Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 63
Текст из файла (страница 63)
88. Ясно, что здесь имеет место усиление по напряжению, а также по мощности. Функции электронных ламп в конечном счете сводятся к выпрямлению и усилению. Поэтому ясно, что полупроводниковые диоды и триоды в состоянии выполнять функции электронных ламп.
Обладая по сравнению с электронными лампами многими преимуществами, о которых говорилось в начале 9 90, полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы) завоевывают все более и более многообразные области применения. ЧЛСТЬ ЛТ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Во второй части книги была рассмотрена нерелятивистская квантовая механика, в которой предполагается, что скорости частиц много меньше скорости света. Это является существенным ограничением при рассмотрении движения микрочастиц. Например, скорость электрона при энергии 5 Мэв отличается от скорости света только примерно на с/200. В современных ускорителях скорости тяжелых частиц очень близки к скорости света.
Во всех этих случаях нерелятивистская квантовая механика неприменима для рассмотрения движения частиц. Существенным недостатком нерелятивистского уравнения Шредингера является также то, что оно не учитывает спиновых свойств микрочастиц. В третьей части книги будут рассмотрены основные понятия релятивистской квантовой механики.
Глава 22 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ й 92. Общие замечания о релятивистских уравнениях Принцип относительности требует, чтобы уравнения, которые описывают явления природы и выражают их законы, имели одинаковый вид во всех системах координат. Иначе говоря, эти уравнения должны быть ковариантными при переходе от одной системы координат к другой по формулам преобразования координат.
Если некоторое уравнение ковариантно относительно преобразований Лоренца, то оно является релятивистским, справедливым во всех инерционных системах координат. Если же уравнение ковариантно относительно преобразований Галилея, но оно является нерелятивистским уравнением, справедливым лишь при скоростях движения, много меньших скорости света. Это обусловлено тем, что сами преобразования Галилея от одной инерциальной системы координат к другой справедливы лишь тогда, когда относительная скорость систем координат мала. з16 Уравнение Шредингера (29.3) сохраняет свой вид лишь при преобразовании Галилея. Это видно непосредственно, если учесть, что из преобразований Галилея (92.1) г' = г, сразу следует, что д д д2 д~ д! Ф Ф д~ а! д)т ' дха дх'з ' ду~ ду'~ ' д~Ф дг"- ' н, следовательно, уравнение — — — = ( — — т',+5') Ч" 6 дЧ' Г /д зр д! ( 2 ю (92.3) превращается в новой системе координат (штрихованной) в урав- нение аач ( а, ), (92.4) т.
е. сохраняет свой вид. Напомним, что штрихованиые аргументы функций в (92.4) получаются из нештрихованных аргументов в уравнении (92.3) по формулам (92.1). Преобразования Лоренца имеют вид У =У г'=г, (92.5) Если уравнение (92.3) преобразовать к штрихованным величинам с помощью преобразований (92.5), то в результате получается уравнение, совершенно не похожее на уравнение (92.3). Это и означает„ что уравнение Шредингера (92.3) нековариантно относительно преобразований Лоренца и, следовательно, не является релятивистским уравнением.
Это можно увидеть и непосредственно без проведения преобразования следующим образом. Время !' и координата х' входят в преобразование Лоренца (92.5) совершенно симметрично. Это особенно отчетливо видно, если вместо переменной ! 3!7 пользоваться переменной х, = !с( и записать первое и третье уравнение (92.5) следующим образом: х+ ! —.кд с (92.6) Х4 — ! — Х с ~/:, Координаты у и г в преобразованиях (92.5) выделены благодаря специальному выбору направления координатных осей по отно- шению к направлению относительной скорости систем координат.
Ясно, что координаты у и г совершенно эквивалентны координате х. Из (92.6) видно, что координаты и время входят в преобразование Лоренца совершенно симметрично. Отсюда следует, что в реля- тивистски инвариантном дифференциальном уравнении производ- ные по времени и по координатам должны входить равноправно, в частности, они должны иметь одинаковый порядок. В уравне- ние же (92.3) входят первая производная по времени и вторые производные по координатам.
Такое уравнение не может быть релятивистски инвариантиым. Запишем уравнение Шредингера (92.3) в операторной форме: ЕЧ'= ЙЧ', (92.7) (92.8) где р'/2т, — кинетическая энергия частицы, (7 — ее потенциальная энергия. Заменим в соотношении (92.8) классические величины операторами, которые в квантовой механике представляют соответствующие величины, т. е. г д %' — эЕ= — —— Ь д1' и О=.(7. (92.9) В результате вместо равенства (92.8) между классическими величинами получается равенство между операторами: ' Ч'+и. Применяя обе части равенства (92.10) к волновой функции Ч", находим уравнение Шредингера (92.3), нерелятивнстский характер 3!8 (92.! О) где Š— оператор полной энергии, Й вЂ” оператор гамильтоьиана.
Формально уравнение Шредингера может быть получено следующим образом. Запишем нерелятивистское соотношение, которое существует между полной энергией частицы, ее импульсом и потенциальной энергией: 9 93. Уравнение Клейна — Гордона Релятивистское соотношение, связывающее полную энергию частицы с ее импульсом и массой покоя частицы, имеет следующий вид: Е'= с'рь+т',с', (93.!) где т, — масса покоя частицы.
Произведя замены (92.9), получаем следующее ) равнение для частицы, движущейся в отсутствии внешььььх полей: — Ьь — -, =- ( — сЧьь7'+ т,'с') Ч'. дьч' (93. 2) Ясно, что уравнение (93.2) является релятивистски инвариантным, поскольку оно получено из релятивистского соотношения (93.!). Это становится очевидным, если уравнение (93.2) разделить на с'й', перенести все члены в левую часть и ввестьь обозначение А,' =- льС','(ь'. Тогда получим 7'Ч' — — — А'Ч' == О. са дР Первые два члена совпадают с соответствующими членами волнового уравнения Даламбера, релятивистская инвариантиость которого хорошо известна из электродинамики. Релятивистская инвариантность члена А,' Ч' очевидна, поскольку это есть скаляр, й, = сопз!. Тем самым доказана релятивистская иивариантность уравнения Клейна — Гордона (93.2). Для того чтобы получить выражение для плотности заряда и плотности тока, можно поступить аналогично тому, как это было сделано в нерелятивнстской теории при выводе формул (29.5) и (29.6).
Умножим уравнение (29.3) слева на Ч"'ь и вычтем из него почленно комплексно сопряженное уравнение. В результате полу- чаем Учитывая, что Ч~ Г~Чг — Ч/7~ьР = бйа(Ч ЧьЧь — Чь%'Чь*), (93. 4) (93.5а) Чь*УЧ' дьЧ'~ д ( Чь~дЧ~ ЧьдЧ'* ~ дта дсх дЬ Ь дЬ дЬ ~ (93.56) 319 которого является следствием нерелятивистского характера соотношения (92.8) между классическими величинами. Указанный метод перехода от классических соотношений к квантовым уравнениям может быть обобщен, чтобы получить релятивистски инвариантные квантовые уравнения.
и вводя обозначения сеь / ~ дч дч'~ х Е= — — ~~Ч * — — Ч' — '~, 2т~сэ ~ д1 д1 7 ' (93.6) ) = —,„(Т~Ч'* — Чг'~Ч'), мы можем уравнение (93.4) переписать следующим образом: д1ч ) + -„= О. (93.8) (93.7) Уравнение (93.8) совпадает с уравнением сохранения заряда в электродинамике, если под ) понимать плотность тока, а под о — плотность заряда. Отсюда можно заключить, что выражения для плотности заряда и плотности тока для уравнения Клейна— Гордона даются формулами (93.6) и (93.7).
Выражение (93.7) для плотности тока совпадает с формулой (29.5) плотности тока в нерелятивистской теории. Выражение же (93.6) не совпадает с соответствующим выражением (29.6) нерелятивистской теории. Однако в нерелятивистском случае, когда о « с такое совпадение имеет место. Чтобы в этом убедиться, заметим, что при малых скоростях мы имеем и поэтому с точностью до величины второго порядка относительно (Ис) можем написать Е дР д -~~ ~ .Е . ж~сэ — = —, з " Ч', (г) = — — ю — Ч' — ю' — — Ч", (93.9) й благодаря чему (93.6) принимает вид о = еЧ"*Ч", (93. Гб) что совпадает с нерелятивистской формулой (29.6). Таким образом, как и нужно было ожидать, релятивистские формулы в случае и 4 с переходят в нерелятивистские формулы.
Однако релятивистская формула (93.6) для плотности заряда приводит к следующей трудности. Из смысла плотности заряда следует, что плотность заряда, деленная на величину единичного заряда е, должна дать плотность частиц. Следовательно, плотность частиц дается формулой эм, (Ч зу Ч а~3' По физическому смыслу плотности частиц ясно, что она должна быль неотрицательной величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
