Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика (1185135), страница 3
Текст из файла (страница 3)
С ростом температуры любого тела длина волны, вблизи которой тело излучает больше всего энергии, также смещается в сторону коротких длин волн. Это смещение, однако, уже не описывается простой формулой (1.11), которую для излучения реальных тел можно использовать только в качестве оценочной. Ночное видение. Ночью при отсутствии солнечного света человек в темноте перестает видеть окружающие его предметы. Однако все они, имея ненулевую температуру, испускают электромагнитное тепловое излучение и ночью. С помощью закона Вина (1.11) можно оценить длину волны, на которую приходится максимум испускательной способности тела, если известна его температура.
Из этой оценки следует, что при средней температуре тел примерно 300 К основная энергия их теплового излучения приходится на инфракрасное излучение с длиной волны около 10 мкм. Излучение в видимой области спектра (0,4 мкм <Л < 0,7 мкм) при таких температурах имеет слишком малую энергию и не может быть обнаружено невооруженным глазом. Равновесие между телами у поверхности Земли и их излучением не устанавливается, так как в сторону неба система наземных тел не является замкнутой. Поэтому все тела, температура которых несколько больше, чем температура земной поверхности, могут быть зафиксированы в микроволновом диапазоне как излучающие объекты.
Такие источники инфракрасного излучения можно увидеть только с помощью специальных приборов, в которых микроволновое излучение, невидимое глазом, регистрируется датчиками инфракрасного излучения и преобразуется в модулированные электрические сигналы. Эти сигналы управляют электронным пучком, дающим на экране кинескопа видимое изображение предметов. 17 В конце ХХ в. произошло качественное изменение техники ночного видения, связанное с созданием электронно-оптических преобразователей нового типа.
С помощью современных биноклей и прицелов ночного видения наблюдатель может получить в темноте изображение человека на расстоянии нескольких сот метров или движущегося танка на расстоянии нескольких километров. А пилотажные очки ночного видения позволяют эксплуатировать вертолеты в условиях ограниченной видимости практически круглые сутки. Задача 1.1. Покажите, что если излучение происходит из обьема достаточно толстого слоя любого вещества, имеющего на единицу толшины нспускатсльную способность Е, т и поглошатсльную способ- ность А т, то поверхность этого слоя излучает как абсолютно черное тело. При расчетах ограничиться рассмотрением излучения, распространяющегося в направлении, перпецдикулярном поверхности слоя.
Ренсеиж Пусть слой вещества, занимающего полупространство х > О, имеет температуру Т (рис. 1.6). Выделим тонкий слой вещества с координатами от х до х+ Их. На частоте ю этот тонкий слой излучает по направлению к поверхности поток энергии с единицы плошади г1гсх т Егл т ггх. Рнс. 1.б. Обьсмнос излучение слоя нагретого вещества До выхода с поверхности слоя это излучение проходит слой поглощающего всщсстватолщиной х. По закону Бутсра поток энергии излучения уменьшается экспоненциально и при выходе на поверхность х = О становится равным 18 агава=й~ техр( — А тх)=Е техр( Ав,тх)'й. Суммируя излучения всех слоев, находим испускательную способ- ность поверхности слоя г = )Е техр( А гх)ах= — )ехр( 4)"г,= Ещг Еи,т о о Аа,г Е,т Но по закону Кирхгофа — =г Т, где г 1.
— испускательщ ' аз, ная способность абсолютно черного тела. Поэтому г„= газ т, и мы тем самым доказали, что поверхность слоя излучает как абсолютно черное тело. Этот важный вывод поясняет, например, почему излучение с поверхности достаточно большого объема высокотемпературной плазмы, и в частности с поверхности Солнца, близко по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела. Задача 1.2. Максимум испускательной способности Солнца приходится на длину волны Л =0,48 мкм. Считая излучение Солнца близким к излучению абсолютно черного тела, оцените суммарную площадь панелей солнечной батареи электрической мощностью Р =10 кВт на орбитальной околоземной космической станции.
КПД солнечной батареи примите равным з1 = 20%. Значения астрономических величин возьмите из таблиц. Решение. Из закона смещения Вина (см. формулу (1.11)) определим температуру поверхности Солнца Т= — = ' б=бооок Ь 2910 Лщ 0,48.10 Теперь по закону Стефана — Больцмана находим энергетическую светимосп Солнца й = оТ и полную мощность излучения с его по- 4 верхности И~ = й 4пйс=4нцТ"Кс 19 Здесь Вс = 6,95 10 м — радиус Солнца. а Считая, что Солнце излучает по всем направлениям изотропно, находим солнечную постоянную С, равную потоку энергии излучения через единицу поверхности сферы, радиус которой равен среднему расстоянию от Солнца до Земли Нсз — — 1,49 10 м.
При этом 11 г С= =оТ вЂ” =1,6 10 Вт/м . И' 4 гс 3 г 4пйсз ~ исз г Итак, в космическом пространстве вблизи Земли на каждый квадратный метр поверхности, перпендикулярной солнечным лучам, эа 1 с падает 1,6 кДж энергии солнечного излучения. Часть этой энергии в солнечной батарее превращается в электрическую энергию. С учетом КПД солнечной батареи находим ее электрическую мощность Р, =пСЗ. Отсюда определяем площадь панелей солнечной батареи Р,„10 Ж =31,2м . ЧС 0,2 16 1О 1.2. Квантовая теория излучения Объемная плотность энергии равновесного излучении.
Рассмотрим основные положения теории равновесного теплового излучения. Для этого, не ограничивая общности выводов, предположим, что полость с идеально отражающими стенками имеет форму куба с ребром 1. Поместим в эту полость малое по размерам абсолютно черное тело, имеющее температуру Т. За счет испускания и поглощения электромагнитных волн этим телом полость равномерно заполнится равновесным тепловым излучением с определенной объемной плотностью энергии и(Т), зависящей от температуры.
Эту интегральную обьемную плотность энергии теплового излучения можно разложить по спектру частот, т. е. представить в виде 20 и(Т)= ~и г ш о (1.12) Здесь функция и„г жи(в, Т) определяет объемную плотность энергии излучения, приходящуюся на единичный интервал частот вблизи частоты о1 Назовем ее спектральной плотностью энергии теплового излучения при данной температуре Т. Очевидно, что спектральная плотность энергии теплового излучения связана с испускательной способностью абсолютно черного тела, находящегося в равновесии с этим излучением. Эту связь можно установить, рассмотрев излучение вблизи элементарной площадки Л5, выделенной на поверхности абсолютно черного тела (рис.
1.7). Рис. 1.7. Поток энергии излучения, падающий иа элементарную плошадку Тепловое излучение в любой точке пространства вблизи выделенной площадки равномерно распределено по всевозможным направлениям в пределах телесного угла 4к. Поэтому плотность энергии излучения, приходящегося на телесный угол сИ = =з1п ОЫОйр, т. е. падающего на площадку Ь5 под углом О к ее нормали, можно записать в виде дй =и(Т) —. Нь2 4к (1.13) Но если излучение с такой плотностью энергии, распространяясь со скоростью света в вакууме с, падает на площадку Ь5 под 21 углом О к нормали, то за время Ьг на эту площадку попадает вся энергия излучения, заключенная в заштрихованном на рис. 1.7 объеме, т. е.
г1н=г1йсЬьМ'=ййсММсоьВ= — и(Т)соьОыпВпВйрММ. (1.14) 4п 2а Ф= — и(Т) ) йр')соьВ япЫВ= — и(Т). (1.15) 4Я 0 0 4 В состоянии термодинамического равновесия такой же поток энергии излучения должен испускаться с единицы поверхности абсолютно черного тела. Но этот поток энергии, по определению, есть энергетическая светнмость абсолютно черного тела. Поэтому Я = — и(Т), или и(Т)= — В . 4 с (1.16) Проведенные выше выкладки справедливы и для каждой спектральной составляющей излучения частотой 01 Поэтому аналогичным соотношением связаны спектральная испускательная способность абсолютно черного тела г* т н спектральная объемная плотность энергии равновесного теплового излучения и с 4 гм т — — — иьь т, или им т = — гм т.
11.17) 4 ' с Формула Рэлеи — Джинса. В рассмотренной выше полости кубической формы с идеально отражающими стенками тепловое излучение как электромагнитное поле может существовать только в виде суперпозиции прямых и отраженных волн, т. е. в виде стоячих электромагнитных волн, имеющих узлы на стенках полости. Суммируя энергии излучений, падающих под всевозможными углами, находим полный поток энергии Ф излучения, падающего на единицу поверхности в единицу времени: Направим оси декартовой системы координат вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер кубической полости (рис.
1.8) и обозначим через ех, е и е, единичные орты вдоль соответствующих осей координат. Тогда для волны, распространяющейся строго вдоль оси х, условие образования стоячей волны имеет вид Х 1 = п1 †, п1 = 1, 2, 3, ..., (1.18) т. е. на длине 1 между отражающими стенками должно укладываться целое число длин полу- волн. Так как для такой волны волновой вектор )с = )с„е„, где 2л 1с„ = †, то условие образования х стоячей волны в направлении оси х можно записать и как условие на волновое число: Рис.
1.8. Кубическая полость 1с = п1 —, п1 — — 1, 2, 3, ... (1.19) с тепловым излучением х 11 1 Аналогичные рассуждения для волн, распространяющихся вдоль осей у и 2, позволяют сформулировать общий вывод о том, что для стоячей волны, являющейся суперпозицией прямых и отраженных волн, распространяющихся в кубической полости в произвольном направлении, задаваемом волновым вектором 1с=1с,е. +1с е +1с е, должны выполняться условия к и к 1сх п1 ~ )с п2 ° )с пз 1'1.20) Здесь п1, п2 и пз — целочисленные параметры, принимающие независимо друг от друга значения О, 1, 2 и т. д.
23 п1 иг лз =0 1 2- (1.21) 2п ю Так как 1с = — = —, то равновесное тепловое излучение в кубичес ской полости можно рассматривать как совокупность стоячих электромагнитных волн различных частот, значения которых определяются соотношением а= — н1+лг+нз, н1,лг,пз — — 0,1,2,... (1.22) яс г г г 1 Каждой тройке целых неотрицательных чисел (п1, пг, иэ) соответствует одна стоячая волна.
Общее число таких стоячих волн бесконечно велико. Определим число стоячих электромагнитных волн в полости с частотами, которые не превышают заданного значения ох Для этого рассмотрим дискретное лг трехмерное пространство х, (рис. 1.9), в котором каждая Я точка с целочисленными неот- 2 рицательными координатами 1 п1, пг и пэ соответствует от- 1 дельной стоячей электромаг- 2 л~ нитной волне в полости с равновесным тепловым излученилэ ем. Эти точки разбивают пространство х, на ячейки единичного объема.
Представим теперь условие (1.22) в виде уравнения сфери- Рне. 1.9. Дискретное трехмерное пространство для подсчета числа стоячих электромагнитных волн Условия (1.20) можно записать как условия на волновые числа волн в полости ческой поверхности в пространстве Л: Л1 + 2+Лз — я2, 14 з 1оз1 1 озз 3 3 бя23 бк23 (1.24) Здесь У =1 — объем полости, в которой заключено рассматриваемое равновесное тепловое излучение. Следует учесть, что электромагнитные волны — поперечные волны и в каждом направлении 1с в полости в общем случае могут распространяться две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Поэтому число стоячих волн с частотой, не превышающей заданного значения а, следует определить как з Ф=2Ф= — К Зп с (1.25) Дифференцируя (1.25) по частоте, найдем число стоячих волн в полости, попадающих в интервал частот от в до оз+ Ыго: (1.2б) 25 оМ где Я = — — радиус сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
