — проекция аг на а~ (по оп- л иг ределению 6), то векторы а~ и л л аг — гг ортогональиы.
Следа- л «, вательно, !! а| й 'а~ и !! аг— — гг 11-' (аг — н) образуют орто- в нормированный базис Уг. Этот «г-я метод (процесс Шмидта) может быть обобщен. Его обобщение приводит к следующей лемме. Л ем м а 6. Для произвольно заданногобазиса (а„аь ..., а,) пространства У, существует ортонормированный базис (уь уг,...,у,) этого пространства такой, что каждое у; является линейной комбинаиигй аь аь ., а,. Доказательство.
Пусть 61=аь Положим рг=«я — с»Д, где с, должно быть определено так, чтобы Р;(),=О. Это условие дает с„ф$,=р|а„си=р',аф;рг Вектор р,Ф О, так как из равенства й, = О следовало бы, что сма, — а, = О, а зто противоречит линейной независимости (а,, ..., а ).
Теперь пусть ()г = аг — см(), — сггР, и пУсть выполнЯютсЯ УсловиЯ ();Р, = О, рр,=О. Отсюда, учитывая, что (Щ=О, находим см —— .()а/()р, и с =В~а»/~ф. Снова р не может быть О, так как в противном случае мы имели бы «з — сг,а, — сгг(аг — с„а,) =О, что приводит к линейной зависимости (аг).
Продолжая последовательно такое построение, мы получим множество из г векторов 1-1 (ВР В„.. *, Рг), где Р, = а~ — Е с,ф и си = ф'а,/й;Рр Эти векторы ортогональны по построению. Они не равны нулевому вектору, 1-! так как (), имеет вид а, — 2 йиар и, следовательно, если О, = О, г-~ то векторы аг должны быть линейно зависимыми, Таким образом, по следствию 3 полученные векторы являются базисом У,.
Отсюда получаем для У, ортонормированный базис (уь уг..., , у,), где у~ =МР~1!. 430 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Л е м м а 7. Если (а„ам..., а,) — ортонормированный ба- зис г',с: 'т'„, то его всегда можно дополнить до ортонормиро- ванного базиса пространства У,. Доказательство.
Так же, как в доказательстве лем- мы 5, мы можем показать, что можно найти векторы 8,+1, ..., р„ так, чтобы (а1,...,а„(1,+1,...,8„) являлись базисом т'„. По лемме 6 мы можем ортонормировать этот базис и тогда полу- чим базис (у1,...,у„у,+1,...,у.). Но а1, ..., и, уже были по- парно ортогональны. Отсюда легко проверяется, что все коэф- фициенты с!ь см, сап ..., с„, ..., с... должны быть равны нулю, так что т! = а, при 1= 1, ..., г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
