Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330), страница 30

Файл №1185330 Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf) 30 страницаЕ. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008) (1185330) страница 302020-08-252020-08-25СтудИзба

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Регистрация/авторизация

Текст из файла (страница 30)

ùÚÓ Ì‡ËÏÂÌ¸¯‡ﬂ ËÁ ÏÓÌÓÚÓÌÌ˚ıÏÂÚËÍ.ÑÎﬂ Î˛·˚ı ρ1 , ρ2 ∈ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÅÛÂÒ‡, Ú.Â. „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍÓÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÓÂ ÏÂÚËÍÓÈ ÅÛÂÒ‡, ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌÓ Í‡Í(2 Tr ρ1 + Tr ρ2 − 2 Tr ρ11 / 2 ρ2 ρ11 / 2)1/ 2.ç‡ ÔÓ‰ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË = {ρ ∈ : Tr ρ = 1} Ï‡ÚËˆ ÔÎÓÚÌÓÒÚË ÓÌÓ ËÏÂÂÚ ÙÓÏÛ(2 arccos Tr ρ11 / 2 ρ12/ 2)1/ 2.åÂÚËÍ‡ Ô‡‚ÓÈ ÎÓ„‡ËÙÏË˜ÂÒÍÓÈ ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÓÈåÂÚËÍ‡ Ô‡‚ÓÈ ÎÓ„‡ËÙÏË˜ÂÒÍÓÈ ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÓÈ (ËÎË RLD-ÏÂÚËÍ‡) ÂÒÚ¸ ÏÓÌÓÚÓÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË ‚ÒÂı ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ˚ı n × n Ï‡ÚËˆ Á‡‰‡‚‡ÂÏ‡ﬂ Û‡‚ÌÂÌËÂÏλ ρ (u, v) = Tr uJρ ( v),1 −1(ρ v + vρ −1 ) – Ô‡‚‡ﬂ ÎÓ„‡ËÙÏË˜ÂÒÍ‡ﬂ ÔÓËÁ‚Ó‰Ì‡ﬂ.

ùÚÓ – Ì‡Ë·ÓÎ¸3¯‡ﬂ ÏÓÌÓÚÓÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡.„‰Â Jρ ( v) =åÂÚËÍ‡ ÅÓ„ÓÎ˛·Ó‚‡–äÛ·Ó–åÓËåÂÚËÍ‡ ÅÓ„ÓÎ˛·Ó‚‡-äÛ·Ó-åÓË (ËÎË Çäå-ÏÂÚËÍ‡) ÂÒÚ¸ ÏÓÌÓÚÓÌÌ‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË ‚ÒÂı ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ˚ı n × nÏ‡ÚËˆ, Á‡‰‡‚‡ÂÏ‡ﬂ Û‡‚ÌÂÌËÂÏλαρ (u, v) =∂2Tr fα (ρ + su) ln(ρ + tv) |s, t = 0 .∂t∂såÂÚËÍË ÇË„ÌÂ‡–üÌ‡ÒÂ–Ñ‡ÈÒÓÌ‡åÂÚËÍË ÇË„ÌÂ‡–üÌ‡ÒÂ–Ñ‡ÈÒÓÌ‡ (ËÎË WYD-ÏÂÚËÍË) Ó·‡ÁÛ˛Ú ÒÂÏÂÈÒÚ‚ÓÏÂÚËÍ Ì‡ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË ‚ÒÂı ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ˚ı Ï‡ÚËˆ, Á‡‰‡‚‡ÂÏ˚ı Û‡‚ÌÂÌËÂÏλαρ (u, v) =1− α∂2Tr fα (ρ + tu) f− α (ρ + sv) |s, t = 0 .∂t∂s2x 2 , ÂÒÎË α ≠ 1, Ë ln x, ÂÒÎË α = 1. ùÚË ÏÂÚËÍË ·Û‰ÛÚ ÏÓÌÓÚÓÌ1− αÌ˚ÏË ‰Îﬂ α ∈ [–3,3]. ÑÎﬂ α = ±1 ÔÓÎÛ˜ËÏ ÏÂÚËÍÛ ÅÓ„ÓÎ˛·Ó‚‡–äÛ·Ó–åÓË, ‡ ‰Îﬂα = ±3 – ÏÂÚËÍÛ Ô‡‚ÓÈ ÎÓ„‡ËÙÏË˜ÂÒÍÓÈ ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÓÈ.„‰Â fα ( x ) =132ó‡ÒÚ¸ II. ÉÂÓÏÂÚËﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂåÂÚËÍ‡ ÇË„ÌÂ‡–üÌ‡ÒÂ (ËÎË WY-ÏÂÚËÍ‡) λρ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍÓÈ ÇË„ÌÂ‡–üÌ‡ÒÂ–Ñ‡ÈÒÓÌ‡ λ0ρ , ÔÓÎÛ˜ÂÌÌÓÈ ‰Îﬂ α = 0.

ÖÂ ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Í‡Íλ ρ (u, v) = 4 Tr u(Lρ + Rρ) (v),2Ë ÓÌ‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ÂÈ ÏÂÚËÍÓÈ ÒÂÏÂÈÒÚ‚‡. ÑÎﬂ Î˛·˚ı ρ1 , ρ2 ∈ „ÂÓ‰ÂÁË˜ÂÒÍÓÂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ, Á‡‰‡‚‡ÂÏÓÂ WY-ÏÂÚËÍÓÈ, ·Û‰ÂÚ ËÏÂÚ¸ ‚Ë‰()2 Tr ρ1 + Tr ρ2 − 2 Tr ρ11 / 2 ρ12/ 2 .ç‡ ÔÓ‰ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË = {ρ ∈ : Tr ρ = 1} Ï‡ÚËˆ ÔÎÓÚÌÓÒÚË ÓÌÓ ·Û‰ÂÚ ‡‚ÌÓ()2 arccos Tr ρ11 / 2 ρ12/ 2 .åÂÚËÍ‡ äÓÌÌ‡ÉÛ·Ó „Ó‚Óﬂ, ÏÂÚËÍ‡ äÓÌÌ‡ – ˝ÚÓ Ó·Ó·˘ÂÌËÂ (ËÁ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ‚ÒÂı ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚÌ˚ı ÏÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ï Ì‡ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ÒÓÒÚÓﬂÌËÈ Î˛·ÓÈ ÛÌËÚ‡Î¸ÌÓÈ C-‡Î„Â·˚) ÏÂÚËÍË ä‡ÌÚÓÓ‚Ë˜‡, å˝ÎÎÓÛÁ‡–åÓÌÊ‡–Ç‡ÒÒÂ¯ÚÂÈÌ‡, Á‡‰‡ÌÌÓÈ Í‡Í ÎËÔ¯ËˆÂ‚Ó ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÏÂÊ‰Û ÏÂ‡ÏË.èÛÒÚ¸ Mn – „Î‡‰ÍÓÂ n-ÏÂÌÓÂ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂ.

èÛÒÚ¸ A = C ∞ ( M n ) – (ÍÓÏÏÛÌËÚ‡ÚË‚Ì‡ﬂ) ‡Î„Â·‡ „Î‡‰ÍËı ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÁÌ‡˜Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ Ì‡ M n , ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌÌ˚ıÓÔÂ‡ÚÓ‡ÏË ÛÏÌÓÊÂÌËﬂ Ì‡ „ËÎ¸·ÂÚÓ‚ÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â H = L2 ( M n , S ) Í‚‡‰‡ÚË˜ÌÓËÌÚÂ„ËÛÂÏ˚ı ÒÂÍˆËÈ ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ ÒÔËÌÓÓ‚ Ì‡ Mn : ( fξ)( p) = f ( p)ξ( p) ‰Îﬂ ‚ÒÂı f ∈ AË ‚ÒÂı ξ ∈ H. èÛÒÚ¸ D – ÓÔÂ‡ÚÓ ÑË‡Í‡. èÛÒÚ¸ ÍÓÏÏÛÚ‡ÚÓ [D, f] ‰Îﬂ f ∈ A ÂÒÚ¸ÛÏÌÓÊÂÌËÂ äÎËÙÙÓ‰‡ Ì‡ „‡‰ËÂÌÚ ∇f, Ú‡ÍÓÂ ˜ÚÓ Â„Ó ÓÔÂ‡ÚÓ ÌÓÏ˚ || ⋅ || ‚ çÁ‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Í [ D, f ] = sup p ∈M n ∇f .åÂÚËÍÓÈ äÓÌÌ‡ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‚ÌÛÚÂÌÌﬂﬂ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ M n , Á‡‰‡‚‡ÂÏ‡ﬂ ‚˚‡ÊÂÌËÂÏsupf ∈Ai ||[ D, f ]||≤1f ( p) − f (q ).Ñ‡ÌÌÓÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËÂ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔËÏÂÌÂÌÓ Ú‡ÍÊÂ Í ‰ËÒÍÂÚÌ˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË ‰‡ÊÂ Ó·Ó·˘ÂÌÓ Ì‡ "ÌÂÍÓÏÏÛÚ‡ÚË‚Ì˚Â ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡" (ÛÌËÚ‡Î¸Ì˚Â C*-‡Î„Â·˚).Ç ˜‡ÒÚÌÓÒÚË, ‰Îﬂ ÔÓÏÂ˜ÂÌÌÓ„Ó Ò‚ﬂÁÌÓ„Ó ÎÓÍ‡Î¸ÌÓ ÍÓÌÂ˜ÌÓ„Ó „‡Ù‡ G = (V, E) ÒÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ‚Â¯ËÌ V = {v1, ..., vn, ...} ÏÂÚËÍ‡ äÓÌÌ‡ Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Ísup||[ D, f ]||= || df ||≤1∑fv i − fv j∑2‰Îﬂ Î˛·˚ı vi , v j ∈ V , „‰Â  f =fv i vi :fv i < ∞  ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ÙÓÏ‡Î¸Ì˚ı ÒÛÏÏ f, Ó·‡ÁÛ˛˘Ëı „ËÎ¸·ÂÚÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, Ë [ D, f ] ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ deg( v1 )( fv k − fv i )Í‡Í [ D, f ] = sup k =1∑1/ 2.ÉÎ‡‚‡ 7.

êËÏ‡ÌÓ‚˚ Ë ùÏËÚÓ‚˚ ÏÂÚËÍË1337.3. ùêåàíéÇõ åÖíêàäà à àïï éÅéÅôÖçàüÇÂÍÚÓÌ˚Ï ‡ÒÒÎÓÂÌËÂÏ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ú‡Í‡ﬂ „ÂÓÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ÍÓÌÒÚÛÍˆËﬂ, ‚ ÍÓÚÓÓÈÍ‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ ÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ å ÒÚ‡‚ËÚÒﬂ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ ‚ÂÍÚÓÌÓÂÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ú‡Í, ˜ÚÓ ‚ÒÂ ˝ÚË ‚ÂÍÚÓÌ˚Â ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡, "ÒÍÎÂÂÌÌ˚Â ‚ÏÂÒÚÂ",Ó·‡ÁÛ˛Ú ‰Û„ÓÂ ÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó Ö. çÂÔÂ˚‚ÌÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ π:E → M Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÂÍˆËÂÈ Ö Ì‡ å.

ÑÎﬂ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍË p ∈ M ‚ÂÍÚÓÌÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó π –1(p) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÌÓÈ ÌËÚ¸˛ ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ. ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚Ï (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚Ï) ‚ÂÍÚÓÌ˚Ï ‡ÒÒÎÓÂÌËÂÏ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ú‡ÍÓÂ ‚ÂÍÚÓÌÓÂ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ π: E → M, ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ì˚Â ÌËÚË π –1(p), p ∈ M ÍÓÚÓÓ„Ó ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì˚ÏË (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ÏË) ‚ÂÍÚÓÌ˚ÏË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ÏË.Ç ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÏ ‚ÂÍÚÓÌÓÏ ‡ÒÒÎÓÂÌËË ‰Îﬂ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍË p ∈ M ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ì‡ﬂ ÌËÚ¸ π –1(p) ÎÓÍ‡Î¸ÌÓ ‚˚„Îﬂ‰ËÚ Í‡Í ‚ÂÍÚÓÌÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó n, Ú.Â.

ËÏÂÂÚÒﬂÓÚÍ˚Ú‡ﬂ ÓÍÂÒÚÌÓÒÚ¸ U ÚÓ˜ÍË , Ì‡ÚÛ‡Î¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ n Ë „ÓÏÂÓÏÓÙËÁÏ ϕ:U × n → π −1 (U ), Ú‡ÍÓÈ ˜ÚÓ ‰Îﬂ ‚ÒÂı x ∈U , v ∈ n Ï˚ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ π(ϕ( x, v) = v,Ë ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ v → ϕ( x, v) ‰‡ÂÚ Ì‡Ï ËÁÓÏÓÙËÁÏ ÏÂÊ‰Û n Ë π –1(x). åÌÓÊÂÒÚ‚Ó UÒÓ‚ÏÂÒÚÌÓ Ò ϕ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÎÓÍ‡Î¸ÌÓÈ ÚË‚Ë‡ÎËÁ‡ˆËÂÈ ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ.

ÖÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ"„ÎÓ·‡Î¸Ì‡ﬂ ÚË‚Ë‡ÎËÁ‡ˆËﬂ", ÚÓ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÂ ‚ÂÍÚÓÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂπ : M × n → M ÚË‚Ë‡Î¸Ì˚Ï. ÄÌ‡ÎÓ„Ë˜Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ ‚ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ ‚ÂÍÚÓÌÓÏ‡ÒÒÎÓÂÌËË ‰Îﬂ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍË p ∈ M ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ì‡ﬂ ÌËÚ¸ π –1(p) ÎÓÍ‡Î¸ÌÓ ‚˚„Îﬂ‰ËÚÍ‡Í ‚ÂÍÚÓÌÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó n.

éÒÌÓ‚Ì˚Ï ÔËÏÂÓÏ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÚË‚Ë‡Î¸ÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ π : U × n → U , „‰Â U – ÓÚÍ˚ÚÓÂÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ k.Ç‡ÊÌ˚ÏË ÓÒÓ·˚ÏË ÒÎÛ˜‡ﬂÏË ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂÍ‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ T (Mn ) Ë ÍÓÍ‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ T* (M n ) ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó n-ÏÂÌÓ„Ó ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËﬂ Mn = M n . Ç‡ÊÌ˚ÏË ÓÒÓ·˚ÏË ÒÎÛ˜‡ﬂÏË ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ Í‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ Ë ÍÓÍ‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓÂ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ„Ó n-ÏÂÌÓ„Ó ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËﬂ.àÏÂÌÌÓ, ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÂ n–ÏÂÌÓÂ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂ Mn ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÚÓÔÓÎÓ„Ë˜ÂÒÍËÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ, ‚ ÍÓÚÓÓÏ Í‡Ê‰‡ﬂ ÚÓ˜Í‡ Ó·Î‡‰‡ÂÚ ÓÍÂÒÚÌÓÒÚ¸˛, „ÓÏÂÓÏÓÙÌÓÈÓÚÍ˚ÚÓÏÛ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û n-ÏÂÌÓ„Ó ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ n, ËËÏÂÂÚÒﬂ Ú‡ÍÓÈ ‡ÚÎ‡Ò Í‡Ú, ‚ ÍÓÚÓÓÏ ÒÏÂÌ‡ ÍÓÓ‰ËÌ‡Ú ÏÂÊ‰Û Í‡Ú‡ÏË ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡Ì‡ÎËÚË˜ÂÒÍË.

(äÓÏÔÎÂÍÒÌÓÂ) Í‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ T ( Mn ) ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ„Ó ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËﬂ Mn ÂÒÚ¸ ‚ÂÍÚÓÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ ‚ÒÂı (ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚ı) Í‡Ò‡ÚÂÎ¸Ì˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ Mn ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ p ∈ Mn . Ö„Ó ÏÓÊÌÓ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ Í‡ÍÍÓÏÔÎÂÍÒËÙËÍ‡ˆË˛ T ( Mn ) ⊗ = T ( M n ) ⊗ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Â„Ó ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„ÓÍ‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ, Ë ÓÌÓ ·Û‰ÂÚ Ì‡Á˚‚‡Ú¸Òﬂ ÍÓÏÔÎÂÍÒËÙËˆËÓ‚‡ÌÌ˚Ï Í‡Ò‡ÚÂÎ¸Ì˚Ï ‡ÒÒÎÓÂÌËÂÏ Mn . äÓÏÔÎÂÍÒËÙËˆËÓ‚‡ÌÌÓÂ ÍÓÍ‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂMn ÔÓÎÛ˜‡ÂÚÒﬂ ‡Ì‡ÎÓ„Ë˜Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ Í‡Í T * ( M n ) ⊗ .

ã˛·ÓÂ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÂ n-ÏÂÌÓÂ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂ Mn = M n ÏÓÊÌÓ ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡Ú¸ Í‡Í ÓÒÓ·˚È ÒÎÛ˜‡È ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó 2n-ÏÂÌÓ„Ó ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËﬂ, ÒÌ‡·ÊÂÌÌÓ„Ó ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÈ ÒÚÛÍÚÛÓÈ Ì‡ Í‡Ê‰ÓÏÍ‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â. äÓÏÔÎÂÍÒÌ‡ﬂ ÒÚÛÍÚÛ‡ Ì‡ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÏ ‚ÂÍÚÓÌÓÏÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â V ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒÚÛÍÚÛÓÈ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ Ì‡ V,ÍÓÚÓ‡ﬂ ÒÓ‚ÏÂÒÚËÏ‡ Ò ÔÂ‚ÓÌ‡˜‡Î¸ÌÓÈ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÈ ÒÚÛÍÚÛÓÈ. éÌ‡ ÔÓÎÌÓÒÚ¸˛134ó‡ÒÚ¸ II. ÉÂÓÏÂÚËﬂ ‡ÒÒÚÓﬂÌËﬂÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ ÓÔÂ‡ÚÓÓÏ ÛÏÌÓÊÂÌËﬂ Ì‡ ˜ËÒÎÓ , ÓÎ¸ ÍÓÚÓÓ„Ó ÏÓÊÂÚ ‚˚ÔÓÎÌﬂÚ¸ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÂ ÎËÌÂÈÌÓÂ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËÂ J : V → V , J 2 = −id , „‰Â id ÂÒÚ¸ ÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ÂÌÌÓÂ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ.ë‚ﬂÁ¸ (ËÎË ÍÓ‚‡Ë‡ÌÚÌ‡ﬂ ÔÓËÁ‚Ó‰Ì‡ﬂ) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒÔÓÒÓ·ÓÏ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËÂ ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÓÈ ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ÔÓÎﬂ ‚‰ÓÎ¸ ‰Û„Ó„Ó ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ÔÓÎﬂ ‚ ‚ÂÍÚÓÌÓÏ ‡ÒÒÎÓÂÌËË.åÂÚË˜ÂÒÍÓÈ Ò‚ﬂÁ¸˛ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÎËÌÂÈÌ‡ﬂ Ò‚ﬂÁÌ¸ ‚ ‚ÂÍÚÓÌÓÏ ‡ÒÒÎÓÂÌËË π:E → M, ÒÌ‡·ÊÂÌÌÓÏ ·ËÎËÌÂÈÌÓÈ ÙÓÏÓÈ ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ì˚ı ÌËÚﬂı, ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓÈÔ‡‡ÎÎÂÎ¸Ì˚È ÔÂÂÌÓÒ ‚‰ÓÎ¸ ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÈ ÍÛÒÓ˜ÌÓ „Î‡‰ÍÓÈ ÍË‚ÓÈ ‚ å ÒÓı‡ÌﬂÂÚÙÓÏÛ, Ú.Â.

ÒÍ‡ÎﬂÌÓÂ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ ‰‚Ûı ‚ÂÍÚÓÓ‚ ÌÂ ËÁÏÂÌﬂÂÚÒﬂ ÔË Ô‡‡ÎÎÂÎ¸ÌÓÏÔÂÂÌÓÒÂ. ÑÎﬂ ÒÎÛ˜‡ﬂ ÌÂ‚˚ÓÊ‰ÂÌÌÓÈ ÒËÏÏÂÚË˜ÌÓÈ ·ËÎËÌÂÈÌÓÈ ÙÓÏ˚ ÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ Ò‚ﬂÁ¸ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Â‚ÍÎË‰Ó‚ÓÈ Ò‚ﬂÁ¸˛. ÑÎﬂ ÒÎÛ˜‡ﬂ ÌÂ‚˚ÓÊ‰ÂÌÌÓÈ ‡ÌÚËÒËÏÏÂÚË˜ÌÓÈ ·ËÎËÌÂÈÌÓÈ ÙÓÏ˚ ÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ Ò‚ﬂÁ¸ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒËÏÔÎÂÍÚË˜ÂÒÍÓÈÒ‚ﬂÁ¸˛.åÂÚËÍ‡ ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂåÂÚËÍÓÈ ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ‚ÂÍÚÓÌÓÏ ‡ÒÒÎÓÂÌËË.ùÏËÚÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡ùÏËÚÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ Ì‡ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ ‚ÂÍÚÓÌÓÏ ‡ÒÒÎÓÂÌËË π: E → M Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÓ‚ÓÍÛÔÌÓÒÚ¸ ˝ÏËÚÓ‚˚ı ÒÍ‡ÎﬂÌ˚ı ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÈ (Ú.Â.

ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ˚ı ÒËÏÏÂÚË˜Ì˚ı ÒÂÒÍËÎËÌÂÈÌ˚ı ÙÓÏ) Ì‡ Í‡Ê‰ÓÈ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÌÓÈ ÌËÚËE p = π −1 ( p), p ∈ M , ÍÓÚÓ˚Â „Î‡‰ÍÓ ÏÂÌﬂ˛ÚÒﬂ Ò ÚÓ˜ÍÓÈ  ‚ å. ã˛·ÓÂ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÂ‚ÂÍÚÓÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂ ËÏÂÂÚ ˝ÏËÚÓ‚Û ÏÂÚËÍÛ.éÒÌÓ‚Ì˚Ï ÔËÏÂÓÏ ‚ÂÍÚÓÌÓ„Ó ‡ÒÒÎÓÂÌËﬂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÚË‚Ë‡Î¸ÌÓÂ ‡ÒÒÎÓÂÌËÂπ : U × n → U , „‰Â U – ÓÚÍ˚ÚÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ k. Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ˝ÏËÚÓ‚ÓÒÍ‡ÎﬂÌÓÂ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ Ì‡ n Ë, ÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ, ˝ÏËÚÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡ Ì‡ ‡ÒÒÎÓÂÌËËπ : U × n → U Á‡‰‡ÂÚÒﬂ ‚˚‡ÊÂÌËÂÏ〈u, v〉 = u T Hv ,„‰Â ç – ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ ˝ÏËÚÓ‚‡ Ï‡ÚËˆ‡, Ú.Â.

ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ‡ﬂ n × nÏ‡ÚËˆ‡, ÓÚ‚Â˜‡˛˘‡ﬂ ÛÒÎÓ‚ËﬂÏ H * = H T = H Ë v T Hv > 0 ‰Îﬂ ‚ÒÂı v ∈ n \ {0}.nÇ ÔÓÒÚÂÈ¯ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â Ï˚ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ 〈u, v〉 =∑ ui vi .i =1Ç‡ÊÌ˚Ï ÓÒÓ·˚Ï ÒÎÛ˜‡ÂÏ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ˝ÏËÚÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡ h Ì‡ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË Mn , Ú.Â. Ì‡ ÍÓÏÔÎÂÍÒËÙËˆËÓ‚‡ÌÌÓÏ Í‡Ò‡ÚÂÎ¸ÌÓÏ ‡ÒÒÎÓÂÌËË T ( M n ) ⊗ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËﬂ M n . éÌ‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ˝ÏËÚÓ‚˚Ï ‡Ì‡ÎÓ„ÓÏ ËÏ‡ÌÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍË. Ç ˝ÚÓÏÒÎÛ˜‡Â h = g + iw, „‰Â ÂÂ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸Ì‡ﬂ ˜‡ÒÚ¸ g ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ËÏ‡ÌÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ, ‡ ÂÂÏÌËÏ‡ﬂ ˜‡ÒÚ¸ w – ÌÂ‚˚ÓÊ‰ÂÌÌÓÈ ‡ÌÚËÒËÏÏÂÚË˜ÌÓÈ ·ËÎËÌÂÈÌÓÈ ÙÓÏÓÈ, Ì‡Á˚‚‡ÂÏÓÈ ÙÛÌ‰‡ÏÂÌÚ‡Î¸ÌÓÈ ÙÓÏÓÈ.

á‰ÂÒ¸ Ï˚ ËÏÂÂÏ Ë g(J(x), J(y)) = g(x, y), w(J(x),J(y)) = w(x, y) Ë w(x, y) = g(x, J(y)), „‰Â ÓÔÂ‡ÚÓ J ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÓÔÂ‡ÚÓÓÏ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÈÒÚÛÍÚÛ˚ Ì‡ Mn , Í‡Í Ô‡‚ËÎÓ, J(x) = ix. ã˛·‡ﬂ ËÁ ÙÓÏ g, w ÔÓÎÌÓÒÚ¸˛ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚh. íÂÏËÌ "˝ÏËÚÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡" ÓÚÌÓÒËÚÒﬂ Ú‡ÍÊÂ Ë Í ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ÂÈ ËÏ‡ÌÓ‚ÓÈÏÂÚËÍÂ g, ÍÓÚÓ‡ﬂ ÔË‰‡ÂÚ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁË˛ ˝ÏËÚÓ‚Û Mn ÒÚÛÍÚÛÛ.ç‡ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË ˝ÏËÚÓ‚Û ÏÂÚËÍÛ h ÏÓÊÌÓ ‚˚‡ÁËÚ¸ ‚ ÎÓÍ‡Î¸Ì˚ı ÍÓÓ‰ËÌ‡Ú‡ı ˜ÂÂÁ ˝ÏËÚÓ‚ ÒËÏÏÂÚË˜Ì˚È ÚÂÌÁÓ ((hij)):h=∑ hij dzi ⊗ dz j ,i, jÉÎ‡‚‡ 7.

êËÏ‡ÌÓ‚˚ Ë ùÏËÚÓ‚˚ ÏÂÚËÍË135„‰Â ((hij)) ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌÓÈ ˝ÏËÚÓ‚ÓÈ Ï‡ÚËˆÂÈ. íÓ„‰‡ ÒÓÓÚi‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘‡ﬂ ÙÛÌ‰‡ÏÂÌÚ‡Î¸Ì‡ﬂ ÙÓÏ‡ w ÔËÏÂÚ ‚Ë‰ w =hij dz i ⊗ dz j .2 i, j∑ùÏËÚÓ‚˚Ï ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂÏ (ËÎË ˝ÏËÚÓ‚˚Ï ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÂ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂ, ÒÌ‡·ÊÂÌÌÓÂ ˝ÏËÚÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ.åÂÚËÍ‡ äÂıÎÂ‡åÂÚËÍÓÈ äÂıÎÂ‡ (ËÎË ÍÂıÎÂÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ˝ÏËÚÓ‚‡ ÏÂÚËÍ‡h = g + iw Ì‡ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË Mn , ÙÛÌ‰‡ÏÂÌÚ‡Î¸Ì‡ﬂ ÙÓÏ‡ w ÍÓÚÓÓÈﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Á‡ÏÍÌÛÚÓÈ, Ú.Â. Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓﬂÂÚ ÛÒÎÓ‚Ë˛ dw = 0.

ä˝ÎÂÓ‚Ó ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚Ï ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂÏ, ÒÌ‡·ÊÂÌÌ˚Ï Í˝ÎÂÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ.ÖÒÎË h ‚˚‡ÊÂÌ‡ ‚ ÎÓÍ‡Î¸Ì˚ı ÍÓÓ‰ËÌ‡Ú‡ı, Ú.Â. h =hij dz i ⊗ dz j , ÚÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚ-∑i, jiÒÚ‚Û˛˘Û˛ ÙÓÏÛ w ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Í‡Í w =2∑ hij dzi ∧ dz j , „‰Â ∧ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡Ìi, jÚËÒËÏÏÂÚË˜Ì˚Ï V-ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂÏ, Ú.Â. dx ∧ dy = –dy ∧ dx (ÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ, dx ∧ dx == 0). àÏÂÌÌÓ, w ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‰ËÙÙÂÂÌˆË‡Î¸ÌÓÈ 2-ÙÓÏÓÈ Ì‡ M n , Ú.Â. ÚÂÌÁÓÓÏ‚ÚÓÓ„Ó ÔÓﬂ‰Í‡, ‡ÌÚËÒËÏÏÂÚË˜Ì˚Ï ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ ÔÂÂÒÚ‡ÌÓ‚ÍË Î˛·ÓÈ Ô‡˚ËÌ‰ÂÍÒÓ‚: w =fij hij dx i ∧ dx i , „‰Â fij ÂÒÚ¸ ÙÛÌÍˆËﬂ Ì‡ Mn . ÇÌÂ¯Ìﬂﬂ ÔÓËÁ‚Ó‰Ì‡ﬂ dw∑i, jÙÓÏ˚ w Á‡‰‡ÂÚÒﬂ Í‡Í dw =∑∑i, jk∂fijdx kdx k ∧ dxi ∧ dx k . ÖÒÎË dw = 0, ÚÓ w ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂÒËÏÔÎÂÍÚË˜ÂÒÍÓÈ (Ú.Â. Á‡ÏÍÌÛÚÓÈ ÌÂ‚˚ÓÊ‰ÂÌÌÓÈ) ‰ËÙÙÂÂÌˆË‡Î¸ÌÓÈ 2-ÙÓÏÓÈ.í‡ÍËÂ ‰ËÙÙÂÂÌˆË‡Î¸Ì˚Â 2-ÙÓÏ˚ Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ÙÓÏ‡ÏË äÂıÎÂ‡.íÂÏËÌ "ÏÂÚËÍ‡ äÂıÎÂ‡" ÏÓÊÌÓ ÓÚÌÂÒÚË Ú‡ÍÊÂ Ë Í ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ÂÈ ËÏ‡ÌÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÂ g, ÍÓÚÓ‡ﬂ ÔË‰‡ÂÚ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁË˛ Mn ÍÂıÎÂÓ‚Û ÒÚÛÍÚÛÛ.

íÓ„‰‡ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂ äÂıÎÂ‡ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÂ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂ, ÒÌ‡·ÊÂÌÌÓÂËÏ‡ÌÓ‚ÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ Ë Í˝ÎÂÓ‚ÓÈ ÙÓÏÓÈ Ì‡ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ÂÏ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓÏÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË.åÂÚËÍ‡ ïÂÒÒÂÑÎﬂ „Î‡‰ÍÓÈ ÙÛÌÍˆËË f Ì‡ ÓÚÍ˚ÚÓÏ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ‚ÂÍÚÓÌÓ„ÓÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘‡ﬂ ÏÂÚËÍ‡ ïÂÒÒÂ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Ígij =∂2 f.∂xi ∂x jåÂÚËÍÛ ïÂÒÒÂ Ì‡Á˚‚‡˛Ú Ú‡ÍÊÂ ‡ÙÙËÌÌÓÈ ÏÂÚËÍÓÈ äÂıÎÂ‡, ÔÓÒÍÓÎ¸ÍÛÏÂÚËÍ‡ äÂıÎÂ‡ Ì‡ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÏ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËË ËÏÂÂÚ ‡Ì‡ÎÓ„Ë˜ÌÓÂ ÓÔËÒ‡ÌËÂ ‚Ë‰‡∂2 f.∂z i ∂z jåÂÚËÍ‡ ä‡Î‡·Ë–üÓåÂÚËÍÓÈ ä‡Î‡·Ë–üÓ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÂÚËÍ‡ äÂıÎÂ‡, ÍÓÚÓ‡ﬂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ êË˜˜ËÔÎÓÒÍÓÈ.åÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂ ä‡Î‡·Ë–üÓ (ËÎË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ä‡Î‡·Ë–üÓ) – Ó‰ÌÓÒ‚ﬂÁÌÓÂ ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓÂ ÏÌÓ„ÓÓ·‡ÁËÂ, ÒÌ‡·ÊÂÌÌÓÂ ÏÂÚËÍÓÈ ä‡Î‡·Ë–üÓ. Ö„Ó ÏÓÊÌÓ ‡ÒÒÏ‡Ú-136ó‡ÒÚ¸ II.

Характеристики

Тип файла

PDF-файл

Размер

3,34 Mb

Материал

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Тип материала

Книга

Предмет

(ММО) Методы машинного обучения

Высшее учебное заведение

МГУ им. Ломоносова

Список файлов книги

e.-deza_-m.m.-deza.-jenciklopedicheskij-slovar-rasstojanij-2008.pdf.rar

Е. Деза_ М.М. Деза. Энциклопедический словарь расстояний (2008).pdf

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.