Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Таким образом, мы дополнили (а„...,а,) до ортонормированного базиса (а1, .,а.,у'Р1,...,у„) пространства 1'„, Определение 14. Пусть т', с:. 11„н хев У„. Говорят, что х ортогонален к У, (обозначается х (. Г,) тогда и только тогда, когда х ортогонален к любому вектору в т',. Л е м м а 8. Если (а1, аъ..., а!) порождает У, с: У„, то х~ 'т'„ортогонален к Ч, тогда и только тогда, когда он ортого- нален к каждому а! (!' = 1,..., з). Доказательство. Если х 1 1'„то по определению х .1 с!ь Пусть х 1 а, при !' = 1, ..., з.
Если уя Уо то мы можем записать у= ~' Ь!а!. Тогда х'у= )' Ь!х'а! =О. Следовательно, ! 1 ! ! к 1 у при любом уев У,. Л е м м а 9. Пусть У, с 'т'„и х ~ 'г',. Тогда существуют век- торы у и х такие, что х = у+ а, у ен т'„х1. у,. Это разложе- ние единственно, т, е. если мы имеем также х = у'+х*, у'~ ен У, и х' 1 т'„то отсюда следует, что у = у' и г = х'. Доказательство.
Пусть (аь ам ... а,) — ортонормиро- Г ванный базис У, и пусть у= ) с,а1, где с! — — х'а1. Очевидно, 1-1 1 что у ь 1',. Пусть г=х — у=х — ~ с,ао Прн й= 1...,, г 1-1 l имеем х'а = х'а — Х с.а'а = с„— ~ с,б,„= с — с„=О. Тогда Ь Ь ! ! ! Ь ! М Ь Ь по лемме 8 устанавливаем, что х .1 У, и, следовательно, векторы у и х удовлетворяют условиям леммы 9.
Теперь допустим, что мы также имеем х = у'+ х', где у' ~ у, и е' 1 У,. Тогда (у* — у)+(х* — х) = х — х = О. Но, с од- ной стороны, у = (у' — у) ~ уо х = (х' — г) ). у„а с дру- гой стороны, х = — у ~ У,. Следовательно, г должен быть ортогонален самому себе, что возможно только при х = О. Отсюда и из равенства у + х = О следует, что у = О. Таким образом, у = у' и е = х'. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В доказательстве единственности у было установлено также, что фактически у не зависит от выбора ортоиормированного базиса (аь...,а,), использованного в его определении. Это естественно с точки зрения следующего определения.
Определение 15. Если вектор хен У., то вектор у я У„ определенный в лемме 9 условием х — у ( У„называется проекцией х на У,. В случае г =! это определение сводится к определению б (где мы говорили о проекции х на ненулевой вектор вместо проекции па Уь порожденное этим вектором). Т е о р е м а 2. Пусть заданы У, с: У„, постояннь1й вектор х и переменный вектор уев У,.
Величина !1х — у!! имеет минимальное значение. Этот минимум достигается тогда и только тогда, когда у является проекцией х на У,. До к аз а тельство. Пусть у" является проекцией х на У,. Используя равенство х — у = (х — у')+ (у' — у), найдем 1! х — у !!' = (х — у*)' (х — у') + (у' — у)' (у' — у) + + (х — у') (у' — у) + (у' — у)' (х — у*), Но (х — у*).(. У„тогда как у*, у, а следовательно, и у* — у принадлежит У,.
Таким образом, в приведенном выше равенстве два последних члена равны нулю и 11 х — у И = 11 х — у* Р + 11 у* — у Р. Когда у изменяется в У„первое слагаемое в правой части остается постоянным, а второе изменяется, принимая неотрицательные значения, причем нулю оно равно тог- Ф да и только тогда, когда У = У'. Следовательно, , — Л- 1! х — у 1!г достигает сво- гьу его минимума тогда и е УУ только тогда, когда у=у*. У Это доказательство изображено на рис. 1.7. Следующая теорема Риь. 1.7, является геометрически очевидной; она иногда полезна при доказательстве существования решения системы линейных уравнений (см., например, конец 5 1.4). Теорема 3.
Если У,с У„, хя У„и х ортогонален любому у, ортогональному У„то х ~ У,. Доказательство. Пусть х= я+ в, где х нз У„в ) У,. Умножая это равенство скалярно на ги, получим те'х = ти'х+ + в'ти. Но гв'х = О, а по условию теоремы тв'х = О. Отсюда на- ХОДИМ, Чта ГВ'1и = О, Ги = О. СЛЕдОВатЕЛЬНО, Х = ХЕН Уь ПРИЛОЖЕНИЕ ! 432 В теореме 3 неявно используется понятие ортогонального дополнения, которое будет полезно и в дальнейшем (Ц 2.4 и 2.5). Определение 16. Если У, является в-мерным подпространством г-мерного подпространства У,с: У„, то совокупность всех векторов в У„ортогональных к У„называется ортогональным дополнением У, в У,.
П р н мер. В трехмерном евклндовом пространстве точек с коордннатамн (х!, хь х,) ортогональным дополнением (х!, х,).плоскостн является ось х!. Л е м м а 10. Ортогональное дополнение У, в У, является (г — 3) -мерным подпространством 1',. До к аз а тел ь ство. Пусть (уг,...,у,) — ортонормированный базис У,. Дополним его до ортонормированного базиса (у1, ..., у...., у,) пространства У,. Тогда любой хан У, имеет г вид ~, сд; и ортогонален к У, тогда и только тогда„когда ! ! с! = св = ... = с, = О, т.
е. тогда н только тогда, когда х принадлежит (г — 3)-мерному пространству векторов вида Г сдь !-з+! Если обозначить через У,, ортогональное дополнение У, в Уп то мы увидим, что ортогональным дополнением У,, в У, является У., так как У, состоит из векторов вида ~, с!у!, нс- ! 1 пользованных в приведенном выше доказательстве. Теорему 3 можно рассматривать как частный случай этой леммы, когда г= и. ЗАДАЧИ 1.1. а) Пусть ах, аз, ах, где 2 1 а,= О -1 1 У является векторным пространством, порожденным аь 2 1 О 3 — 2, а,= — 2 5 1 О 4 4 а,= 4 о 2 аз= Для полученнн ортонормнрованного базнса У применить процесс Шмидта к аь аз, аз, а, в порядке нх записи. б) Принадлежат лн следующие векторы ортогональному дополнению Уг 1 — ! — 5 1 1, -3 3 3 б 6 злдхчи 433 в) Разложить вектор 16 — 1 х= 12 1 — 10 иа сумму л = у+ и так, чтобы у ам У и г 1 У Проверить, что )) проекция х на У))з ~ )) проекция х на у 1(з, с-~ где (уь ..., у,) — ортонормировзиный базис, полученный в а), Вычислит~ минимум )) х — ш (з, где ш — переменный вектор, принимающий значения в У 1.2.
Пусть х, р — произвольные векторы. Доказать, что )х'у)' ( . ~) х))т~) р))э (неравенство Коши!. Указание. Рассмотреть многочлен второго порядка по с, равный )) сх+ р П; выразить в терминах дискриминаита тот факт, что он никогда не принимает отрицательных значений. 1. 3. Рассмотреть решение т линейных уравнений азх =с 1 1 () 1, ..., ш) с и неизвестными (хо ..., хэ). а) Определить векторы (аД и с так, чтобы ш уравнений могли быть выражены в аиде одного векторного уравнения ~ х аг — — с. / 1 б) Провернть, что решение существует тогда и только тогда, когда с является линейной комбинацией (а,). в) Если решение существует, то при каких условиях оно единственно? 1.4.
Доказать, что есле У н ЯГ являются векторными пространствами в Ую то ортогональное дополнение суммы У и йг равно произведению ортогональных дополнений У и Яг. (Суммой двух множеств А и В называется совокупность элементов, принадлежащих А или В; произведением А и В называется совокупность элементов, принадлежащих и А и В.) Приложение 11 МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА В этом приложении мы приведем некоторые теоремы без доказательства л). Все переменные и постоянные будем считать действительными числами. Рассмотрим линейное преобразование н переменных х„... ..., х„в гн переменных у>, ..., у (или вектора х с и координатами в вектор у с гг! координатами) у,=аих, +ашх, + ...
+ашх„ УЗ = от\ Х! + !тезка + ... + ЙЗ»Хл, (11, 1) У ат!Х! + аттХЗ+ ' + йт»Х» Прямоугольная таблица коэффициентов этого преобразования называется матрицей линейного преобразования; мы обозначим ее ап а!з ... а!л А(»! х л> аг! азг . ° . атл ат! а»а °,. атл (11. 2) где верхний индекс (т)с',а) (читается «нг на н») матрицы,4 указывает, что А имеет >я строк и н столбцов.
Часто мы будем опускать этот индекс, если размеры матрицы очевидны. Иногда вместо (11. 2) мы будем использовать более короткое обозначение А! "л> = (ап); это обозначение показывает, что элемент г, 1 (элемент в г-й строке и )ьм столбце) матрицы А равен а». Из-за того, что мы будем различать (1)с'. 1)-матрицу н действительное число, которое является только ее элементом, не будет никаких недоразумений; в этом случае можно писать Аг>к>> = =(ап)= ау, ») Отсутствующие доказательства можно найти в книге Биркгофа и Мак-Лейна [В!гй)го((, Мас!.апе, !953) или Мурдоха (Магг(осЬ, >957) (а также в книге Д. В. Беклемишева, указанной в сноске к началу врнложения !.
— Прим. перев.) мАТРичнАя АлГеБРА О и р е де лен и е 1. Матрицей, Гранспонированной к (тХп)- матрице А в (П.2) (обозначается А'), называется (пКт)- матрица ап ааа ... апаа А'= а~п аа .. агап полученная из матрицы А взаимной заменой ее строк и столбцов. Таким образом, если А'=(а(Г), то а,'г =он. Теперь мы введем трн операции иад матрицами. Определение 2. Суммой двух матриц Аы'"и> =(ап) и В("'а'и> = (Ьи) называетсЯ (т Х и)-матРица А + В = (ан + + Ьп), полученная сложением соответствующих элементов. Сумма матриц определяется только для матриц одинаковых размеров. Очевидно, что сложение матриц коммутативно и ассоциативно: А+ В = В+ А, (А+ В).+ С = А+ (В+ С) = А -1- В 1 С.
х~ — — ~ Ь,аига (1 = 1, ..., и) а-! (И. 3) с матрицей Ь~а ° Ьи В(пхп ьм ьм ... ьаг Ьпа Ьпа . ° ° Ьпг Результирующим преобразованием, полученным подстановкой (П.з) в и у,= й, аих, (1=1, ., т), 1 а Транспонированная матрица суммы равна сумме транспоннрованных матриц слагаемых (А + В) ' = А'+ В'.
О и р е дел е н и е 3. Произведением (т ',аа'. и)-матрицы А на действительное число с называется (тХ и)-матрица сА = = (сач), полученная умножением каждого элемента на с. Это умножение имеет такие же свойства, как умножение вектора на число. Отметим, что (сА)'= сА'. Прежде чем переходить к определению матричного умножения, мы рассмотрим сначала два последовательных линейных преобразования: преобразование цаь ..., нг„ в хь ..., х„, а затем хь ..., х„ в уь ..., у„. Предположим, что преобразованием х в у является (П.1) с матрицей А<""<ю в (П.2), а преобразованием тв в х — преобразование ПРИЛОЖЕНИЕП 436 является (11. 4) или У! —— ~„С1ЬЮ„ Ь-1 где сы = Х аыЬ!м 1 1 (11.
5) Матрица этого преобразования равна С!! С!1 ... Р„ С(Р!хг1 с1! Рм ° .. см фРР~...СР„ Для этих матриц (П. 6) Эту матрицу С назовем произведением А на В, так что АВ = С. Другими словами: Определение 4. Произведением матрицы А!"х"1 =(ая) на В1"х'! = (Ь!Е) называется матрица С1"'х'! = (с14), где см определены формулой (11. 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
