Шеффе Г. - Дисперсионный анализ (1185347), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Этот факт известен читателю в случае тп = 1. Из приведенной выше теоремы мы знаем, что если Г невы- рождена, то У (х — 9)Т-1 (х — 9) имеет )(з-распределение с т ст. св. Случайная величина, полученная из (Н.4) заменой Г-' на 3, называется случайной величиной Т' Хотеллинга. Можно показать *), что Тз = У(х — 9)'3-'(х — 9) распределено Р,т . (Н. 5) Ух'3 'х имеет распределение Р,'„. 7- 1в.
(Н. 6) где параметр нецентральности б нецентрального Р-распределе- ния (приложение 1Н) определяется формулой бз — Уй'1 19 (Н. 7) В случае лт = 1, где Т' Хотеллинга становится случайной вели- чиной (з Стьюдента, читатель знаком с (Н.5) и может легко проверить (Н.6) и (Н.7). ') Прямое доказательство, показывающее, что Тз распределено так же, как константа, умноженная на частное двух незавнснмык д', было дано Внйсманом (%1)зпзап 1957). '*) См.
у Внйсмана (чт1)зпзап, !997). Этот результат впервые получнл Сюй (Нзп, 1938с). В приложениях (Н. 5) может оказаться полезным сделанное выше замечание. Если мы используем Тз-статистику для проверки гипотезы УУ: 9 = О, то для вычисления мощности этого критерия нам потребуется распределение Ух'3-1х в предположениях, противоположных О. Можно показать *'), что если х имеет распределение )Н(й, Г), то ПНИЛОЖЕИИЕ Ч ЗАДАЧИ Ч. !. Пусть (х„..., х ) независимы и нормально распределены с одннаковымн дисперсиями. Рассмотрим (уо ..., р ), являющиеся линейными фуикцними (х»). Доказать, что (у») независимы н имеют равные дисперсии тогда н только тогда, когда матрица преобразовании отличается от ортогональной матрицы только числовым множителем.
Ч.й. Пусть 0 — квадратичная форма от случайных величин, совместное распределение которых является невырожденным многомерным нормальным распределением. Доказать, что »;! распределено, как линейная комбинация независимых нецентралы»ых Х'. Указание. пусть »;! = р'Ау, где р имеет распределение йг(»),Г„). существуют невырожденная матрица Р и ортогональная матрица Т такие, что РûР=! н Т(Р'-'АР-')Т' = (!»,6»»). Пусть з — ТРу, так что Г, = й В Я л Ага! объедн»»ить члены с равными Хь 2 Приложение И ТЕОРЕМА КОКРАНА Когда в различных случаях дисперсионного анализа полное 53 разбивается на сумму других ЯЯ, то совместное распределе- ние этих последних Я5 часто можно получить из теоремы Кок- рана.
Мы не использовали теорему Кокрана в этой книге, но она является достаточно важной и часто встречается в лите- ратуре по дисперсионному анализу, поэтому ее рассмотрение в этом приложении оправдано. Мы получим теорему Кокрана как простое следствие следующей теоремы. й Т е о р е и а 1. Пусть ~„уз! = Я! + ...
+ Ям где ф (1 = 1,..., з) !-! является квадратичной формой ранга и; от переменных у„... ..., у„. Необходимым и достаточным условием существования ортогонального преобразования 2 = Ау, переводящего вектор у =(у„...,у,)' в вектор 2=(2!,...,2„)' так, чтобы при этом й й~+й, тг! = Я азз, !гз = ~~ 2з, (Ч1. 1) (),= Е й!+ ... йй !+! является условие п!+ пз+ ... + и, = и. Доказательство* ), Необходимость.
Если такое ортой й!+ .. ° -!-й гональное преобразование существует, то 2' уз!= ~ г'-,'. ! ! 1-! Левая часть является квадратичной формой ранга и, а правая часть — квадратичной формой ранга и!+ ... + п,. По лемме 4 приложения 11 отсюда следует, что и!+ ... + и.
= и. Достаточность. Так как ранг От равен пь то по следствию 3 приложения 11 отсюда следует, что существует пт линейных й) з)о существу вто доказательство совпадает с доказательством Кокраке (Соспгеп, 1934), 470 ПРИЛОЖЕНИЕ Ч1 форм (гз) переменных у!...,, у„, таких, что (г! —— ~ б.гз где 1 1~ каждое 6; = +1 или — 1. В (;)! мы выберем индексы ! в различ- ных г! Равными 1, 2, ..., п1, в Яз Равными и!+ 1, ..., п!+ пз и т.
д. Если ~ и! — — п, то существует и линейных форм г„ко- 3 ! торые в матричных обозначениях можно записать так: г'и"'1= А(иХ»1у(иХ 11 Вводя диагональную (п)(п)-матрицу Р с диагональными З и элементами 61, ..., б„, получаем ~ (г! —— ,б, б!ге!=я'Рг= 1-1 ! 1 З и =у'А«РАу.
С другой стороны, ~(г! — — Х уз=у'у. Так как 1 1 1 1 симметричная матрица квадратичной формы единственна, то мы заключаем, что А'РА = 1, следовательно, А невырож- дена. Теперь мы можем доказать, что Р= 1. Действительно, предположим, что 6» = — 1. Тогда по формуле у =А-'г мы можем найти значения у1, ..., у„соответствующие значениям гз = О при 1 ~ й и га = 1, а для этих значений и и г у-,'= г 61г',. = 6» = — 1, что невозможно. Следовательно, 1 ! 1 Р = 1 и А'А = 1.
Последнее равенство показывает, что преоб. разование г = Ау ортогонально, До некоторой степени необычно, что условие ~ и,= и обе- 1 ! спечивает положительность квадратичных форм (г1, а также что все нх характеристические числа равны О или 1 (так как при ортогональном преобразовании квадратичная форма Я! равна сумме пз величин (гл!)).
Теорема 2 (теорема Кокрана)«). Пусть случайные величины у! (! = 1..., п) независимы, имеют распределение )ч'(Ч1, 1) и пусть квадратичные формы (г1, Яе, ..., Я, от величин (у!) таковы, что Положим **) и; = т((г1). Тогда (г1, ..., (г, будут иметь независимые нецентральные т'-распределения с и1, ..., и, ст. св. соответственно тогда и только тогда, когда ~, и! — — и. Если через 1 ! ") Центральный случай был устаноелен Кокраном (Сос)згап, (934), не. центральный — Манну (Мабочч, 1940] ««) Ранг кеадратнчной формы О будем обозначать с(Я).
ТЕОРЕМА КОКРАНА 471 й "/ нецентральное уа-распределение с ст. св. Но Ф л ~ /;// 2, ут; и имеет нецентральное та-распределение с и /-1 ' 1-1 ст. св. Следовательно, ~, и/=и. / 1 2) Допустим, что ч ~и/ —— и. Тогда при ортогональном пре- / 1 образовании х = Ау теоремы 1, случайные величины (х/) снова будут независимыми и нормально распределенными. Из соотношений (!/1. 1) немедленно следует, что Я/) имеют независимые нецентральные та-распределения с (и/) ст. св. соответственно.
Значение 6,' может быть получено по правилу 1 $ 2.6. Часто теорема Кокрана применяется в центральном случае, т. е. в случае, где М(у/) = О (1= 1,...,п). Тогда (1'„//) имеют центральные та-распределения. Следующее следствие к двум доказанным теоремам полезно в том случае, когда предложенным в начале этого приложения методом устанавливают ортогональные соотношения в теории распределения сумм квадратов, входящих в разбиение полного 55. Следствие 1*). Пусть выполнены предположения теоремы 2 и 2, и! —— и. Предположим, что каждое /;// записано не- 1 которым способом в виде суммы квадратов линейных форм (1.//) от переменных (у/) '/ Я = Е1' (1=1 з) Тогда при /Ф1 и любых /, у (/ = 1...„,т/,у= 1,,т/,) формы //1 и /./! ортогональны. Доказательство.
Так как (Т.//) являются линейными формами от переменных (у/), то они также являются линейными формами от (х,), используемых в доказательстве ") Это следствие мие указал проф. Р. Вияснан, 6/ обозначен параметр нецентральности !',//, то значение 6/ может быть получено заменой у/ на т)/ в /г/. Доказательство. 1) Если Я/) являются независимыми случайными величинами, имеющими та-распределения с (и/) ст. св. соответственно, то из (1тт. 4) следует, что ~ (;// имеет / 1 472 ПРИЛОЖЕНИЕ Чг теоремы 2, Обозначим через 5г множество, состоящее нз лг значений й прн которых аг входит в Яь тогда (;г, = Е а'; (! 1, ..., з).
(У1. 2) Покажем, что в (.п с ненулевыми коэффициентами могут входить только (гн) с 1~5Л Предположим противное, т. е. пусть л при некотором 1(т; и некотором ЙИ 5~ имеем Ьн — — Х сга, и сг Ф О. Тогда при значениях (а; = бм) получаем что противоречит равенству 4;17 = О, которое следует из (Н1.2). Так как (.п н 1,7, являются линейнымн комбинациями множеств (аг) с 1 входящими в 5г н 5 ° соответственно, а зти два множества случайных величин независимы, то (.н и 1,;г тоже независимы; следовательно, как линейные формы переменных (у;) онн ортогональны. Для иллюстрации использования теоремы Кокрана рассмотрим случай двухфакторного анализа с одним наблюдением в ячейке в предположениях $4.2.
В этом параграфе из общей теории мы получила следующие 55: 55 =УХ(у — у )' 55 =1~(у — у )' ! 55 — ~~(у у у ) у )г Этн суммы мы можем также получить как интуитивные статистические меры различия между строками н т. д.; 55, может быть также подсказано построением, которое приводится ниже для получения тождества Х~: ум=)уу'., +55, +55, +55,. Это тождество следует из общей теории, но его можно получить непосредственно, если сохранить скобки при возведении в квадрат н суммировании следующего выражения: уу = улл+ (у . — у.*)+ (у.~ — у*.)+ (уу — уы — у»~+ у.*) Таким путем можно получить теорию распределения сумм квадратов, используя теорему Кокрана.
Чтобы применить теорему к (У1.3), мы должны знать ранги четырех квадратичных форм в правой части. Раньше зтн ранги были побочными результатами общей теории (а именно числами ст, св, соответствующих нецентральных уг-распределений); теперь мы должны их полу- ТЕОРЕМА КОКРАНА 47з чить непосредственно, но это нетрудно. Используем следуюшую лемму. Л ем м а 1. Ранг суммы квадратичных форм не превосходит суммы их рангов. Доказательство. Достаточно показать, что если А! и А! являются матрицами одного порядка и ранг А! равен г!, то т(А! + Аз)< т!+ тг Для векторного пространства, порожденного столбцами А!, выберем базис из т! векторов.
Тогда так как столбцы А!+ А! равны суммам соответствуюших столбцов А! и Аь то они являются линейными комбинациями т!+ гз векторов двух базисов; следовательно, число линейно независимых столбцов в А!+ Аз не может превосходить т!+ гь л Следствие 2. Если 3 ут!=(1 + ... + !'!„где ране Щне превосходит и!! (1 = 1, ..., з), и если т! + ... + т, = и, то т((1!) = ть Лемм а 2. Если Я является квадратичной формой от переменных х!, ..., х„и может быть выражена как квадратичная форма переменных г!, ..., г, являющихся линейными формами хь ..., х„, то т(Я) ( р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
