Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Интегралы Зт и ря получили название неприводииых интегралов. Значение их может быть вычислено, если известен закон взаимодействия межлу частицами. Сравнивая (97,16) с (48,2), мы видим, что первые два члена (97,16) совпалают с лавлением (48,2). Последний член разложения (97,16) представляет поправку к давлению следующего порядка малости. Продолжая приближения, можно найти поправки к лазлению старшего порялка малости. Необходимо, однако, подчеркнуть, что главное лостоинство метода коррелятивных функций Н. Н.
Боголюбова состоит отнюдь не Определанная таким образом величина р идентична с введенной нами в 9 47 (см. 47,14). Аналогичным образом можно преобразовать и второй интеграл в (97,15). Тогда (97,15) запишется в виде 43б катод кОРРелятнзных ФуНкций ~гл. хш в нахождении поправок старших порядков к уравнению состояния. Мы привели этот пример лишь в иллюстративных целях. В действительности этот метод имеет значительные перспективы применения к исследованию систем частиц с дальнодействующими силами взаимодействия (растворы электролитов, плазма и т, п.), а также к исследованию свойств жидкого и твердого состояний. Соответствующие расчеты весьма сложны и не могут быть привелены в данной книге.
Мы ставили перед собой ограниченную цель— осветить основы метода более подробно и популярно, чем это сделано в оригинальной монографии Н. Н. Боголюбова. ГЛАВА Х!Ч СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ В 98. Последовательный учйт тождественности элементарных частиц Мы неоднократно уже указывали ранее, что классические представления оказались недостаточными для изучения движения атомных систем и должны быть заменены представлениями квантовой теории. В главе ! мы привели те минимальные сведения из квантовой теории, которые были необходимы для предыдущего изложения. Однако для более глубокого разбора тех изменений, которые вносит квантовая теория в статистическую физику, необходимо остановиться ешли на некоторых важных результатах квантовой теории.
Как мы уже подчеркивали ранее, для статистической физики основное значение имеют два положения квантовой механики: 1) существование дискретных состояний системы; 2) принцип тождественности элементарных частиц. Дискретность квантовых состояний учитывалась нами с самого начала. Нами было установлено, когда необходимо учитывать дискретный характер энергетических уровней, а когда их можно приближенно считать распределенными непрерывно, а также выявлено и влияние дискретности энергетического спектра на поведение статистических систем. Однако последовательный учет тождественности частиц нами до сих пор произведен не был.
Правда, состояния, отличающиеся друг от друга только перестановкой частиц, мы считали одним состоянием. Для этого мы производили деление фазового пространства на число возможных перестановок частиц. Такое деление представляло простейшую попытку учета тождественности частиц.
Деление на !Ч! производилось, в сушности, ешв до появления квантовой теории. В противном случае, как мы уже указывали в $ 37, из статистики получались непрзвильные выражения для термодинамических функций. Соображения, основанные на принципе тождественности элементарных частиц, до некоторой степени оправдали деления функции состояния нз )Ч! Однако непоследовательность этой операции очевидна.
Действительно, мы считали сперва, что все частицы 438 стлтнстичкскив влспгвделкния в квлнтовой стлтистннв ~гл. хьт отличимы друг от друга, так что их можно в принципе последовательно перенумеровать, приписать каждой частице определбнный номер или метку.
Исходя из этой точки зрения, мы провели подсчбт возможных состояний системы, состоящей нз йу независимых частиц, интегрируя по координатам и импульсам первой, второй и так далее частиц. После этого мы, в противоречии с исходной предпосылкой о возможности нумерации частиц, объявили часть состояний, отличающихся друг от друга только перестановкой частиц, совершенно тождественными н потребовали, чтобы каждое из них учитывалось оЛин раз. Опыт и теория показывают, однако, что тождественность атомных частиц имеет гораздо более глубокий характер. Полная тождественность атомных частиц приводит к тому, что теряет физический смысл первая из произведбнных нами операций — нумерация частиц. Не имеет смысла называть одну нз частиц первой, другую — второй и так далее и интегрировать по их состояниям, поскольку нет никаких физических различий между первой, второй и так далее частицами.
Если назвать первой частицу, находящуюся в начальный момент в определйнном состоянии, то в следующий момент уже нельзя было бы утверждать, что в этом состоянии находится именно первая частица, так как отличить первую частицу от «не первой» было бы невозможно. Поэтому нужно с самого начала отказаться от попытки различать между собой отдельные атомные частицы, т. е. от принятой нами характеристики системы атомных частиц').
Мы посмотрим сейчас, к каким изменениям в статистическом распределении приведбт нас последовательный учбт полной тождественности атомных частиц. Все дальнейшие рассуждения будут относиться только к одноатомному идеальному газу. 5 99. Другой метод вывода статистнческого распределения Для вывода статистического распределения в газе с учбтом принципа тождественности элементарных частиц мы прибегнем к особому приЕму, могущему служить прекрасной характеристикой гибкости и общности статистических методов, Чтобы сделать различие между классическим и квантовым рассмотрением особенно рельефным, мы сперва ешЕ раз выведем классическое распределение ~распределение Максвелла) с помощью этого метода. Предположим, что молекулы в газе могут находиться в индивидуальных квантовых состояниях с энергиями поступательного движения в,, в,„вв, ...
(для удобства рассуждений мы будем пока считать уровни энергии днскретнымн). В газе имеется некоторое распределение частиц по состояниям, так что в первом состоянии находится и, ') Искл1очеппе составляют гвк называемые сислгема лоналнзованны» частиц, отделбнпых друг от друга непроницаемыми барьерами. Такие сп. стемы мы рассматрявать не будем. $991 агатой метод вывода статистического глспгвдялвния 439 частиц, во втором пз частиц и т.
д. С классической точки зрения мы должны описывать состояния газа следующим образом: частицы № 1, 2, 3, ..., и, находятся в состоянии с энергией ео частицы № и, + 1, ..., л, + и находятся в состоянии с энергией з, частицы № и,+из-~-1,... и,+а,+аз находятся в состоянии сэнергией ез, и т. д. Далее, выберем в качестве квазизамкнутой подсистемы все частицы, находящиеся в некотором произвольно выбранном квантовом состоянии с энергией ев.
Все остальные газовые частицы, находящиеся в других энергетических состояниях, при этом образуют некоторый термостат. Выбор в качестве подсистемы группы частиц, находящихся в данном состоянии, находится в полном согласии с теми требованиями, которым должна удовлетворять квазизамкнутая подсистема Я 17). Действитетьно, в результате столкновений частицы, обладающие энергией ею переходят в другие состояния. Напротив, благодаря тому же механизму в это состояние попадают другие молекулы, ранее имевшие отличную от ея энергию и принадлежавшие, следовательно, ранее к термостату. Если число молекул, входящих или выходящих из подсистемы в единицу времени, мало по сравнению с числом частиц, в нем находящихся, то можно считать, что взаимодействие между подсистемой и термостатом является слабым.
Это условие будет удовлетворено, если столкновения между частицами, вызывающие соответствующие переходы, происходят достаточно редко, т. е. когда газ разрежая. Поскольку взаимодействие подсистемы с термостатом состоит в переходе частиц из подсистемы в термостат и обратно, выбранная нами подсистема представляет пример подсистемы с переменным числом частиц. Отличие ее от общего случая подсистемы с переменным числом частиц и переменной энергией состоит в том, что энергия каждой частицы з подсистеме фиксирована. Однако энергия подсистемы, слагающаяся из энергий всех содержащихся в ней частиц, также, разумеется, изменяется с изменением числа частиц в ней. Во избежание недоразумений подчеркнйм, что сейчас мы говорим пе о состояниях реально существующей системы, а о состояниях условно введенной подсистемы.
Нашей подсистемой является совокупность частиц с определенной энергией, находящихся в различных местах гава и не связанных между собой, а не какая-либо единая система. В процессе изменения состояния реальной системы изменяется число частиц, попадающих в состояние с данной энергией е„. В этом смысле изменяется состояние нашей подсистемы, Энергия подсистемы равна (99,1) з = еьлв, 440 стлтистичвскив влспгвдвлвния в квлнтовой статистики [гл. хш где и„ вЂ” число частиц в подсистеме.
Эта величина е изменяется вместе с иаменением па. Для того чтобы полностью характеризовать состояние выбранной нами полсистемы, нужно знать срелнее число частиц в подсистеме, т. е. среднее число частиц, находящихся на выбранном нами уровне энергии. Для вычисления можно воспользоваться обшей формулой (05,11), дающей среднее число частиц в подсистеме с переменным числом частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
