Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 92
Текст из файла (страница 92)
В нашем специальном случае эту формулу можно существенно упростить. Нам не нужно вести лвойного суммирования по возможным значениям энергии и числа частиц, так как в нашей системе значение энергии олнозначно определяется числом содержащихся в ней частиц по формуле (99,1). При суммировании по возможным аначениям числа частиц в подсистеме мы автоматически производим суммирование по возможным значениям ез энергии. С этим упрощением, в сущности, и был связан сделанный нами выбор подсистемы. Таким образом, среднее число частиц в подсистеме дл выражается формулой в-ч па=йТ вЂ” !п ~~~~!1 е вт ) (2(п ) дн (99,2) ил где вместо е мы подставили ев выражение по формуле (99,1).
Суммирование в (99,2) ведется по всем возможным значениям числа частиц в подсистеме а„. Для фактического проведения суммирования в формуле (99,2) необходимо знать явное выражение для статистического веса (числа состояний) й (ль) состояния системы, когла в ней содержится ль частиц. В квазиклассической статистике, когда все частицы можно последовательно пронумеровать, состояния нашей системы всегда булут вырожденными, если только она содержит более одной частицы данного сорта. Действительно, если в системе содержится М одинаковых частиц, то она может нахолнться в различных состояниях, отличающихся лруг от друга перестановкой частиц. Пусть, например, в нашем газе имеются две молекулы — М 1 и М 2 с энергией ез. В первом состоянии молекула % 1 находится в точке 1, а молекула )ч' 2 в точке 2, во втором состоянии они переставлены местами.
В обоих состояниях энергия полсистемы одинакова и равна 2е„. Таким образом, имеется два состояния системы с энергией 2*.„или. иными словами, состояния системы двукратно вырождены. В общем случае состояния системы, содержащей пь частиц, являются л„1-кратно вырожденными. Если мы не хотим учитывать как различные состояния, отличающиеся только перестановкой частиц (что заведомо привело бы нас к неправильным выражениям для термодинамическнх функций), то для Я следует воспользоваться обшей формулой (4,5) и рааделить полный объем фазового пространства на число возможных перестановок молекул ля! и размер ячейки йз.
5 991 двягой мвтод вывода статистичаского влспгвдвляния 44! Объем фазового пространства, отвечающего одному квантовому состоЯнию с энеРгией вь, Равен, очевидно, йз. ПоэтомУ окончательно для ы (ль) получаем: И(ль) = —. 1 (99,3) пь Подставляя значение выражения (99,3) в формулу (99,2), находим: Н 7 г.- ° ял па= оТ вЂ” 1п У вЂ” (е з ) ь. (99,4) Дл и лл! ил=в '1е ~ ) =~ — =а*, ,=0 и (99.5) з 'ь где через х мы временно обозначили е ' . Таким образом, в-'ь э 'ь — д д ль — ИТ вЂ” !не =ИТ е ьт е ьт д~~ дн (99,6) В частности, если состояния молекулы и ев энергия изменяются непрерывным образом, что всегда справедливо в классической статистике, то вместо данного уровня энергии зь нужно рассматривать состояния с энергией, лежащей между в и з+3з, При этом вместо числа частиц в данном квантовом состоянии ль нужно писать выражение лля среднего числа частиц с энергией между е и в+3в, которое мы обозначим через Иа.
Очевидно, в-а лт пт с(л =л — а в "т— рр у,в (99,7) где с17 — объем фазового пространства, отвечающий энергии между е и в+3е, и — „, — число состояний с этой энергией. Формула (99,7) лт совпадает с распределением Максвелла в той форме, которая была ему придана в $66. Значение постоянной в (99,7) фиксировано условием нормирования и, следовательно, не может зависеть от метода ей вывода нли обозначений.
В следующих параграфах мы воспользуемся Число частиц, входящих в состав подсистемы аь, может изменяться от нуля до полного числа частиц в газе М. Однако вероятность того, что все частицы газа соберутся в одно энергетическое состояние, бесконечно мала. Поэтому при пю близких к М, члены суммы (99,4) также бесконечно малы и сумма быстро сходится. Мы не совершим поэтому ошибки, если ааменим верхний предел 37 в сумме бесконечностью. Это соответствует добавлению к сумме бесконечно малых слагаемых. При такой замене сумма (99,4) обращается в простой ряд: 442 статистические глспгвделхния в квантовой статистика [гл, хщ новым методом вывода статистического распределения (99,7) для получения квантовых законов распределения молекул в идеальном газе.
В заключение заметим, что описанный здесь метод вывода распределения Максвелла — Больцмана часто называется методом ячеек в фазовом пространстве. 5 100. Квантовые распределения для идеального газа Как мы только что подчеркнули, нз принципа тождественности частиц следует, что нельзя различать между собой отдельные микроскопические частицы — электроны, фотоны, протоны и другие элементарные частицы, а также атомы и молекулы ').
Последовательно проводя точку зрения тождественности частип, следует отказаться от нумерации частиц. При этом нельзя больше говорить «о двух состояниях, отличающихся перестановкой двух частиц», или «об л! совпадающих состояний, отличающихся перестановкой л частиц». Мы должны говорить о «состоянин с энергией ез, в котором находятся соответственно две частицы или и„частиц». Вместо того чтобы указывать состояние всего газа, задав номера частиц, находящихся в различных энергетических состояниях, следует указать число частиц в этих состояниях, т.
е. указать, что имеется и, частиц в состоянии с »нергней »ь л» частиц в состоянии с энергией а», Таким образом, описание состояния газа оказывается менее детальным, чем в классической статистике. Поскольку нельзя говорить о перестановке частиц внутри данного состояния, теряет смысл деление на и!. Каждое состояние, независимо от числа частиц, в нем находящихся, имеет равный статистический вес, а именно вес, равный единице. Изменение методики подсчета состояний приводит к существенному изменению вида статистического распределения. Для получения последнего мы воспользуемся методом предыдущего параграфа.
Среднее число частиц в состоянии с энергией вь дабтся формулой г ~" 'ь~ ль — — АТ- — !п ~ ~е ат ~»ь я(лл). дн яа Теперь, однако, в (100,1) нужно подставить иное значение 1з (пл). Поскольку состояние системы, содержащее любое число частиц (100,1) з) В последнем случае тождественны между собой действщельно одинаковые атомы нлн молекулы, которые ведут себя идентично во всех возможных силовых полях. Поэтому атомы пли молекулы, отличающиеся по какому- либо признаку, например содержащие ядра разных изотопов или находящиеся з разных вращательных состояниях, пужзо с нызть частицами совершенно разного сорта, 9 100! квхнтовыв глспвкдвлвния для идеального глзь 443 0 ( иа ( со, является невырожденным и необходимость в делении на а„! отпадает, для числа состояний системы, содержащей л, частиц, вместо (99,3) имеем: й(иа) = 1, (100,2) При этом мы вновь считали Ь(=аз. Подставляя из (!00,2) в (100,1), получаем: ! " 'а~"а ль.
= — й Т вЂ” ! — ! и ~~ е (100,3) к ~ — вл и =йТ вЂ” !и э !е гэн (100,4) чяьв Заменяя верхний предел суммы на бесконечный, получаем: ~-в, д ит ! "а ль=йТч !и )~~~~а ) дн (100,5) Если имеет место неравенство (100,6) то сумма в (100,5) представляет бесконечно убывающую геометри- ческую прогрессию и может быть без труда вычислена. Именно, откуда е — 1 Формула (100,7) даат среднее число частиц идеального газа, находян!ихся в состоянии с энергией еа, если частицы не подчипя!отея принципу запрета. К этому классу частиц относятся атомы, имеющие спин, Суммирование ведйтся по числу частиц в состоянии с энергией за.
При выполнении суммирования нужно различать два вида частиц, о которых речь шла в $5, — частицы, не подчиняющиеся принципу запрета, и частицы, подчиняющиеся принципу запрета. В первом случае на !число частиц, находящихся в индивидуальном состоянии, не накладывается никаких ограничений. Число их может принимать все целые вначения между нулем и полным числом частиц в системе. Таким образом, 444 стлтистичвскнз гаспввдвлвния в квантовой статистике [гл. хге равный нулю, и молекулы насыщенных соелинений также со спинам, равным нулю, а кроме того, как будет показано ниже, световые кванты.
Распределение (100,7), носит название распределении Бозе— Эйнштейна. Заметим, что, поскольку сходимость суммы (100,5) лолжна иметь место всегла и при любых значениях энергии, в частности при за= О.— наряду с неравенством (100,6) должно также иметь место неравенство (100,8) Неравенство (100,8) показывает, что у частиц, подчиняющихся распределению Бозе в Эйнштейна, парциальный потенциал р должен быть существенно отрицательной величиной: 9<О. (100,9) Напомним, что в распределении Больцмана р также существенно отрицательная величина, но всегда весьма большая по абсолютному значению (ср. 5 66).
В случае частиц, подчиняющихся принципу запрета, число частиц и„, могущих олновременно находиться з индивидуальном квантовом состоянии, не может превышать единицы. Следовательно, возможные значения н„ограничены двумя: н„= 0 и и„= 1. Заменяя верхний предел суммирования в формуле (100,1) на единицу, имеем: в-е~ лв=иТд !п Х(е ) в юь =ЙТ е — !и(1+ е " ) = (100,10) е +1 Распрелеление (100,10) представляет распределение по состояниям частиц идеального газа в случае, когда частицы подчиняются принципу запрета. Распределение (100,10) получило название распределении Ферми — Дарана. Во всех случаях, встречающихся на практике, расстояния между уровнями энергии поступательного движения столь малы по сравнению с тепловой энергией иТ, что энергетический спектр мо>хно считать непрерывным.
Тогда вместо среднего числа частиц на й-м энергетическом уровне нужно ввести среднее число частиц ии — йт с энергией, лежащей между е и е+6е. Очевидно, е(и=и —, тле ла ' — „, — число состояний, отвечающее энергии в интервале е, в+бе. ггт в 1001 квантовыв влспгвдвлзния для идвлльного глвл 446 Подставляя среднее значение числа частиц, находящихся в одном состоянии, из (100,7) и (100,10) находим: дл= 1 А лз ' ьт е 1 (100,11) где знак плюс относится к распределению Ферми, а знак минус— к распределению Бозе.
Входящие в распрелелення Бозе и Ферми химические потенциалы определяются из условия нормирования (100,12) выражающего постоянство числа частиц, находящихся в данном объйме. Сравнивая вывод распределений Бозе и ферми с выводом распределения Максвелла — Больцмана, мы видим прежде всего, что оба эти распределения представляют конкретизацию распределения Гиббса для случая идеального газа, частицы которого подчиняются законам квантовой механики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
