Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Вычисление функции состояний и среднего магнитного момента в теории Лаижевена ничем не отличается от расчетов $ 87. Свободная энергия имеет вид Р = — йТ1п Е, в которой для Л подставлено выражение (87,3), а до заменено на р и Š†Н. При ~ (~ 1 »Н МТ 420 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА [ГЛ. ХП из теории Ланжевена для Р получается формула (92,3), а при ин ДТ вЂ” ))1 для Р имеем: Г 2ВЛТ ВН Р= — !ВВТ1п ~ — е"т~ = — И1АН вЂ” Н7зТ1п —. (92,7) 2ВДТ '1.
и ВН Для энтропии при низкой температуре из (92,7) получаем: ВТ + и !АИ Отсюда видим, что (92,8) Пт о = — оо. Т-ь о Таким образом, при низких температурах теория Ланжевена оказывается противоречащей третьему началу термодинамики. Ошибочность этой теории закл!очается в предположении о равноправии всех ориентаций магнитного момента в пространстве. В действительности возможны не все, а лишь избранные, квантованные ориентации, определяемые формулой (90,6). Квантование ориентации не сказывается при †(( 1, поскольку в этой области тепловая энергия велика ин ВТ по сравнению с ориентационной магнитной энергией 1АН.
ф 98. Адинбатическое размагничивание Процесс адиабатического размагничивания является аналогом процесса адиабатнческого расширения, в котором в качестве внешнего параметра вместо объЕма системы фигурирует поле. Подобно адиабатическому расширению, аднабатическое размагничивание используется как метод получения низких температур. Сущность процесса состоит в следующем. Парамагнитный образец при постоянной температуре намагничивается сильным полем до насыщения.
При этом его энтропия убывает от значения (92,5), отвечающего хаотической ориентации моментов, до нуля. Убывание энтропии ЬЯ = !чй 1п (27. + 1) (93,1) при постоянной температуре отвечает выделению тепла д1,!= ТЙЯ. Это тепло отводится струйй жидкого гелия, в которую помещен образец. Когда устанавливается насыщение образца и тепловое равновесие, гелий откачивается и образец оказывается теплоизолированным. Затем магнитное поле медленно снижается до нуля, так чтобы процесс размагничивания происходил обратимо. При размагничивании энтропия вновь возрастает на величину Ь5.
Это возрастание энтропии требует подвода тепла ЬЦ. Однако подвод тепла извне отсутствует. Поэтому тепло должно черпаться из энергии теплового движения, имеющегося в образце, т. е. энергии тепловых колебаний кристаллической решвтки. Уменьшение последней отвечает понижению температуры образца. Понижение температуры при адиабатическом раз- ф 93] Адилвхтичвскоа Размагничивании 421 магничивании аналогично понижению температуры при адиабатическом расширении, когда тепловая знергия затрачивается на работу расширения. Если теплоймкость кристалла следует закону ауе, то для изменения знтропии при адиабатическом размагничивании имеем: т ! СгоТ о з з АЕ= ~ = —,(Т вЂ” Т), 36з где Т и Т вЂ” исходная и конечная температуры и а — постоянная.
Приравнивая (93,1) и (93,2) находим: —,(То — То) = А(й 1п (2С+1), (93,3) 36з (93,2) откуда 30х ч А Т=~ То — — 'А(й !п (21+1) ! а (93,4) Метод адиабатического размагничивания оказался очень мощным способом получения весьма низких температур. При размагничивании смеси хромовых и алюминиевых квасцов была получена температура, равная 0,0044'. В" Ъ а = — Ело(1 — — ) 2) и имеет вид, отвечающий малым колебаниям около оси 6 О.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ ХП 91. Вычислить средний днпольный момент частицы идеального газа нз днпольных молекул в сильном злектрнческом поле. Р е ш е н и е. 7г! = — 4~ соо В = ло ~ ехр ! ) соззз1пВЫВНВ /ЕгВосоз 01 6 жоЕ ДТ о — оо ! со!9 — — — !. йт П,Е)' Х- ('"Г')""'" 6 92. Вычислить дополнительную знергию и теплобмкость, приобретаемую дипольным газом в слабом злектрическом поле. Решение. Теплобмкость равна Фй ( Ыо!Е! )' Фактическое значение Ст весьма мало.
93. Показать, что в весьма сильном злектрическом поле, когда дипольный момент идеального газа близок к насыщению, диполн совершают малые колебания около положения равновесия. Решение. Из выражения для созз, полученного в задаче 91, следует при Ейо )) ДТ, что сох Вы !. Позтому при малых 6 потенциальная знергия равна Г Л А и А Х 111 МЕТОД КОРРЕЛЯТИВНЫХ ФУНКЦИЙ 9 94.
Коррелятивные функции Ранее мы имели уже возможность убедиться, что фактическое вычисление функции состояний и с е6 помощью термодинамических величин представляло сложную задачу, которая з настоящее время решена лишь для немногих простейших систем. Сложность нахождения функции состояний связана главным образом с тем, что оно требует знания детальной картины энергетического спектра системы.
Действительно, для вычисления л. необходимо: 1) знать расположение всех энергетических уровней системы з; и 2) знать статистические веса всех уровней Я (аД. В таком полном виде функция состояний была вычислена нами только для идеальных газов и для подобных им систем невзаимодейстзующих частиц. В частности, в случае кристаллов реальный кристалл оказалось возможным заменить системой эквивалентных не взаимодействующих между собой осцилляторов.
Эта замена позволила получить приближвнное значение функции состояний. В том случае, когда между частицами системы существует значительное взаимодействие, задача вычисления функции состояний даже при высоких температурах, в пренебрежении квантовыми эффектами, оказывается неизмеримо более сложной.
Выше было проведено статистическое рассмотрение системы с учбтом взаимодействия между частицами. Речь идЕт о газах, отклоняющихся от идеальности. Мы видели, что введение поправки, учитывающей взаимодействие между атомами, может быть сравнительно просто сделано в случае учета попарного взаимодействия. Однако учйт тройных, четверных и т. п. взаимодействий приводит уже к весьма громоздким вычислениям.
Эти усложнения нарастают в такой степени, что попытки применить подобные методы расчвта к системам с большой плотностью, в которых имеет место одновременное взаимодействие нескольких частиц, являются бесперспективными. Н. Н. Боголюбовым был предложен новый метод статистического рассмотрения систем взаимодействующих частиц, Этот метод является э 94) 423 КОРРВЛЯТИВНЫВ ФУНКЦИИ непосредственным следствием метода Гиббса, но представляет такую модификацию последнего, которая позволяет развить приближенные способы вычисления статистических свойств систем, не связанные с непосредственным нахождением функции состояния. Статистический метод Н. Н.
Боголюбова был уже успешно применен к решению ряда задач, связанных с изучением свойств различных систем взаимодействующих частиц. В последующих параграфах будут изложены основы статистического метода Боголюбова, а также некоторые его применения. Рассмотрим систему, состоящую из гч одинаковых взаимодействующих между собой частиц, находящуюся в термостате с температурой Т. Будем считать температуру достаточно высокой для того, чтобы можно было пренебречь квантовыми эффектами. Распределение Гиббса имеет вид йтв = — е 1т йр, йР,... йр йг йг ...
йг в.п =уе "т йР,йР,... йРнйг1йгз... йгн. (94,1) Кинетическая энергия 222 11 Потенциальная энергия системы У= ~~ и(~г1 — гт!), 1~1~2 ~Н (94,2) где и (( г1 — с~ ~ ) — энергия взаимодействия между двумя — 1-й и /-й частицами, зависящая только от расстояния между ними. Суммирование ведется по всем значениям ( и .Г, т. е. по всем взаимодействующим частицам. Е, как всегда, означает функцию состояний: к+и Е= ~ е 'т йр1йрв... йрнйг1йга... йгн. (94,3) Е йГ1 йГ2... йГЗГ «т Распределение Гиббса распадается, очевидно, на два множителя— один, зависящий только от импульсов, и второй, зависящий только от координат частиц: = йтвв ' йтв2 = 1Г и йР "Р "° йРн а йг1 "гз" йГМ д' (94,4) " йР1йР2" йРК 424 [гл. хгп метОд коггвлятивных етнкций где е — конфигурационный интеграл; и е= [ е тг(г,](г ...
йгн. (94,6) Если проинтегрировать ](те„по координатам всех частиц, кроме одной, то получаем: пытая ...,т ] е(н4]=](г, ° ~ е ет с]г,... дг, . Очевидно, что ]М„" представляет вероятность того, что частица М 1 находится в элементе объема ](г] при любых пслэжениях всех осталь- ных (М вЂ” 1) частиц.
Эту вероятность можно представить в виде Ы1] е1 (ге) лг] (94,8) где р,(г,) — плотность вероятности нахождения частицы в влементе объема Йг„, нормированная на объем системы: н (,(г,) 1 à — — 7,[ — е йт](г . (г 2 ' ' № Функцию р„(г,) мы будем именовать ординарной функцией распределения. Аналогично, интегрируя распределение Гиббса (94,6) по координатам всех частиц, кроме первой и второй, получаем: Г,я(гь г,) ](г,ига (г (г, (г„~е атлге ..лги у Ф (94,10) так что (94,11) Очевидно„ что первый множитель представляет вероятность того, что частицы 1, 2, 3, ..., А( имеют данные значения импульсов р„ рм ..., р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
