Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 93
Текст из файла (страница 93)
св. (степе- /» »а нами свободы). Назовем 6=~ ~; я»!) параметром нецентраль! ! ности этого распределения. 3 а м е ч а н и е, Отметим, что обычное, или г(ентральное, т'-распределение является частным случаем нецентрального, когда параметр нецентральности 6 = О. (Наша терминология до некоторой степени неудачна. Если мы говорим: «случайная величина д'», не указывая специально ее центральности, то нужно понимать, что это центральный д«, а если мы говорим «нецентральный т«», то он может быть центральным), это относится также к Р- и 1-распределениям. Параметр нецент- ральности в литературе обычно определяется по-разному; одни авторы используют Х = б«, тогда как другие используют Х = — б, причем те и другие применяют один и тот же сим- 1 2 вол Х, О б о з н а ч е н и е.
Случайную величину, являющуюся не- центральным )!» с» ст. св. и параметром нецентральности 6, мы будем обозначать через т,"ь, а т,',.'ь через д',. Обозначение т'„'ь корректно, так как распределение этой величины зависит от а„ $м ..., $„ только через функцию б. Геометрически это совсем очевидно. Функцией распределения У является Р(и) = Р(с! = ( и). Эта функция равна вероятности того, что точка Р = = (х!,..., х„) не попала вне т-мерной сферы с центром в на- нгцинтиальныи хь к и с 461 чале координат радиуса и'с*. Распределение точки (хь ..., х,) относительно с;> = (91,...,9,) сфернчески симметрично. Следовательно, г"(и) не меняется, когда Я движется по сфере постоянного радиуса б с центром в начале координат.
Аналитически можно получить то же заключение, если ортогональным преобразованием перейти к новым независимым переменным ус, ..., у„так, чтобы точка (;> попала на ус-ось. т Таким переходом получим У=утс+ ~ ус, где ус имеет рас!=2 пределение АС(б, 1), ус имеет распределение Ас'(О, 1) при 1 = 2, ... и, а уь у2, ..., у, независимы. Следовательно, бс = х'„' = (о + б)' + х'„ где о не зависит от Хат , и имеет распределение Ф(0,1). Хорошо известно, как из этого соотношения можно получить плотность распределения у,", , Эта плотность не имеет простого явного выражения е), Среднее и дисперсия Хаь Мы будем использовать следующие элементарные формулы: если х распределен >Ч(0,1), то 0 (х) = М (х') = 1, 0(х') = М(х') — [М(х')[' = 3 — 1 = 2, Сот(х,х') = М([х — М(х)[ [х' — М(х')[) = = М [х(х' — 1) [ = М (хь) — М (х) = О.
Запишем (1Ч.1) в виде Х'„'ь=(о+ б)'+ Х у'„где о, уь ". 1 2 ..., у, независимы и нормально распределены с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Следовательно, т мС„,*,>-и(. ем.е не Кд,*.)-невес-н — н, М (Х .ь)= и+ б (1Ч.2) т 0 (цеь) 0 [(о + б)2[+ ~' 0 ® = 0 (о2+ 2бо) + 2 (тс — 1) ио 0 (ое+ 2бо) = 0 (ос + 0 (2бо) + 2 Сот (о', 2бо) = 2 + (2б)2 + О, ") См., например, Патнаик (Распаня 1949). ПРИЛОЖЕНИЕ 1У 462 так что окончательно получаем (1Ч.
3) 0 (Х" ) = 2т + 46т Сложение нецентр а льны х )14 Рассмотрим независимые случайные величины 01 и 0т с не- центральными )1т-распределениями. 01 имеет распределение т', ье 02 имеет распределение )!.'„ Тогда по определению 1 отсюда немедленно следует, что 0~ + 02 снова имеет нецентральное )!'-распределение. 01 + 02 имеет распределение )Ст ь с т = т~ + тм 6 = 161 + 62) *. (1Ч, 4) Нецентральное Р Определение 2. Пусть 01 и 02 — независимые случайные величины. Если 01 и 02 имеют распределение соответственно )1" ,ь и )!тте то распределение частного (01/т1)/(02/тЕ) называется нецентральным Р-распределением с т1 и тт ст, св. и параметром нецентральносги 6.
О б о з н а ч е н н е. Случайную величину, распределенную по закону нецентрального Р-распределения с т1 и тт ст. св, и параметром нецентральности 6, будем обозначать через Р; , , Плотность распределения нецентрального Р может быть вычислена обычнымн методами, но, так же как плотность нецентрального )1', она не имеет простого явного выражения "). Нецентральное 1 О п р е д е л е н и е 3. Если х и 0 — независимые случайные величины, причем х имеют распределение М(6,!), а 0-)!'„то !/Э распределение частного х/(О/т) ' называется неценгральным 1-распределением с т ст.
св. и параметром нецентральности 6. Обозначение. Случайную величину, имеющую 1-распре- деление с т ст. св. и параметром нецентральности 6, мы обо- значим через !', Очевидно, что !„" =. Р,', ° ) См., например, Пьтванк (Ра!па)е, !949). задачи 463 Таблицы и диаграммы нецентральных распределений )(э, Р и 1 рассматриваются в 9 2.8, а таблицы распределений н пределов центральных ух, Р н 1 в 9 2.2.
А ппро кси м а цн я*) нецента льны х )(з и Р Иногда полезно аппроксимировать )('з н Г' соответственно РаспРеделениЯм )(з н Р. Можно аппРоксимиРовать У,"з величиной ст"-, где постоянные с и б определяются по (1Н, 2) и (1Н. 3) так, чтобы средние и дисперсии двух распределений совпадали сч = ч+бз, сзч = у+26з. (1Н. 5) Тогда число ч ст. св. обычно больше не является целым. Аппроксимация )(',зз величиной с Х' немедленно дает аппроксимацию Р'„ ,,а величиной сч, 191Рт .и где с н бг определяются (1Н.
5) с ч 11 б, замененными на чг 11 91. Этот метод очевидным способом может быть распространен на линейную комбинацию независимых нецентральных )(з с положительными коэффициентами. задачи 1Ч.1. Иногда (например, в $4.8) может встретиться двойное нецентральное Р-распределение. Соответствуюшую случайную величину можно и обозначить через Р , а а , .ее закон распределения определяется отношением двух независимых нецентральных Хз с числами ст.
св. ть чз соответственно н параметрамн нецентральностн б, и бз. Используя (1Ч.5), показать, как аппроксимировать двойное нецентральное Р-распределение центральным и Р-распределением, т.е. Р, „, з, з величиной сРе е,, определить постоян. ную с и числа ст. св. т, и тз через ть тз, бь бз.
1Ч,2. Доказать, что прн больших т Хтт имеет распределение дг(т,2т). Указание. Центральная предельная теорема. 1Ч. 3. Пели для последовательности случайных величин (Хт) (т = 1, 2, ...) сушествует постоянная 8 такая, что для любого е ) О Р () Ху — 8 ( < е) -ь! при т -> ео, то говорят, что Х сходится по вероятности к 8. а) Доказать. что достаточным условием для этого является М (Хт) — ь 8, В(Х )-ьо. Указание. Использовать неравенство Чебышева.
б) Показать, что т (т сходится по вероятности к 1. в) Доказать б), используя результат задачи 1Ч. 2. ') Эта аппроксимация была предложена Патнаиком (Ра1паць 1949). Численное согласие аппроксимации нецентрального х' с его буз-ным верхним пределом, по-видимому, было показано Тыоки (Тпйеу, 1957 Ь). ПРИЛОЖЕНИЕ Г» !У.4. Построить следующую аппроксимапию для функпия распределеяия иепентрального 1, использующую распределение 1У(0,!): ,где з имеет распределение Ф (О, 1).
Указание. Предположим, что и в зз независимы, е имеет распределение Ф(0, 1), а з' имеет распределение Е /». Тогда з имеет приближенно распре. деление У(1, (2») -'), а (о + 6) гз ~ «тогда н только тогда, когда и — ««+ 6:- О, Приложение тг МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Многомерное нормальное распределение т переменнмх может быть определено как совместное распределение т линейных (неоднородных) функций от независимых случайных величин хь хь ..., х„каждая из которых имеет распределение 1тг(0,1), Это распределение является совместным распределением Уь Уь ..., У„, где У=Ах+Ч, х=(хь,„х,), У= =(Уь...,У„), А<"'ми> — постоЯннаЯ матРица, а Ч< кп — постоанный вектор.
Мы будем также говорить, что случайный вектор у имеет многомерное нормальное распределение. Так как х имеет среднее М (х) = 0 и ковариационную матрицу Г, = 1, то из результатов конца э 1.2 следует, что средним и ковариационной матрицей у являются М(у) = Ч и Гв — — АА', Можно показать*), что многомерное нормальное распределение у полностью определяется первыми двумя моментами М(у) и Г„.
Из теоремы 7 приложения П следует, что Г„является симметричной неотрицательно определенной матрицей; это утверждение верно для любой ковариационной матрицы. Можно также показать, что если Г„не вырождена, то уь ..., у имеютсовместнуюплотностьраспределения (2п) ~(Гл~ 'е ~~, где Я является квадратичной формой (у — Ч) Г (у — Ч).
(тг.)) Отсюда следует, что уь ..., У„имеюшие нормальное распределение с невырожденной матрнцей Г„, независимы тогда и только тогда, когда Г„ диагональна, так как в этом и только в этом случае совместная плотность распределения равна произведению одномерных плотностей. Если Г„ вырождена, то говорят, что у имеет вырожденное распределение; в этом случае, если г(Г,) = 1, то вся «масса» распределения сосредоточена на 1-мерном подпространстве т-мерного пространства у и не су- ') доказательства утверждений этого параграфа читатель может найти в книге Крамера (Сгвгнег, )946, гл. 22, 24). ПРИЛОЖЕНИЕ >г ществует надпространства низшей размерности, обладающего таким свойством (( = ранг А следует понимать в определенном выше смысле). Мы будем использовать выражение «у> >с» имеет распределение Ф(Ч,Г„)» в тех случаях, когда у имеет нормальное распределение с указанными моментами.
Так, например, можно СКаЗатЬ, Чта ПрИВЕдЕННЫй ВЫШЕ ВЕКтОр Х>я"» ИМЕЕТ раСПрЕдЕ- ление >>г(0,4). Из определения многомерного нормального распределения следует, что любое линейное преобразование вектора у, имеющего многомерное нормальное распределение, тоже имеет многомерное нормальное распределение. Более точно, если у имеет распределение >)г(Ч, Г„) и ш>«и'> = Ву, где В(«""'>— постоянная матрица, то ге имеет распределение >>г(ВЧ, ВГ„В').
Т е о р е м а. Если у> "'> имеет распределение Лг(Ч, Г„) и Г„ нева>рождена, то квадратичная форма (Н.1) имеет )(з-распределение с т ст. св. Дока з а те 4> ь от в о. Б доказательстве леммы 11' приложения П было показано, что существует невырожденная (т)г', т)-матрица Р такая, что РГ„Р'= 1; следовательно, Г„= = (Р'Р)-'.
Определим случайный вектор н>1 'н» = Р(у — Ч). Этот вектор и> имеет распределение 1>>(0, Г ), где Г = РГ„Р' = = г; поэтому и>'>в= Х ше„но определению приложения 1»', Г 1 имеет распределение )(-', а и> н> = (у Ч) Р Р (у Ч) = (у Ч) 1в (у Ч) 3 а м е ч а н и е. При вычислении значения квадратичной формы, матрица которой обратна к заданной, можно избежать фактического обращения матрицы и, используя соотношение ") (А+ иа'( (А( заменить обращение матрицы вычислением только двух определителей. Это может быть полезным в приложениях приведенной выше теоремы, Га Х отел ли ига Предположим, что мы имеем выборку объема з' из т-мерной нормальной популяции, т.
е. наша выборка состоит из г' независимых векторов х(п = (хн,...,х 1)' 1= 1, ..., У, каждый из ") См. Уплкс (>л1нгз, 1932, сгр. 487 — 488). Из соотношения, зквивалеиг. ного его соотношению (38) и из уравнения, приведенного за (40), следует каша формула (>>.2). МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕЛЕЛЕННЕ 4б7 которых распределен 1Н(й, Г). Тогда вектор выборочного сред- него х=~ х'л/у, 1чя компонента которого равна х;=Хх1)уу, 1 1 распределен Н(9, У-1Г). Несмещенной оценкой элемента (1, 1') матрицы Г (т. е. Соч(хн х,)) является выборочная ковариация вази — — (У вЂ” 1) '2:(х„— хе)(х,,— х,), l (Н.З) а матРица 3, элемент (1,1') котоРой Равен гио ЯвлЯетсЯ несмещенной оценкой Г, Можно показать, что случайная матрица 3 не зависит от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
