Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Жс Теперь число Ф стоячих волн в полости, частоты которых не превосходят значения а, можно определить, подсчитав число изображающих точек из положительного октанта пространства У, попавших в шар радиуса Я. Так как с каждой точкой в пространстве У~ связана ячейка единичного объема, то объем 1/8 части шара радиуса Я и определяет искомое число точек (стоячих волн). Поэтому Если теперь через (а) обозначить среднюю энергию стоячей электромагнитной волны частоты а, то, согласно определению спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения, имеем ЫФ(в) на, гг1ю= $~ Отсюда, с учетом (1.26), находим, что г "а,т 2 з(а) яс (1.27) Развивая теорию теплового излучения, Д. Рэлей (1900) и Д.
Джинс (1905) предложили рассмотреть каждую стоячую электромагнитную волну как объект с двумя степенями свободы, одна из которых — электрическая, а другая — магнитная. Согласно классической теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы системы приходится в среднем энергия, равная -КТ, где й = 1,38 10 Дж/К вЂ” посто- 1 -гз 2 янная Больцмана. Поэтому для равновесного теплового излучения при температуре Т на каждую стоячую электромагнитную волну частотой оз приходится в среднем энергия Я =-КТ+-ИТ =) Т. 2 2 (1.28) Из (1.27) получаем 2 и т = — МТ.
а 2 3 (1.29) 26 С помощью соотношений (1.17) это выражение для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения можно пре- образовать в формулу Рзлея — Джинса для испускательной спо- собности абсолютно черного тела: г 7щ Т= — ИТ. 4кгсг (1.30) (Т)= — Е = ~~т 1в= —,, ~в )в-+ . 4, /сТ с о к~с 0 Таким образом, из классической теории теплового излучения следует вывод о том, что при конечных значениях энергии излучения равновесие между веществом и излучением невозможно, но он противоречит опыту. Этот противоречивый результат, содержащийся в формуле Рэлея — Джинса, вывод которой с точки зрения классической теории не вызывал сомнений, П.
Эренфест назвал "ультрафиолетовой катастрофой ". Гипотеза о квантах. Формула Планка. "Ультрафиолетовая катастрофа" показала, что классическая физика содержит ряд принципиальных внутренних противоречий, которые проявились в теории теплового излучения и разрешить которые можно только с помощью принципиально новых физических идей. Такая физическая идея была сформулирована в 1900 г. М. Планком в виде гипотезы о квантах. Согласно этой гипотезе, излучение испускается и поглощается веществом не не е ывно, а конечными порциями эне гии, кото ые Планк назвал квантами Энергия кванта зависит от частоты излучения и определяется по формуле Е=Ьч, или Е=лоз (1.31) 27 Формула Рэлея — Джинса достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными об излучении абсолютно черного тела в области малых частот или больших длин волн и резко расходится с опытом для больших частот или малых длин волн излучения.
Кроме того, интегрируя (1.29) и (1.30) по всем частотам, мы получаем бесконечные значения для интегральной плотности энергии равновесного теплового излучения и(Т) и для энергетической светимости абсолютно черного тела Е . Действительно, Здесь л = 2Ю вЂ” новая фундаментальная физическая константа, которую называют постоянной Планка. Экспериментально определенное с большой точностью значение этой константы в соответствии с современными данными равно Ь=(6,6261810,00004) 10 Дж с. Так как размерность этой постоянной "энергия Х время'" совпадает с размерностью величины, которую в механике называют действием, то постоянную Планка называют также квантом действия.
Гипотеза Планка о квантах нарушила "незыблемое" правило классической физики о том, что любая физическая величина, в том числе и энергия, изменяется непрерывным образом и за бесконечно малый промежупж времени ее изменение всегда бесконечно малб. Эта гипотеза оказала огромное влияние на последующее развитие физики. Именно развитие гипотезы Планка о квантах, высказанной в начале ХХ в., привело к появлению квантовой механики — современной физической теории, в которой идея квантования, или дискретности, распространяется на различные физические величины, характеризующие состояние системы. В этом смысле 1900 г.
можно назвать годом рождения квантовой физики, которая за последующие сто лет бурно развивалась и позволила создать законченную и непротиворечивую картину микромира на уровне атомных явлений. На первом этапе с помощью гипотезы о квантовании энергии излучения Планку удалось дать исчерпывающее теоретическое описание равновесного теплового излучения, сняв все противоречия классической теории. Основное отличие квантовой теории излучения от классической обнаруживается уже при расчете средней энергии излучения частотой щ С учетом гипотезы Планка среднюю энергию излучения определяют по формуле (1.32) Здесь е„= лаю — возможные значения энергии излучения; Є— вероятность того, что в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т излучение будет иметь энергию вл. Эту вероятность можно оценить с помощью распределения Больцмана, записав ее с точностью до некоторой константы в виде ~л Р Ае Ьг (1.33) Если учесть, что ~~) Р„= 1, то для константы А получим знаи=о чение ~~."е П Таким образом, в квантовой теории излучения среднее значение энергии излучения частотой го определяется из следующего выражения: (1.34) лю где с= —.
1сТ Сумму, стоящю в знаменателе выражения (1.34), определим по формуле геометрической прогрессии 5=,) е ~= 1 1-е ~ (1.35) Формально дифференцируя это соотношение по г„находим сумму ряда, стоящего в числителе формулы (1.34): Хпе — е5 е~ л=О Е (1 — е «) (1.36) Х пйгое мт л=о ьт ~пе е~ и=о -п~ и=о Подставляя найденные значения сумм в (1.34), получаем оконча- тельно выражение для средней энергии излучения частотой а в квантовой теории (Е) = сьт 1 (1.37) ям йа — ла Заметим, что на малых частотах, когда — << 1 и ект =1+ —, ОТ йТ из (1.37) получаем формулу классической теории: (а) = ЙТ.
Однако в области больших частот отличие средней энергии излучения, рассчитанной по формулам (1.28) и (1.37), становится существенным. Но именно в этой области частот классическая теория излучения приводит к "ультрафиолетовой катастрофе". Квантовая теория излучения разрешает это противоречие теории и эксперимента.
Действительно, подставляя (1.37) в (1.27), получаем известную формулу Планка для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения Ьа 1 23 ам кс акт -1 (1.38) Формула связи (1.17) позволяет также записать функцию План- ка йаз 1 г* т мха,Т))=— Щ 4к2 г Ям сьт — 1 (1.39) 30 описывающую испускательную способность абсолютно черного тела во всем диапазоне частот. Функция Планка находится в соответствии с результатами экспериментальных исследований излучения абсолютно черного тела на всех частотах и при всех температурах.
При малых частотах формула (1.39) квантовой теории излучения переходит в формулу (1.30) Рэлея — Джинса классической теории. При больших частого тах, когда йа»ФТ, с высокой точностью еет»1. В этом случае формула (1.39) переходит в соотношение Асо й 3 У(щ,Т~= е ат 4Ж2С2 (1.40) Задача 1З. Используя основные соотношения квантовой теории из- лучения, выведите закон Стефана — Больцмана н определите значе- ние постоянной Стефана — Больцмана. Ренееяае.
Интегрируя функцию Планка (1.39) по всем частотам, на- ходим энергетическую светнмость абсолютно черного тела. В резуль- тате интегрирования имеем " а'Ыа й'Т' " х'1* еат г* и =~~ Ыа= О 4к2С2 Полученное соотношение соответствует закону Стефана Больцмана (1.7), так как оно может быть записано в виде й = от, в 4 где з о= 4 22йз я О е Значение несобственного интеграла 3( 3 -хг '=/ — ', =Г', ое 1 1е о вычислим, разложив в ряд его знаменатель (1 е-~) ]+е-х+е- 31 стРУктуру которого предсказал еще в 1893 г.
В. Вин. Отметим, что вывод формулы Планка в квантовой теории излучения может быть проведен различными способами. Некоторые нз них будут рассмотрены в последующих главах. и проинтегрировав почленно это выражение. В результате получим -г 5- 1= ~х е «(1+е «+е "+...)Их=~ ~х е ~!тх=~ — ~ хте ~Ых= о л=! 0 л=!" 0 -л« ~ 6 с=~ 1 и Л л !л4 л 1л4 90 15 Поэтому значение постоянной Стефана — Больцмана можно предста- вить через универсальные константы я, с и л: 214 !т= =5,67 10 Вт м К 60 2йз Следует отметить, что сам Планк, пользуясь экспериментальным значением !т, по этой формуле впервые определил значение постоян° ной л. Задача 1.4.
С помощью функции Планка для испускательной способности абсолютно черного тела определите значение постоянной Ь в законе Вина для теплового излучения. 2лс Реыееыые. По формуле (1.3) с помощью замены переменной о! = —, Л преобразуя функцию Планка (1.39), находим испускательную способность абсолютно черного тела как функцию длины волны: 4лсй 1 "л, т = !р(Л Т) = ехр — -1 2лсй Вводя обозначение 2 = —, представляем функцию ф в виде ИТ 25 !р=А, А=совы.
е -1 Найдем, при каком значении а = 2„, функция !р имеет максимум. Для этого, взяв производную 32 5аа (е' -1) — г~е' — =А ("-')' и приравняв ее нулю, получим для экстремального значения г = г трансцендентное уравнение 5(е' -1) — а„,ее'" =О, „=5(1- -'-). Решение этого уравнения можно найти методом последовательных приближений, считая, что е е'" «1. Тогда в первом приближении получаем т,„= 5. Во втором приближении искомый корень уравне- 0)' ния находим из соотношения т~ ~ =5(1 — е )=4,966. Это значение можно взять в качестве приближенного решения рассматриваемого трансцендентного уравнения. Следовательно, испускательная способность абсолютно черного тела достигает максимума при длине волны Х = Х,„, для которой = 4,966. 2, ИТ Отсюда находим, что 2, Т= =2910 м К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
