Радушкевич Л.В. Курс статистической физики (1185139), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ясно, что статистические свойства теряют всякое содержание, когда мы переходим к отдельным или к немногим частицам, движущимся или взаимодействующим по законам механики. В макросистемах проявляются качественно совершенно новые закономерности, характерные только для систем из большого числа частиц. Однако было бы неправильным утверждать, что повеЛение отдельных частиц системы никак не влияет на поведение системы как целого, т.
е. что между обоими видами закономерности нет связи. Наоборот, все, что известно нам об этом, ясно показывает, что эта связь обязательно имеет место. Если изменяются законы движения отдельных частиц или мы переходим от частиц одной природы к другим (положим, от атомов к электронам), изменяется поведение всей макроскопической системы. Рассмотренными здесь представлениями о двух видах закономерности мы будем руководствоваться далее при изучении всей статистической физики, а также, в частности, при выяснении сущности второго начала термодинамики, которое, как будет показано, является статистическим законом; Соотношение между статистической физикой и обычной термодинамикой основано на принятии статистической закономерности.
$ Зв. Н-теорема Бояьцмана ' Наглядной демонстрацией затруднений, возникших при молекулярно-кинетическом истолковании 'второго начала термодинамики, является анализ так называемой Н-теоремы, предложенной Больцма~ном. Заметим, что эта теорема в настоящее время имеет не только историческое значение, как казалосьеще сравнительно недавно, но приобрела новое содержание в связи с современным и быстрым развитием теории информации, где результат вывода Н-теоремы оказался весьма ценным. (Об этом сказано будет ниже.) ' 'Содержание этого параграфа связано с материалом 5 1 (глава 1), и он может быть опущен при иервом изучении курса. э" 3. Н-теорема Балаямана 101 Продолжая рассматривать динамику ударов молекул газа, как в $ 7 (глава 1), введем функцию вида: Н=~ ~ )гч7" 1и ч!ттитУзгйв. (2,1) т!гтт =е(~ ~ )г ч7' 1п ч! е(итУ~тйа = )г )г ')т тт'Я !пав)), е!па(п а'тв.
Найдем отдельно дифференциал подынтегрального выражения: Ы(ч! ' 1п ч!)т — т! ' — „,~ дг е1г+ 1п чт' — еН. дт! Величина — Ж есть изменение числа ч! молекул данного рода дт! дг за время Ж; обозначим эту величину через Ы(4)т. Тогда 6Я ° !и т!),= дЛч!)т+!и ч! е((ч!),. Интеграл Н здесь можно рассматривать как сумму значений 1п ч! по всем молекулам единицы объема газа, обладающим всевозможными скоростями, теоретически от — аа до +аа.
Это следует из того, что величина бдит!от!та представляет собой число молекул в 1 смт-газа, обладающих компонентами скоростей от и до и+т!и и т. д. Каждая из этих молекул вносит известный вклад в значение Н, а все такие молекулы дадут вклад, равный 1п ~~ ° т)'т!ие(оЫгв. Всевозможные молекулы составят в сумме полное значение Н, изображаемое в пределе интегралом по всем значениям 1, и, и и тв. Вся ближайшая задача состоит теперь только в том, чтобы выяснить, как изменяется Н с течением времени. Метод решения этой задачи сводится к приданию выражения для т!Н такого симметричного вида, из которого можно будет сразу найти знак е(Н, потому что ни вид функции ч1, ни ее зависимость от времени вообще не известяы. Напомним, что ч! известно только для теплового равновесия газа, когда функция ч! соответствует закону Максвелла, но в данном случае мы как раз не рассматриваем предельного случая теплового равновесия и имеем в виду какое-то состояние газа, когда налицо вообще некоторое «молекулярно-неупорядоченное» движение молекул.
Мы освобождаемся здесь от прежней гипотезы элементарного беспорядка и от необходимости рассматривать только неподвижный газ при тепловом равновесии. В этих условиях естественно допустить, что ч! является функцией времени, а следовательно, и Н изменяется с течением времени. Спустя некоторый промежуток времени е!! величина Н получит приращение-т!Н, так что 102 Глава П. Статистическая 4иеика, механика и термодинамика Поэтому г111е= ~ )е ~ е!(т!),йеаЪ|Ъ+ ~ )Ге)Г1пт1 с((т!)ее(исрпс(та. Первое слагаемое представляет собой изменение за время Й числа молекул всевозможных скоростей в единице объема.
Очевидно, что какие изменения числа выделенных в группу молекул за время е!с ни происходили бы, полное изменение числа всех молекул со временем равно О, так как в 1 сме молекулы сохраняются и число т их неизменно. Итак, НХе= ~ ~ ~ 1пт! е!(у!),йиеЫатв. (2,2) или, короче т% ° В йо е(оте й (2,3) От каждого такого столкновения число а-молекул убывает на единицу, так же как и число Ь-молекул, с которыми они сталкиваются. Следовательно, (2,3) представляет собой изменение числа а-молекул за время Ж Но в формуле (2,2) ведется суммирование величины !и т! по всем изменениям числа молекул со временем. Следовательно, в слагаемых надо учесть: 1) убыль членов суммы, обусловленную а-молекулами: — 1п т~ ° теЦ~еВ йо с(от~ Ю; 2) убыль членов суммы, обусловленную Ь-молекулами: — 1п т!1 ° тт!!'е В йо йот аг.
Кроме того, следует учесть, что благодаря каждому столкновению а- и Ь-молекул увеличивается число молекул двух других сортов а' и Ь', обратные удары которых дают нам прибыль а-молекул. Поэтому нужно добавить: 3) прибыль членов суммы, обусловленную и'-молекулами: +!п т) ° те(!тВ йо птое й~ Здесь величина Ы(т!),с(ив(ос!тв представляет собой изменение за время Ж числа молекул в 1 сме отмеченного рода, например а-молекул. Очевидно, их число может изменяться только за счет столкновений, так как одни движения сами по себе не изменяют числа молекул данного рода в 1 см'. Рассмотрим. столкновения а-молекул с какими-нибудь Ь-молекулами.
Число столкновений за время аг равно (стр. 57): че!!1)т сов О ° о' ЫфЫтйоесео1с(с 4 Ю. и-теорема Боеьямана 103 4) прибыль членов суммы, обусловленную Ь'-молекулами: + 1п ф ° ттД,В йо с(в~ Ж. В итоге для данного сорта молекул за время Л произойдет изменение слагаемого в сумме (2,2) иа величину: т(( (! и т~'+ 1п т)1 — 1п т) — 1п ы~т) т'Ц1 В дв Ы вт =й (!п т»~71 — !п т»Ц,)ъ'Д,В т(в Ивь Суммируя все эти изменения, мы' получим полное изменение Н, но при этом нужно иметь в вйду, что при интегрировании по всем скоростям мы будем каждую молекулу учитывать то как «избранную» (а), то как из числа «остальных».
Следовательно, сумму необходимо разделить пополам. Итак, НХ= ~ ей ~ ~ (!пав ~)1 — 1и у'~~,)у'1~',ВйОйдп (2,4) Этим выражением и можно было бы закончить весь расчет изменения Н за время Ж, однако полученный результат еще не позволяет судить о знаке т(Н. Поэтому мы найдем ту же самую величину другим путем. Начнем пересчитывать слагаемые непосредственно с «обратных» ударов. Тогда выделенными молекулами являются а'-молекулы, которые сталкиваются с Ь'-молекулами, причем удары как раз обратны прежним.
В этом случае имеем: 1) убыль членов суммы за счет уменьшения числа а'-молекул: — 1п т~' т»!7";Вт(в йо1 Ж; 2) убыль членов суммы за счет уменьшения числа Ь'-молекул: — 1и у11 ° чт17 1В т(в дв, т((; 3) прибыль членов суммы за счет увеличения числа а-молекул: + !п т~ ° т'Ц1В йо йот ~й; 4) прибыль членов суммы за счет увеличения числа Ь-молекул: +! п ~Д ° тт)'1т В Ив йот Ж. Здесь мы всюду пользуемся теоремой Лиувилля (стр. 57).
В итоге имеем, рассуждая как прежде, йН= — еН ~ ~ (1пт Я вЂ” 1птЦт)ч'))тВе(вйои (2,5) 104 Глава П. Статистическая Физика, механика и термадинамика Оба значения ЫН, найденные двумя путями, совершенно равны друг другу. Поэтому мы вновь получим ту же величину, если сложим (2,4) и (2,5) и сумму разделим пополам: йН вЂ” — ~ ~ ~ (1 и т Г Гт — 1и т Ц,) ч Ц,В с(еа де, + +~~(10 'Ц,— 1 '~Я~~'~,'В (ые1,1 Н илн, иначе, ЫН= 4 Ж ~ ~ (1пч Ц1 — 1пт 771)(ч 7 11 — тЦ1) ВстсвФтвг (2,6) Из этой формулы вытекает простой результат: если скобки не равны нулю, то, очевидно, т7Н(0, так как оба выражения в скобках всегда имеют один и тот же знак — положительный или отрицательный, потому что функции входят здесь симметрично. Если выражения в скобках равны нулю, то ЙН=О, Таким образом, Н-функция или уменьшается со временем, или остается неизменной, но она не может возрастать с течением времени, т.
е. вообще ЫН(0, (2,7) Заметим, что г(Н обращается в нуль, когда .„ттет1 .„2ц Этому условию, как было показано ранее (стр. 59), отвечает максвелловское распределение скоростей молекул газа, соответствующее тепловому равновесию. Следовательно, если первоначально газ находился в неравновесных условиях, то его состояние будет изменяться таким образом, что Н-функция уменьшается до тех пор, пока не будет достигнуто тепловое равновесие и Н-функция примет минимальное значение, которое затем ие будет меняться со временем.
Одностороннее изменение Н-функции с течением времени и переход ее к предельному значению, соответствующему тепловому равновесию, аналогичны свойствам энтро пи н. Мы внаем из термодинамики, что в изолированной системе энтропия Я только увеличивается со временем, достигая максимального значе- Э 8.
Н-теорема Боеьцмана ния, когда система переходит кн к тепловому равновесию, т. е. йо э О. (2,8) Тогда неизбежно возникает мысль о том, что обе функции Н и 5 и должны быть связаны друг с другом. Мы сейчас покажем, что действительно между ними имеется простая связь, причем Н и 5 различаются только по знаку и свя- Рис. !5. заны через коэффициент пропорциональности. Поэтому ход обеих функций во времени можно упрощенно представить графиком (рис. 15). Рассмотрим 1 см' газа в состоянии теплового равновесия. Тогда скорости молекул распределены по закону Максвелла, т. е. / цВ ч(=ч у — е-а" . Подставим это выражение в формулу (2,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
