Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Отсюда получаем уравнение для определения р: ! (!+ 1) — а«+ ар= (!+ 1) (!+ 2) — а' — — —, (97. 18) решение которого имеет следующий вид: (1 !+1 / (1-(-!)» (97. 19) Подставляя это выражение в уравнение (97.14) или (97.15), мы можем уравнение для радиальной функции представить в виде, совершенно аналогичном уравнению (96.11): — — ~㫠— )+ !с — А+ — — — — — ~ !(=-О, (97.20) 1 л г' «л)! Х Г 2В !" (!"+1) 3 г«ег ~ ег ) 1 г г» ! где (97. 21) Причем знаки «плюс» и «минус» перед 1/2 в формуле (97.21) соответствуют знакам «плюс» и «минус» перед корнем в выражении (97.19) для р.
Решение уравнения (97.20) совершенно аналогично решению уравнения (96.11), так что можно повторить буквально все рассуждения. В результате для уровней энергии вместо формулы (96.13) получаем а» ~ -г/» Ю'»! = тес' 1 + ) — т,с'. (а+ — ' )- — '-1-)/ (1+1)» — а«) (97. 22) Разлагая эти выражения в ряд по постоянной тонкой структуры и ограничиваясь первыми двумя членами, находим следующие формулы: а) при отрицательном знаке перед 1/2 в формуле (97.22) при ૠ— » О, Г=(, ()= — —; (97.23а) б) при положительном знаке перед 1!2 в формуле (97.22) глее«! г а«Г л 3 х ) )1г ! = — — —.
— 1ь 1 + — ( — — — — -> ) ( = й+ !+ 2) 32Фе««а» л« ~ л» ~1+1 4 .г' ) при а' » О, Г=1-)-1, р=- — ~' ~ —. (97.23б) Чтобы выяснить смысл различных решений заметим, что система уравнений (97.8) инвариантна относительно замены компонент 338 волновой функции Ч', Ч'ь Ч'а - Ч"ь Это означает, что волновая функция 1з Ч'~ Ч', Ч2 (97. 24) (97.25а) Далее, можно показать, что в случае решения (97.23а) квантовое число полного момента 7' электрона связано с 1 формулой 1=-1+ —,', 1=0, 1, 2, ..., (97. 2ба) а в случае решения (97.25) — формулой 1.=1 — —,, 1=1, 2, 3, ! (97.266) также является решением системы уравнений (97.8). Как уже было отмечено, не все решения квадрированного уравнения будут решениями исходного уравнения первого порядка.
Для того чтобы из решений квадрированного решения выделить решения, удовлетворяющие уравнению первого порядка, мы воспользуемся замечанием, сделанным в конце 9 95: в нерелятивистском случае компоненты Ч'з и Ч',волновой функции стремятся к нулю. Переход к нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света с к бесконечности, при этом постоянная тонкой структуры сс-~-О. Следовательно, формально переход к нерелятивистскому случаю в полученных в этом параграфе формулах сводится к переходу а- О.
Рассмотрим решение (97.23а). При сс- 0 в этом решении ()-э О. Это как раз соответствует стремлению Ч'а-» 0 и Ч',-+О, если решение взято в виде (97.10). Таким образом, решение (97.23а) соответствует волновой функции (97.10). При а-э 0 в решении (97.236) () — со, т. е. волновые функции Ч'а и Ч'~ велики в сравнении с волновыми функциями Ч', и Ч'ь Поэтому решение (97.236) не соответствует волновой функции (97.10).
Нетрудно видеть, что это решение соответствует волновой функции Ч' (97.24): при а-э 0 компоненты Ч'; = Ч', и Ч'; = Ч',малы в сравнении с компонентами Ч', = Ч', и Ч'; =- Ч'ь Таким образом, решение (97.236) относится к волновой функции (97.24). Эту формулу удобно путем замены 1+1 — ~-1 переписать в следующем виде: )Рл~ 32р ~у я ( 1+ ~-(у — 4 ) ) (и юг+1+1),(97.25) учтя при этом, что в этой формуле 1=1,2, 3, Поэтому выражения (97.23а) и (97.25) можно записать в виде одной формулы: ~»/= 32»»»» " » 1+ — » ! — 4 . (97.27) ",',+ 2 Формула (97. 27) дает выражение для тонкой структуры термов атома водорода: каждый уровень с главным числом и расщепляется на несколько подуровней по числу значений квантового числа / при данном значении и.
Величина расщепления уровней имеет порядок а» =- (1/137)' относительно энергии уровней. Рассмотрим в качестве примера величину расщепления между уровнем п =- 2, / = 1/2 (состояния 2з, и 2р, ) и уровнем и = 2, / =- 3/2 (состояние 2р, ). Из формулы (97.27) следует Л%'=(Рз, згз — Юг, 4«з= — а» = 4,5.10 ' эв, (97.28) » ~!кг~ где «ао««1 ! (р2! 325»««»а» 4 (97.28а) есть абсолютная величина энергии электрона на уровне и = 2 без учета тонкой структуры. В пересчете на частоты величина расщепления уровней (97.28) равна Ла = — „— = 1,10.
10' Мгц. (97. 28б) Экспериментальные наблюдения находятся в полном согласии с формулой тонкой структуры (97.27). Из формулы (97.27) видно, что энергия электрона в атоме водорода зависит только от главного квантового числа и и квантового числа полного момента /. Отсюда следует, что уровни 2з,, и 2р „ должны точно совпадать.
Однако уже в 30-х годах у спектроскопистов закрались сомнения в справедливости этого утверждения, которые удалось проверить лишь в 1947 г. Оказалось, что эти уровни не совпадают, и в формулу (97.27) необходимо ввести поправку. Анализ этого вопроса привел к исследованию физических свойств вакуума, о чем будет говориться в следующей главе. 9 98. Состояния с отрицательной энергией Как было отмечено в 9 95, уравнение Дирака допускает решения с отрицательной полной энергией.
С физической точки зрения интерпретация таких состояний встречает трудности. Если бы существовал электрон с отрицательной энергией, то он ускорялся бы в направлении, противоположном направлению действующей силы. Трудность с отрицательной энергией была преодолена в 1930 г. Лираком с помощью так называемой «теории дырок». 340 Дирак предположил, что все уровни с отрицательной энергией заполнены электронами, причем, согласно принципу Паули, на каждом уровне находится по одному электрону. Между электронами с отрицательной энергией и электронами с положительной энергисй имеется энергетический интервал величиной 2т,с», как это показано на рис. 89.
Плотность электронов, находящихся в состояниях с отрицательной энергией, бесконечно велика. Переходы электронов из одного состояния с отрицательной энергией в другое запрещены принципом Паули, поскольку все состояния заполнены. Предполагается, что с электронами в состоян '..
с отрица. льной энергией не Е связаны какие-либо экспериментальные или гравитационные эффекты. »«г' Однако переходы электронов между состояниями с положительной и отрицательной энергией возможны. Если элект- а га«гг рону в состоянии с отрицательной энергией сообщается энергия, большая, чем -м гг 2т,с«, то этот электрон переходит в состояние с положительной энергией и ведет себя как обычный электрон. Место же, которое он занимал, находясь в со- Ри«. аэ стоянии с отрицательной энергией, остается свободным.
Иначе говоря, в состояниях с отрицательной энергией появляется дырка. Эта дырка, т. е. отсутствие отрицательно заряженного электрона, ведет себя как частица с положительным зарядом и массой, по абсолютной величине равными заряду и массе электрона. Таким образом, переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией сопровождается рождением двух частиц: обычного электрона и положительно заряженной частицы с массой электрона. Энергию электрону на уровне отрицательной энергии можно сообщить, например, с помощью энергичных у-квантов. Таким образом, теория дырок предсказывает порождение пар частиц.
В момент создания теории дырок в 1930 г. это предсказание рассматривалось как аргумент против теории, поскольку никаких положительно заряженных частиц с массой электрона известно не было. Однако в 1933 г. процесс рождения пар частиц был открыт. Положительно заряженная частица с массой, равной массе электрона, получила название позитрона.
Таким образом, «дырка» с точки зрения своих свойств эквивалентна позитрону. Уровень с отрицательной энергией долго оставаться пустым не может. На этот уровень может совершить переход электрон из состояния с положительной энергией. В результате этого перехода исчсзнет как электрон, так и дырка, т. е. исчезнет как электрон, так и позитрон. Разность энергий при этом выделится в виде энергии двух у-квантов. Таким образом, происходит аннигиляция 23 заказ м 1«э« 341 пары электрон — позитрон с излучением гамма-квантов. Процесс аннигиляции также наблюдается экспериментально. Электрон и позитрон являются частным случаем более общей закономерности, по которой каждой частице соответствует ее античастица.
Античастица порождается в паре со своей частицей и аннигилирует с ней. Позитрон является античастицей для электрона. Другие элементарные частицы также имеют свои античастицы. Все предсказания теории относительно существования античастиц блестяще подтверждены экспериментами. Были открыты антипротоны, антинейтроны и т. д.
Таким образом, анализ состояний с отрицательной энергией позволил предсказать существование целого класса античастиц. Это является одним из триумфов релятивистской квантовой теории. Глава 24 ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВАКУУМА 9 99. Опыты Лэмба и Рнзерфорда Теория Дирака хорошо объясняет тонкую структуру атомных спектров как результат проявления спиновых и релятивистских эффектов. В соответствии с формулой (97.271 уровни энергии атома водорода зависят от главного квантового числа л и полного квантового числа у. Поэтому два различных состояния с одинаковыми и и у, согласно теории Дирака, должны обладать одинаковой энергией. В частности, состояния 2з~~,, и 2рч, должны обладать одинаковой энергией, причем, согласно теории Дирака, их совпадение должно быть точным. Уже в 1934 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
