Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Ионы в кристалле располагаются таким образом, что кулоновское притяжение между ионами противоположного знака сильнее, чем кулоновское отталкивание между одноименными ионами. Эга связь аналогична ионной связи в молекулах. Валентные электроны в основном привязаны к определенным атомам. Электронная плотность в областях соприкосновения различных атомов невелика.
Примером ионной связи является связь в кристаллах хлористого натрия г)аСЕ Ковалентная связь аналогична ковалентной (или гомеополярной) связи в молекулах, подробно рассмотренной в Э 80. Она воз- 298 никает за счет аобобществления» электронов. В этом случае электронная плотность в местах соприкосновения различных атомов велика. Обычно ковалентная связь образуется двумя электронами, по одному от каждого из связанных между собой атомов. Как и в случае молекул (см.
~ 81), спины электронов должны быть антипараллельными. Примером может явиться углеродная связь. Следует отметить, что чисто ионная и чисто ковалентная связи являются предельными случаями возможных связей. В действительности имеется непрерывный ряд кристаллов с промежуточными типами связи, т.
е. частично ионной и частично ковалентной. В металлических кристаллах связь между атомами такова, что часть электронов остается свободной и имеет возможность перемещаться. Эти свободные электроны обусловливают электропровод- ность металла. В некоторых металлах, как, например, в щелочных, эти электроны проводимости в основном и обеспечивают связь между атомами. Такого рода металлические кристаллы можно представить себе в виде электронной жидкости, в которую погружены правильно расположенные положительно заряженные ионы.
В других металлических кристаллах связь между атомами осуществляется в основном не за счет электронов проводимости, а является ковалентной связью, обусловленной незаполненными внутренними оболочками атома. Однако и в этих кристаллах имеются свободные электроны, которые вызывают электропровод- ность металлов. У металлических кристаллов, связь которых в основном обусловлена электронами проводимости„энергия связи очень мала (например, у щелочных металлов). Если же главная роль принадлежит ковалентной связи, то энергия связи значительно больше.
Молекулярная связь, существующая между насыщенными молекуламн в твердой фазе и между атомами инертных газов, возникает за счет сил Ван-дер-Ваальса. Это очень слабые силы притяжения между флуктуирующими дипольными моментами атомов и молекул. Благодаря движению электронов атомы и молекулы обладают переменным дипольным моментом, который индуцирует в соседних атомах и молекулах соответствующий переменный дипольный момент. Взаимодействие исходного и индуцированного днпольных моментов приводит к возникновению слабых сил притяжения, которые и называются силами Ван-дер-Ваальса.
Особенно большую роль молекулярная связь играет в органических кристаллах. Ввиду слабости сил Ван-дер-Ваальса энергия связи молекулярных кристаллов мала, температура плавления н кипения соответствующих веществ низки. 5 86. Одномерная модель кристалла Кронига — йенни Упорядоченно расположенные в узлах кристаллической решетки ядра атомов создают для электронов кристалла упорядоченную 4т о оа ~Рис.
72 может быть просто проверена в одномерном случае. В более общем пространственном случае вычисления становятся очень сложнымн, но основной результат, полученный в одномерном случае, сохраняет свое значение. Одномерный периодический потенциал Кронига н Пенни изображен на рис. 72. Уравнение Шредингера имеет вид д +иР(% ШЧ О (86.1) где 0 — в каждой потенциальной яме; 11= (4 в в каждом потенциальном барьере. Будем искать решение этого уравнения в виде Ч" = сра (х) е'"", (86. 2) где срь (х) — периодическая функция с периодом (а+ Ь). Подставляя выражение (86.2) в уравнение (86,1), находим ~И аФ ~~~~о --, + 2й -- + -„-; - 1Ю вЂ” В'ь — Ц ср — О, где Ь2Я 2 то ' (86.3а) В потенциальной яме, где (/ =- О, т.
е., например, в области 0<х<а, решение уравнения (86.3) имеет вид ~р Аеа (х-А) х+ Вс-1 ~х+ь) х (86.4) г е (~о~ (Р') систему потенциальных ям. Таким образом, можно сказать, что электроны в кристалле движутся в системе потенциальных ям. При рассмотрении природы гомополярной связи в $81 было показано, что наличие двух потенциальных ям приводит к расщеплению каждого энергетического уровня электрона, который существует при наличии одной потенциальной ямы, на два подуровня. Этот результат справедлив и для более общего случая: при наличии Ф потенциальных ям каждый энергетический уровень электрона расщепляется на Ф подуровней.
Справедливость этого утверждения В области потенциального барьера а(х(а+Ь решение может быть записано следующим образом: Се)а — ьь) х+ ))е — йь) ьь) х (86.5) где р= ( ьь-((4 — ЪГ)~ Постоянные А, В, С, О выбираются таким образом, чтобы функция ~р и ее производные д))ь))(х были непрерывны. С учетом условия периодичности функции )р это дает следующие уравнения: А+ В =-- С+ Р; ) (х — й) А — )'(к+ й)  — (р — й) С вЂ” (р+ й) 0; Аеь)х — 4) а 1 Ве-))к+ма . Се-)а-)гоь 1 ре)аыюь. ) (х — й) Ае* гх — ") "— ) (х+ й) Ве — ')"ч ")" = =. (р — й) Се — )а — ™) ' — (р+ й) Ое<а ) )") '.
(86.6) Для того чтобы существовали нетривиальные решения этой системы для величин А, В, С, г), детерминант, составленный из коэффициентов, должен быть равен нулю. Это дает следующее уравнение: — — з)) рЬ з)п ха+с)) ))Ь сов ха =-соз й (а+Ь). (86.7) зхй Чтобы придать этому уравнению более удобный для анализа вид, рассмотрим предельный случай, когда ширина потенциального барьера между потенциальными ямами стремится к нулю (т. е.
Ь- О), а высота потенциального барьера стремится к бесконечности ((/ь- со), но таким образом, чтобы площадь (/ьЬ оставалась постоянной. Полагая 1пп — = Р (86.8) ь о а о и учитывая, что при этом с)) ()Ь- 1, з)) рЬ вЂ” рЬ, получаем вместо уравнения (86.7) следующее уравнение: — з1 и ка + соз ха =-- соз ха. Р (86.9) ха Правая часть этого уравнения может принимать только значения, заключенные между + 1 и — 1.
Следовательно, в левой части величина ка может принимать только такие значения, при которых левая часть не выходит из указанных пределов. Это дает разрешенные уровни энергии. На рис. 73 приведено графическое решение этого уравнения по Кронигу и Пенни для случая Р— Зп)2.
Если Р = 0 (ямы отсутствуют), запрещенные области исчезают. При Р— со имеется совокупность совершенно изолированных потенциальных ям. В этом случае энергия электрона становится 301 иола четибо злеитроиоб и Зр - тиа / Зо-зоил Иоличестба иаитиеа иост он гН /о /5 б 2р-зола бН 2 25-зала 2Н гр 25 У-зала 2Н иристалл На /5 2 атои На Рис. 74 путаницы. Дело в том, что в данном энергетическом состоянии импульс электрона может иметь два значения, равных по величине и противоположных по направлению.
Поэтому, вообще говоря, часть энергетических уровней расщепившихся квантовых состояний совпадает между собой. Таким образом, каждый энергетический уровень изолированного атома превращается в зону энергетических уровней кристалла„ как это схематически изображено иа рис. 74.
При распределении ЗО2 равной энергии электрона в изолированной яме и согласно (86.9) имеет следующий спектр: (86Д О) При конечном значении Р уравнение (86.9) вместо каждого уровня )ч'„, определяемого формулой (86ДО), дает конечное число Р подуровней, которое рав— мои 'со/Ка но числу потенциальных ям. Но число потенциальных ям равно числу 1 атомов в узлах кристал-зи че к Зи лической решетки. Сле- /и чл ио довательно, если атом — / находится в кристалле, содержащем /ч' атомов, Рис. 75 каждое квантовое состо- яние изолированного атома расщепляется на Л/ квантовых состояний.
Это утверждение справедливо не только для линейной модели только что рассмотренного вида, но и для общего случая пространственного кристалла. Следует отметить, что мы стали говорить о расщеплении «квантовых состояний», а не энергетических уровней. Это сделано во избежание электронов по зонам необходимо учитывать принцип Паули: с учетом ориентировки спина в У квантовых состояниях зоны могут находиться не более 2% электронов. Поэтому в 5-зонах может находиться 2У электронов, если У есть общее число атомов в кристаллической решетке. Для расчета числа электронов в Р-зонах необходимо принять во внимание, что в изолированком атоме Р-уровень является трижды вырожденным по квантовому числу т = ( — 1, О, 1). В кристалле вырождение снимается совершенно аналогично тому, как происходит снятие вырождения при наличии возмущения (~ 65).
Следовательно, максимальное число электронов в Р-зонах равно 2Ф х 3 = 6Ф (см. рис. 74). Совершенно аналогичным способом анализируются и другие зоны. Электрические свойства твердого тела определяются взаимным расположением различных энергетических зон и распределением электронов по этим зонам. Расстояние между энергетическими уровнями в пределах одной и той же зоны значительно меньше расстояний между энергетическими уровнями различных зон, однако случается, что различные зоны перекрываются.
Зоны могут быть полностью заполненными электронами, полностью свободными и частично заполненными. В зависимости от конкретной ситуации, которая имеет место, твердое тело обладает различными электрическими свойствами. 5 87. Проводники и диэлектрики На каждом энергетическом уровне импульсы электронов могут быть направлены в противоположные стороны с одинаковой вероятностью. Следовательно, при отсутствии внешнего электрического поля средний импульс электронов в каком-либо направлении равен среднему импульсу электронов в противоположном направлении, так что полный импульс всех электронов равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
