Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Решение этого уравнения проводится аналогично решению нерелятивнстского уравнения Шредингера (45.1). Полагая Ч'=Я(г) У~ (6, ф), (96.6) находим для радиальной волновой функции К вместо уравнения (47.2) следующее уравнение: —,Ж (ге — „)+ ~ — А+~~ — Ц' г~~-,:----~— ] 0=0, (96.7) где А ~"'~1 (1+ ~~) ] (96. 7а) 2В = -4ле ае ( 1 + сп„с,] (96.7б) ее 1 и а =- — = — есть постоянная тонкой структуры. Чтобы 4лееса 137 перейти к нерелятнвистскому случаю, надо учесть, что (е' (, тесе.
Поэтому вместо формул (96.7а) и (96.7б) получаем (96.8) 4лееае что совпадает со значениями этих величин в нерелятивистской теории, даваемыми формулами (47.8). Далее очевидно, что переход к нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света к бесконечности (с-» со). Следовательно, при этом переходе необходимо считать, что постоянная тонкой структуры а стремится к нулю, поскольку в ее выражение скорость света входит в знаменатель. Таким образом, можно сказать, что релятивистское уравнение (96.7) в нерелятивистском случае переходит в уравнение (47.2). Чтобы для решения уравнения (96.7) воспользоваться резулы татами решения нерелятивистского уравнения (47.2), введем число !' по формуле (96.9) Это уравнение полностью совпадает с нерелятивистскнм уравне- нием (47.2).
Надо лишь потребовать, чтобы в качестве !' было взято положительное значение корня (96.10), т. е. значение со знаком 333 !'(!'+1) = ! (!+1) — атее. Отсюда для Г получаем следующие значения: !' = — — + фГ(1+ — ) — а'2' . (96.10) С помощью числа !' уравнение (96.7) записывается следующим образом: (ге )+~ А+ е+ ]К 0 (9611) «плюс» перед корнем, считая, что Уа ~ —. Тогда при решении 1 2 ' уравнения (96.11) можно повторить буквально все рассуждения, которые были сделаны при решении уравнения (47.2) с заменой величины 1 на величину 1'. Условие обрыва ряда (47.23) принимает следующий вид: в — — 1 — 1 — й == — — — ~~(1+ — ~ — Ю вЂ” й=О.
(96.12) Это условие обрыва ряда является условием квантования энергии. Выражая в уравнении (96.12) величины А н В по формулам (96.7а) н (96.7б), получаем следующие формулы для уровней энергии бесспиновой частицы в кулоновском поле ядра: (96. 13) Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно разложить в ряд по величине а'2' «1. Сохраняя первые два члена, не равные нулю, находим следующую формулу: 2 где введено обозначение для главного квантового числа и = 1+ + А+ 1. Главный член этой формулы совпадает с выражением (47.24) для уровней энергии частицы в нерелятивистской теории. Член, пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры <х' = (1/137)', дает релятивистскую поправку к уровням энергии, которая учитывает релятивистский эффект зависимости массы от скорости. Принципиальное отличие формулы (96.14) для атома водорода от нерелятивистской формулы состоит в том, что в релятивистском случае энергия зависит от орбитального квантового числа, т.
е. снимается вырождение по й Благодаря этому каждый энергетический уровень с главным квантовым числом п расщепляется на п подуровней, соответствующих значениям 1 от О до и — 1. Величина этого расщепления энергетических уровней пропорциональна о', т. е. мала. Расщепление энергетических уровней приводит к расщеплению соответствующих линий излучения, т. е.
порождает тонкую структуру линий излучения. С помощью формулы (96.14) нетрудно подсчитать величину этого расщепления линий излучения. В частности, для дублетного расщепления серии Бальмера (и = 2) получается формула (96.15) ЗЭ4 Эта величина примерно в три раза превосходит величину, полученную для атома водорода из эксперимента. Причиной этого расхождения является наличие у электрона спина, который не учитывается уравнением Клейна — Гордона. Тонкая структура линий излучения обусловливается не только релятивистским эффектом зависимости массы от скорости, который учитывается формулой (96.14), но и наличием спина у электрона.
Спин несколько ослабляет релятивистский эффект расщепления уровней. Это еще раз подтверждает, что уравнение Клейна — Гордона непригодно для описания частиц с ненулевым спином. Мы рассмотрели случай Ъ» (1/2, когда величина 1' в уравнении (96.11) является положительной. Если же Ъх ) —, то вели- 1 чина Г не может быть выбрана положительной, и решение релятивистского уравнения принципиально отличается от решения нерелятивистского уравнения. Как показывает анализ, в этом случае происходит падение частицы на ядро и отсутствует стационарное решение. Таким образом„получается, что с точки зрения уравнения Клейна — Гордона устойчивые состояния движения частицы в кулоновском поле ядра возможны лишь для ядер, у которых Я ( 137/2.
Как уже было отмечено при рассмотрении величины расщепления энергетических уровней, спин несколько ослабляет влияние релятивистского изменения массы от скорости. Это приводит к тому, что релятивистские эффекты с учетом спина обусловливают неустойчивость атомов лишь для значений У, лежащих за пределами существующей периодической системы элементов. 9 97. Тонкая структура атома водорода Чтобы найти уровни энергии электрона с учетом релятивистской поправки на изменение массы со скоростью спина, необходимо решить задачу атома водорода с помощью уравнения Дирака. При наличии потенциальной энергии е'/4па0г электрона в кулоновском поле протона уравнение Дирака имеет вид Г е~ Š— с(а, р) — тос~йз+ — 1 Ч'=О. 4пвог .1 (97.1) 335 Для того чтобы при вычислении воспользоваться результатами предыдущего параграфа, удобно от уравнения первого порядка (97.1) перейти к уравнению второго порядка, т.
е. «квадрироватьэ уравнение (97.1) Квадрированное уравнение содержит все решения уравнения первого порядка, поскольку оно получается из этого уравнения с помощью операций дифференцирования. Но могут появиться и другие решения, которые уравнению первого порядка не удовлетворяют; эти побочные решения должны быть отброшены. Для «квадрирования» уравнения Дирака (97.!) применим к нему слева оператор о» + (, !)+ о"~з+4л-,—, (97.
2) В результате этого получается уравнение ~ ( — —.— — -с — — ) — с»РРЧ» — т,'с'+ — — —,(а, г)1 Ч'=О, (97.3) 4 Я«ого где учтены свойства матриц а„, выражаемые равенствами (94.6а) и (94.66), и принято во внимание, что 1 1 1 г — ~ — тг —. = — дгад — = -- . (97. 4) г г г го Будем искать стационарное решение и положим < — — (ж+то о) с Ч'(г, 1)=е Ч" (г).
(97. 5) Тогда в уравнении (97.3) исключаются производные по времени и для определения )ог получается следующее уравнение: [ ()" +тос'+ 4я ) — с»йоо~ — т,с" + 4я 4(а, г)) Ч'=О. (96.7) Дальнейшие вычисления удобно вести в сферических координатах, перейдя к ним по формулам х = г яп 8 соз гр, у = г яп 8 яп гр, г = г соз 8.
(97. 7) С помощью выражения для матриц а„, которые даются формулами (94.7), можно уравнение (97.6) расписать в виде следующей системы уравнений относительно компонент волновой функции: Р,'Ч, (- —.; (яп Ое — ь»Ч'о+ соз ОЧ)о) = О, 1 Р'„Ч', + —, (з1п Ое«оЧ)о — соз ОЧ',) = О, (97.8) Р;Ч,+ — ',, (япйе-4 Ч, рсозОЧ,)=О, ~ Р,'Ч'о+ — ' (яп Ое"»Ч', — соз 8Ч'») =- О, где через Р,' обозначена общая для всех компонент волновой функции в уравнении (97.6) часть оператора, совпадающая с оператором уравнения Клейна — Гордона (96.5) для бесспиновой частицы: Ро= т +»» ~ ~)Р+глос + 4~ ~ тос 1 . (97.9) Величина со = ео!4пеойс в системе уравнений (97.8) есть постоянная тонкой структуры.
Кроме того, при написании этой системы учтено, что ео«о = созгр + )япгр. 336 Будем искать решение системы (97.8) в виде (1+т) У~ (!+1 — и) У~ ~Уп$ ФУГ+~ ч, = )с (г) '1'э Ч'~ (97. 10) где У, — шаровые функции, определенные равенством (45.16), но без нормировочного множителя: (97. 11) Подставляя выражения (97.10) для компонент волновых функций в систему уравнений (97.8) и пользуясь рекурентными соотношениями (97.13) н (97.14), получаем следующие уравнения для определения радиальной функции 1((г): (14-1)(1+2) — аЯ вЂ” — 1 ~+ А+ ) К=0 г~ иг ~, дг ~ 1 г ~2 Ф (97. 15) где величины А н В даются выражениями (96.7а) и (97.7б), полученными в случае уравнения Клейна — Гордона при 2=1, т.
е. А= — а.— ~ 1 — (1+ —,) ), (97.16) (97. 17) Таким образом, шаровые функции У, в (97.10) нормированы условием Подчеркнем еще раз, что функции У™, в (97.10) отличаются от функций (45.20) нормированными множителями, так что не следует путать эти функции, хотя они и обозначены одинаково. Постоянная () в формулах (97.10) остается пока неопределенной. В теории шаровых функций доказываются следующие реку- рентные соотношения: (Е+т)УГ '= — з)п8е-нЯУ,+1+соз8У,+1', (97.13) (Е+ 1 — т) УГ = з)п Ое' РУ,+-,'+ соз 6У,+ь (97 14) Уравнения (97.14) и (97.15) должны совпадать друг с другом, потому что это есть уравнения для одной и той же волновой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
