Матвеев А.Н. Квантовая механика (1185136), страница 65
Текст из файла (страница 65)
22 заноз зо оооо 325 Из выражения для плотности заряда (94.19) получается следующее выражение для плотности частиц: Ч", 1г Ч', Ч"о Ьо= о = =( 1Чг зЧо) = Ч'[Ч'з+ Ч'гЧ'г+ Ч'зЧ'з+ Ч'оЧ"о. (94.20) Гамильтониан частицы, движущейся в центрально симметричном поле, записывается следующим образом: Й =- с (ар) -[ тосгоз+ у (г). (94.22) Некоторая величина является интегралом движения в том случае, если представляющий ее оператор коммутирует с гамильтонианом. Рассмотрим момент количества движения частицы Мз=[г, р[ (94.23) при движении с гамильтонианом (94.22). Вычислим коммутатор Мы с Й. Имеем Й̄— Ммй = —. (п,ро — агр„) ~ О. (94.24) Таким образом, коммутатор орбитального момента М с гамильтонианом не равен нулю. Это означает, что орбитальный момент частицы, описываемой уравнением Дирака, не сохраняется.
Следовательно, эта частица имеет внутренний момент, или спин. В центрально симметричном поле сохраняется полный момент частицы, т. е. сумма ее орбитального момента и спина. Нетрудно проверить, что с гамильтонианом (94. 22) коммутнруег оператор Мз=Мз+ 2 па, (94.25) Ясно, что плотность частиц, даваемая этим выражением, является неотрицательной величиной. Трудность с отрицательной энергией, свойственная уравнению Клейна — Гордона, оказывается тем самым преодоленной.
Для того чтобы выяснить, чему равняется спин частиц, описываемых уравнением Днрака, рассмотрим частицу, движущуюся в центрально симметричном поле. В этом случае потенциальная энергия частицы зависит только от расстояния г до центра, т. е. имеет вид У (г). Уравнение Дирака при наличии центрально симметричного поля У (г) имеет вид (94.!4), но с добавлением члена потенциальной энергии, т.
е. [Š— с(а, р) — тосгоз — ~l[ Ч" =- О. (94.21) где а = (а„а„, а,) есть поненты которой даются О(О О 1ОО О "= ООО1 ОО(О Оператор векторная четырехрядная матрица, комформулами 0 — ю 0 0 оо о ю 00 0 0 — 10 0 0 00 — ю' ' ' 0 01 0 0 0 ю 0 0 0 0 — 1 (94.26) Т (94.27) является оператором спина. Собственные значения з-ой составляющей оператора спина равны ~И2: 1 0 О О Ч', Ч", ю 0 — ! 0 0 Ч'г ю — Ч'г М'*Чю = Т" О О 1 О Ч„э й Ч' (94.23) з з О ОΠ— 1 Ч" — Ч'ю Отсюда замечаем, что спин частиц, описываемых уравнением Дирака, равен 1/2. Квадрат полной величины спина равен М' 4 (а„'+о.„'-1-а,') е а(а+1) 6'= 4 й', з= ~ .
(94.29) Поэтому уравнение Дирака применимо для описания электрона. Кроме того, это уравнение применимо для описания движения нейтрона и протона, спин которых также равен ! /2. Все правила вычислений, которые были изложены в нерелятивистской квантовой теории, сохраняют свою силу и для волновых функций уравнения Дирака, имеющих четыре компоненты.
Математически наличие четырех компонент у волновой функции проявляется в том, что в вычислениях появляются дополнительные суммирования по индексам этих компонент. Например, условие нормировки волновой функции имеет вид Ч~+Ч~дт = 1. (94.30) В раскрытом виде это условие записывается следующим образом: (Ч" юЧ', + ЧюгЧ'г+ ЧюзЧюз+ Ч"~юч"ю) ю(т = 1, (94.30а) т.
е. добавляется суммирование по индексам компонент волновой функции. В качестве второго примера вычислим среднее значение з-ой составляющей спина. По определению среднего имеем: (М„> = ~ Чю+М„ч' ю(т = — ~ Ч'"а,Ч' ю(т = = — ~ (Ч"юЧ'ю — Ч'юЧ"а+Ч'зЧ"з — Ч"юЧ'ю) ю(т, (94.31) 22* 327 9 95. Волновая функция свободного электрона В качестве примера четырехкомпонентной волновой функции рассмотрим волновую функцию свободного электрона, которая имеет вид Ч'» (г. 1) ,( ЧГ2 (г, г) Ч"а (г, 1) Ч', (г, 1) (95.1) Не ограничивая общности, можно считать, что электрон движется вдоль оси г, и положить: р„= р„= О, р, ~ О.
По аналогии с формулой (42.24) для нерелятивистского случая будем искать решение для каждой компоненты в виде плоских волн: » Ч'»(г, 1) = АЬ»е " (95.3) где А — общая для всех компонент нормировочная постоянная. В случае нормировки на длину периодичности Е имеем А = 1. 'г . Коэффициенты Ь; определяются из условия, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению Дирака. Равенство Ч'+Ч'= А~А (Ь» Ь» + ЬаЬа+ ЬзЬз+ ЬьЬь). (95.4) 328 где использовано выражение о, по (96.26).
В вычисление снова вошло суммирование по компонентам волновой функции. Таким образом, с принципиальной точки зрения четырехкомпонентность волновых функций никаких новых элементов в правила вычисления не вносит. С технической точки зрения вычисления становятся несколько сложнее. Из (94.28) и (94.31) можно заключить, что компоненты Ч', и Ч', описывают состояние электрона, в котором его спин имеет составляющую в направлении положительных значений оси г, а компоненты Ч'а и Ч", описывают состояние электрона, в котором его спин имеет составляющую в направлении отрицательных значений оси г.
Вообще говоря, обычно имеет место суперпозиция состояний, и все четыре компоненты волновой функции отличны от нуля. Ввиду того, что уравнение Дирака получено из релятивистски инвариантного соотношения (94.1), представляется вероятным, что оно релятивистски инвариантно. Это утверждение может быть строго доказано. Из требования иннариантности уравнения Дирака относительно преобразований Лоренца могут быть получены правила преобразования волновой функции при преобразованиях Лоренца. Оказывается, что компоненты волновой функции преобразуются при этом друг через друга. Однако соответствующих вычислений мы здесь приводить не будем.
показывает, что коэффициенты Ь1 должны удовлетворять следую- щему условию нормировки: Ь 16! + Ьгьг+ ЬгЬг+ Ькьг = 1. (95.5) (Š— тгсг) Ь, — ср,Ьг =- О, (Š— тгсг) Ь, + сР,Ь| =- О, (Е+ тгс') Ьг — ср,Ь, =- О, (Е+тггг) Ьг+ сР Ьг= О. (95.6) Для того чтобы эта однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы ее детерминант равнялся нулю: Л = (Е' — т,'с' — сгр,') =- О, (95.7) что является выражением релятивистской связи между полной энергией и импульсом частицы, даваемой формулой (93.1).
Из (95.7) следует, что Е =-- + с $'лт'„'сг+ р,', (95.8) т. е. уравнение Дирака допускает для электрона как положительные полные энергии, так и отрицательные. В случае положительных значений Е: Е=+с )lгйсг+рг, (95.9) получаем следующие два линейно независимых решения: (95.10) б) Ь,=О, Ьг=- — '.. 1 1+-'""-', Ь,=О, 1 мгсг Ь,= — = 1 — —. уй Е Множитель 1/)~2 появляется за счет условия нормировки (95.5).
В случае отрицательных значений Е: Š—. — с 1/т,'с'+р,' (95.9а) 329 Подставляя выражения (95.3) в систему уравнений (94.12) и сокращая на общий множитель Аехр 1 — — „(Е1 — р,а)). находим для определения коэффициентов Ь! следующую систему уравнений: получается также два линейно независимых решения, которые представляются следующим образом: ! Г тссг Ь,= — — ~~1+ —, Ь,=О; 1/2! !81, з= (95.1! ) ! / тзсг Ь,= —.— ~~1 +- —.
1 2 Чтобы выяснить физический смысл состояний а) и б), воспользуемся формулой (94.28) для собственных значений проекции спина на ось а. Учитывая, что в состоянии а) компоненты Ч"г и Ч", обращаются в нуль, а в состоянии б) нулю равны компоненты Ч', и Ч',, заключаем, что волновые функции а) описывают состояние, когда спин электрона ориентирован вдоль положительного направления оси г, а состояние б) соответствует ориентировке спина электрона вдоль отрицательного направления оси а. Таким образом, четыре линейно независимых решения (95.10) и (95.11) соответствуют четырем возможным комбинациям двух знаков полной энергии электрона и двух возможных направлений ориентировки спина.
Отрицательные значения полной энергии электрона с первого взгляда представляются не имеющими физического смысла. Однако более глубокий анализ показал физическую содержательность этого понятия и привел к открытию античастицы для электрона, названной позитроном. Об этом более подробно будет сказано в следующей главе. В иерелятивистском случае, когда (п(с) « 1, мы имеем Г.=)с г 2 (95.12) и поэтому волновые функции (95.10) и (95.11) принимают с точностью до величин о/с следующий вид: 1) Е)0: ! и а) Ь, 1; Ьг=о, Ьзж — — —, Ьз= 0; 1 (95.! За) б) Ь,=О; Ь,=1, Ь,=О, Ь,= — -'- — "; ) с 2) Е<0: а) Ь! — —, Ьг — — О, Ьз= ! Ьз=б! (95.185) б) Ьз=о Ьг= -- Ьз О. Ьз~!. т. е.
в каждом из состояний существенно отличной от нуля является лишь одна компонента. Это, однако, не означает, что в нерелятивистском случае волновая функция из четырехкомпонентной превращается в однокомпонентную волновую функцию и, следовательно, спиновые эффекты пропадают. Дело в том, что отличной от нуля является в каждом из состояний различная компонента. Следовательно, при вычислении, например, среднего значения спина вдоль оси г вычисления сводятся к одной компоненте волновой функции, но эта компонента различна для различных состояний и дает различный результат вычислений.
Поэтому переход к нерелятивистскому случаю не означает перехода к однокомпонентной волновой функции, а позволяет выяснить относительную роль различных компонент волновой функции в нерелятивистском случае. Второе замечание, связанное с переходом к нерелятивистскому случаю, заключается в следующем. Из (95.13а) видно, что коэффициенты Ь, и Ь, в нерелятивистском случае имеют относительно коэффициентов Ь, и Ьз порядок о/с по сравнению с единицей. Это означает, что функции Ч" и Ч~, в нерелятивистском случае малы в сравнении с функциями Ч", и Ч",.
Это заключение имеет общий характер, как это непосредственно видно из системы уравнений (94.12): в нерелятивистском случае Е ж тос' и, следовательно, Ч"з н Ч'~ малы в сравнении с Ч', и Ч'м Глава 2З РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ 5 96. Уровни энергии бесспиновой частицы в кулоновском поле Зависимости массы от скорости приводит к изменению уровней энергии частицы, движущейся в кулоновском поле. Чтобы проанализировать этот релятивистский эффект, рассмотрим бесспиновую частицу, движущуюся в кулоновском поле ядра. Будем считать массу ядра, вокруг которого движется бесспнновая частица, много больше массы этой частицы.
Благодаря этому ядро можно считать неподвижным. Соотношение между полной энергией, импульсом и потенциальной энергией в кулоновском поле имеет следующий внд: е= грч. ь'- *-*'- (96. 1) 4иевг где +ле — заряд ядра, — е — заряд рассматриваемой частицы и те — ее масса покоя. Отсюда получаем следующее операторное равенство: ( Е+ 4 ) =е р"+гл~е ° (96.2) Следовательно, уравнение Клейна — Гордона для частицы в кулоновском поле ядра имеет следующий вид: (96.3) Полагая Ч' (г !) = Ч" (г) е " (96.4) получаем следующее релятивистское уравнение стационарных состояний: р''р+-,—,„, ( ((р+ ~ъс'+ — — ) — щое" ) 'р= О (96.6) Здесь (г' — энергия электрона без энергии покоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
