Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Но это неравенство имеет вид неравенства (111. 2) и, следовательно, определяет канонический эллипсоид с полуосями (с2=Л2 ~*)' (Л2) положительны, так как, по предположению, М вЂ” положительно опре« деленная матрица. Таким образом, (П1.3) определяет эллипсоид с центром в а. Нам потребуются также некоторые сведения об опорных плоскостях эллипсоида (П1. 3). Для любого вектора й Ф О мы определяем плоскость, проходящую через О ортогонально к Ь как множество точек, векторы х которых ортогональпы к Ь. Эти векторы образуют (и — 1)-мерное векторное пространство.
Точки х лежат на плоскости тогда и только тогда, когда Ь'х= О. Мы определяем плоскость как множество точек, которое сдвигом может быть переведено в плоскость, проходящую через О. Следовательно, если Ь чь О, то уравнение Ь'(х — хь) =.О (П1. 5) определяет плоскость, проходящую через точку хь перпендикулярно к Ь. Сдвигом на вектор а или линейным преобразованием с любой невырожденной матрицей Рм" ю плоскость переводится в другую плоскость. Чтобы сдвинуть (П1. 5) на вектор и, нужно подставить х — а вместо х; получится другое уравнение вида (П1.5) с хь, замененным на хь+а. Линейное преобразование с невырожденной матрицей Р может быть выполнено заменой х на Р-'х; это дает уравнение вида (П1. 5) с Ь' и хь, замененными на Ь'Р-' и Рхь соответственно.
Плоскость, проходящая через хь ортогонально к Ь ~ О, делит и-мерное пространство точек х на три части в соответствии с тремя условиями (=О, )О или СО), наложенными на линейную функцию 1(х) = Ь'(х — хь). Мы будем говорить, что точки ХО1 и хпо лежат по одну сторону от плоскости, если 1(Х1) г (Х2) )~ О; (П1. 6) в частности, это верно, если хп, и х<21 лежат иа плоскости. ПРедположим, что мы плоскость и точки хпь х~2> пРеобРазовали при помощи невырожденной матрицы Р. Тогда преобразованными точками являются Рхп> и Рх<„, а преобразованная плоскость удовлетворяет уравнению )(х) = О, где 1(х) = й'(Р-'х— — хо) Отсюда получаем Ч(Рхн М(Рхов) = ~(хд) ~(хд)).
Следовательно, при невырожденном линейном преобразовании точки, лежащие по одну сторону плоскости, остаются по одну сторону плоскости. Аналогично можно показать инвариантиость относительно сдвига. эллипсоиды и их опогнып плоскости 457 Мы можем определить опорную плоскость эллилсоида (П1.3) как плоскость, имеющую по крайней мере одну общую а) точку с эллипсоидом и такую, что эллипсоид полностью находится по одну сторону от этой плоскости. Сфера (Ш.1) является частным случаем (Ш.З), Найдем сначала опорные плоскости сферы.
Наша интуиция подсказывает, что через каждую точку х, на поверхности сферы (т. е. через каждую точку ха, для которой х,'х, = 1) проходит опорная плоскость, а именно плоскость, проходящая через ха ортогонально к вектору ха. Уравнением этой плоскости является ха(х — ха) = О, или х;х= !. (П1. 7) Чтобы доказать, что (П1. 7) является опорной плоскостью, мы отметим, во-первых, что она имеет точку ха, общую со сферой; во-вторых, чтобы показать, что любые две точки сферы х«> и х<а> лежат по одну сторону плоскости, положим !(х) = х,'х — 1.
При ! = 1, 2 абсолютная величина хехп> (длины проекции х<о иа ха) должна быть 1х<~>! (1, так что !(х<о)<0. Следовательно, условие (Ш.б) удовлетворяется. Заменив ха на — ха в (П1.7), мы получим, что — хах= 1 является опорной плоскостью сферы, проходящей через точку — ха. Следовательно, параллельные опорные плоскости, проходящие через х, и — ха, определяются уравнениями х,'х=~ 1; (П1. 8) одна уравнением с +1, а другая с — 1.
Предположим, что мы преобразовали сферу (П1. !) в эллипсоид (1П. 4): сначала растяжением привели к виду (П1. 2), а затем ортогональным преобразованием к (П1.4). Растяжение выполняется заменой х в (П!.1) на Сх, где С<"""> =(б«/с<)— невырожденная матрица; затем в (П!.2) вместо х мы подставим Р-'х, где Р— ортогональная матрица. Но это равносильно подстановке Цх вместо х, где Д=СР-<. Следовательно, матрица 9 невырождена. Раньше мы отметили, что невырожденным линейным преобразованием плоскость переводится в плоскость; следовательно, общая точка сферы и ее опорной плоскости перейдет в общую точку преобразованной плоскости и эллипсоида. Так как сфера расположена по одну сторону от ее опорной плоскости, то, по сделанному выше замечанию, эллипсоид будет расположен по одну сторону от преобразованной плоскости. Следовательно, плоскость, полученная лнпейяым невырожденным преобразованием из опорной плоскости сферы (П!.
1), является опорной плоскостью эллипсоила (П1. 4). ") Мы счнтаем эллипсоид зпмккэтыл множеством, так как в па>пем определеннн (111.3) стоит знак «(», а пе (а. ПРИЛОЖЕНИЕ П1 Аналогично можно провести доказательство для преобразова. ния сдвига на вектор а. Тогда мы получим, что опорная пло.
скость эллипсоида (11!. 4) перейдет в опорную плоскость эллипсоида (111. 3). Замена х в х'х на Ях дает х'Ц(сх = х'Мх; следовательно, 9'9 = М. Если мы заменим х на Ях в (111. 8), то для каждого хз с !! хз !! = 1 получим пару уравнений хзь(х = ~ 1 (П1.
9) параллельных опорных плоскостей эллипсоида (111.4), Теперь мы покажем, что для каждого вектора й ~ 0 существуют две опорные плоскости (1П.9), ортогоиальные к й, а затем найдем их уравнения. Плоскости (!П.9), очевидно, ортогональны к (х,', Ц)', н следовательно, онн будут ортогональны к й тогда и только тогда, когда хф = сй', где с в постоянная, т. е. тогда и только тогда, когда хо = сй'Д . Но х,'х = 1, следовательно, с должно удовлетворять уравнению сйф-1йс = 1, или с'й'М-'й = 1.
Таким образом, плоскости (111.9) будут ортогоу нальны к й тогда и только тогда, когда хф= ~ (Ь'М 1й) й. Подставляя это в (111. 9), находим й'х= ~ (й'М 'й)!'. Применяя преобразование переноса на вектор а, получаем отсюда уравнения двух опорных плоскостей, ортогональных к й: й' (х — а) = ~ (й'М 1й) (111. 10) Наконец, нам потребуется еще неравенство (1П, ! !), которое определяет множество точек между двумя плоскостями (П1.
10). Неравенство (П1. 11) геометрически для читателя очевидно. (Действительно, из неравенства !хох!~(1 следует, что проекция х на хо не превосходит 1; (111. 1!) можно интерпретировать как преобразование ! х,'х 1( 1.) В противном случае можно провести следующее формальное построение. Мы определим множество точек между плоскостями (111.
10), как множество тех точек, которые расположены по одну и ту же сторону от обеих плоскостей (по ту сторону, где расположен эллипсоид). Очевидно, результат будет таким же, если мы в определении этого множества заменим эллипсоид на его центр а. Чтобы использовать условие (Ш.б) для определения последнего множества точек, положим ~х(х) = й'(х — а) ~ см где с„= — (Ь'М й)!', а знаки ~ имеют такой же смысл, как в (П1. 10). Для каждой плоскости х н а будут с одной и той же стороны тогда и только тогда, когда ! (х)! (а)= О, илн ~ сьй' (х — а) + с'„) О.
Последние неравенства эквивалентны задачи неравенствам ~й'(х — а) = — сл Оба условия (для + и †) будут выполнены тогда и только тогда, когда с» й'(х — а) ( ( — св, илн ) й'(х — ан)к=.(й'М 'уз)А. (111. 1 1) Таким образом, мы получили неравенства, которые определяют множество точек между двумя опорными плоскостями, ортогональнымн к Ь. ЗАДАЧА 1П. 1. Эллипсоид определяется венгром а(3, — 1, 2, О) и симметричной положительно определенной матрипей а) Найти уравнения опорных плоскостей, ортогоиальных к вектору Ь =( — 1,0,3, 1)'.
б) Что является расстоянием между этими двумя плоскостями? в) Находится ля точка х =(14, — 25, 7, 12)' между этими плоскостями) Указание. Для вычисления М-' использовать М = Р'АР, где и Р'Р = Е. Используя (Ч. 2), можно вычислить квадратичную форму й'М-'й, не вычисляя М-Ч Приложение !Н НЕЦЕНТРАЛЪНЫЕ Х'» Р и т Н ецентра льный т» Если случайная величина х имеет нормальное распределе- ние со средним $ и дисперсией о', то мы будем говорить, что «х имеет распределение Ж($, о«)»ь Определение 1. Если х!, хв ..., х„независимы и х; » имеют распределение У($», 1), то случайная величина У= ~, х', ! называется нецентральным 1!' («хи-квадрат») с т сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
