Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Для любой квадратичной формы ([ = х'Ах от и независимых переменных существует нввырожденное преобразование х = Ру, которое приводит Я к виду ь) = й, б,ур гдв 1-! 5,=1, — 1 или О. *1 Для того чтобы определить, является ли А положительно определенной, не обязательно вычислять ее характеристические числа. Подматрииа А, диагональные элементы которой являются диагональными элементами А, на. зывается главным минором. Множеством ведущих главныл миноров является множество п главных миноров порядков 1, 2, ..., и, каждый из которых является подматриней следующего, за исключением последнего, совпадаю. щего с А. Для того чтобы А была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы определители всех ведущих главных миноров были положительны.
Доказательство см. в кингс Снли (5ее!уе, 1958] (или в книге Д. В. Бе клем и шева, указанной в сноске к началу приложения 1, гл. 7[1!, 5 2, теорема 5, стр. 255. — Прим. перев.) МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА Лемма 11'. Для любой симметричной матрицы А<"чы существует невырожденная матрица Т такая, что Р'АР имеет диагональньи1 вид (Ь;Ьи), где Ь' = 1, — 1 или О. Д о к а з а т е л ь с т в о.
По теореме 6' существует ортогональная Т такая, что Т'АТ = (ЛА,). Пусть 8 — невырожденная диагональная матрица, бй диагональный элемент которой равен (Л,) ~*, если ЛГ>0, (-Л;) м если Л~(0, и 1, если Л;=О, Тогда матрица о'(Л;Ьи)8 имеет требуемый вид и равна Р'АР, где Р = ТБ. Это доказательство использует (Л;), которые вычисляются как корни уравнения и-й степени. Однако при помощи другого доказательства можно показать, что матрицу преобразования Р, приводящую А к требуемому виду, можно найти, используя только рациональные операции (сложение, вычитание, умножение и деление) и извлечение квадратного корня из элементов А. Из леммы 4 следует, что независимо от невырожденного преобразования Р, используемого в лемме 11', общее число (Ь;), равных 1 и — 1, должно всегда оставаться одним и тем же (т.
е. рангом А); кроме того, можно также показать, что число (Ь;), равных 1 (и, следовательно, число (Ь;), равных — 1), тоже инвариантно. Это свойство называют иногда «законом инерции». В результате применения преобразования Р, используемого в доказательстве лемм 11 и 11', все (Ь~) получатся, очевидно, равными 1, если 1г и А положительно определенные, а если Я и А неотрицательно определенные, то (Ь;) будут равны 1 или О, причем число единиц равно рангу А.
Используя закон инерции или непосредственным вычислением, как в доказательстве леммы 10, можно убедиться, что последнее утверждение верно при любом невырожденном преобразовании Р. Следствие 3. Если (г = х'Ах является квадратичной фор. мой от п переменных хь ..., х„и ее ранг равен г (т.е. Г(А)= = т), то существует г линейных форм (т. е. Г линейных комбинаций) переменнгнх хь ..., х„, например гь ..., г„таких, Г что 1г= ~~~, Ь,г', и каждое Ь~ = 1 или — 1. Доказательство.
Используем невырожденную матрицу Р леммы 11 для определения и линейных форм уь ..., у„переменных (хГ). Положим у=(уь...,у,)'= Р-'х, так что 9= ~ Ь,у'„где Г чисел Ь; равно +.1, а остальные О. Теперь с 1 ~ Р искомыми г формами (г;) будут те у~ из (у~), прп которых Ь; чн О, Приведем здесь еще один результат, который часто будем использовать. ПРИЛОЖЕНИЕ!! Теорема 7. Для любой действительной матриць! А л!атрица АА' симметрична, неотрицательно определена и имеет ранг, равный рангу А. До к а з а т ел ь с т во.
1) Симметричность устанавливается транспоиированием АА'. 2) Пусть В=АА'. По теореме о приведении к главным осям существует ортогональная матрица Р такая, что Р'ВР = = (Х!б!!), где Х, являются характеристическими числами В. Получаем Р'ВР = Р'АА'Р =- С'С, где С = А'Р. Пусть у! является (цм столбцом С. Тогда (!,1)-элемент С'С равен у',у, = Х!б!р (П.
12) В частности л, столбцов л2 столбцов ат столбцов 4!т и!, строк ( Ац А „ Атт Авт л!и строк ( Аи, ~"! ТА (П.(3) является неотрицательным, так что  — неотрицательно определенная матрица, 3) Учитывая равенство С = А'Р, из леммы 4 получим, что ранг А, ранг С, максимальное число линейно независимых у; и число ненулевых у! равны между собой, так как (у!) ортогональиы по (П.
12). Следовательно, по (П.13) т(А) = числу ненулевых Ц = г(В). Разбиение матриц В этой книге разбиение матриц используется только в конце $1.4, так что читатель, пропустивший доказательства конца $1.4, может пропустить конец этого приложения. Предположим, что (тХ п)-матрица А разделена на (ат подматриц Ац горизонтальными и вертикальными прямыми, как указано в таблице П. 1, так что А;! является (нт!Х и!)-матрицей, лт! ) О, Т а б л и ц а и.! Раабиенне А-матрицы задачи 449 2 е и! = т, и, ) О, ~ н! = л. Кроме того, предположим, что ! ! ! ! (наг)-матрнца В разделена аналогично А с тем только ограничением, что п строк В разбиты на такие же множества, как л столбцов А; таким образом, строки В разбиты на множества, состоящие из а!, пр, ..., л„строк.
Пусть столбцы В разбиты р на множества из г!, г„..., гр столбцов, где гр > О и ~с'„гь = г. ! ! Получили разбиение В на ур подматриц В!ь где В;р является (аг Х гр) -матрицей. Теперь образуем произведение С = АВ и разобьем т его строк так же, как !и строк А, а г его столбцов так же, как г столбцов В, так что получится 1ер подматриц Серь где См является (т! )с,гр)-матрицей. Теперь мы получили с Ао Ам ...
Аье рлхл! Во В,е,и,р !лхт! Ам Ам "° Аее Ве! Вее .. Вер ,4р! Аре .. Аре Ве! Вее ° ° ° Вчр Со С, ...С с„с„... с„1 ЗАДАЧИ П. 1. Пусть -1 4 0 -2 2 0 ! 3 3 5 0 -2 4 1 0 0 1 2 3 3 0 — 4 4 0 ! 1 2 -! 3 — 2 0 0 0 3 1 3 1 0 3 3 41 0 ! — 1 0 О !5 Г. и!еффе Легко можно проверить, что подматрицы произведения удовлетворяют соотношению Сы — — ~ А;!В!рл (11.
14) / которое совпадает с определением матричного умножения, если все «подматрицы» в (11.14) считать числами. Итак, мы можем перемножать разделенные матрицы так, как будто подматрицы являются действительными числами, соблюдая при атом два правила: 1) разбиение строк второго множителя должно быть таким же, как разбиение столбцов первого; 2) порядок множителей должен быть сохранен в слагаемых правой части (П.14).
ПРИЛОЖЕНИЕ П 450 Вычислить последовательно (ЗА+ В), (ЗА+ В) С, С' (ЗА+В)' и С' (ЗА'+ + В'). П.З. Пусть 1 1 1 2 2 26 — — 3 7 2 0 29 — — 2 7 7 — 1 3 7 1 — — 0 2 3 1 2 2 и Е= Вычислить В-' н Е-'. Проверить, что ВВ-' = 1 и Е-'Е = 1. Вычислить (ЕР)-~ как обратную матрицу (ЕВ). Проверить, что (ЕВ)-' В-'Е-', тогда как (ЕВ)-' Ф Е-гВ-', Проверить также, что (ЕО) =(Е) )О( и )Е-'! =1 !-'. !1.3. Вычисление определителя непосредственным применением формулы, следующей за (П.
10), становится утомительным, когда порядок л ) 4. Тогда может оказаться полезным следующее свойство; значение определителя )А) ие изменится, если к любой строке А ирибавить линейную комбинацию остальных строк А или к любому столбцу )А( прибавить линейную комбинацию остальных столбцов. Используя это свойство, можно быстро сдетать в некоторой строке или столбце все элементы, за исключением одного, равными нулю, После этого применение обычной фориулы дает постоянную, умноженную иа единственный определитель порядка я — !. Затем процесс можно повторить.
Если есть элемент 1 нли — 1, то мы можем его использовать в этом процессе; если такого элемента нет, то можно попы. татьса получить его, применяя описанное выше свойство. Например, в 2 3 -4 5 5 — 2 3 2 4 1 3 — 4 3 4 — 4 6 мы можем использовать ! во втором столбце и третьей строке для того, чтобы сделать другие элементы столбца нулями Для этого умножим третью строку сначала на — 3 и прибавим к первой, затем на 2 и прибавим ко второй, затем на — 4 и прибавим к четвертой строке; третью строку оставим без изменения.
Получим — 10 0 — 13 17 РЗ 0 9 -6 -1О -13 17 4 1 3 4 13 9 — 6. 1-13 — 16 22 ~ Равенство получено но обычной формуле, примененной к элементам второго столбца. Вычислить определитель 4 6 8 1 9 — 2 -3 4 2 1 5 4 3 ! 2 6 7 4 3 ! 8 9 4 5 7 П.4. Рассматривается (п)ба)-матрица, все диагональные элементы которой равны а, а недиагональные равны Ь. Доказать, что определитель этой матрицы равен !а+(я — 1)Ь)(а — Ь)"-'. ЗАДАЧИ 451 5 34 5 ч/6 2 ч/36 ч/6 2 ч/Я 49 30 3 2 1 ч/5 6 Определять симметричную матрицу В так, чтобы 0 = х'Вх.
Найти харак. тернстические числа (Ь, Хз, Аз) матрицы В. Вычисллть множество собствен. ных векторов (рь рз, р,), которые удовлетворяют равенству ( — Х,1) р; = О, и нормировать их (т.е. сделать ргрг — — 1). Проверить, что матрица Р, столбцами которой являются (рь рз, рз), ортогональна н что Р'ВР ()иби). И,!О.
Корни многочлена ((х)= азх" +а,х"-~+ ..+а, нли днфференцируемой функции могут быть найдены численно (метод Ньютона). Сначала находят два достаточно близких зяачения х = х' и х = с" (например, два последовательных целых числа) так, чтобы ((х') н /(х") имели разные знаки, Затем, линейно ннтерполнруя по двум точкам (х', /(х')) н (х", ((хи)), получают между х' н х" первое приближение хз корни (или одного нз корней) )с функции ((х); хе можно получить также графически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
