Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Расчет показывает, что величина, наиболее удобная лля характеристики флуктуаций в контуре— средняя квалратичная амплитуда флуктуационного напряжения в контуре, равна Гс, тле а — собственная частота, Я = — ь — — добротность контура, с 1., Я и С вЂ е самоинлукция, омическое сопротивление и Юмкость. Для того чтобы представить себе порядок величин, вычислим г Е~ при и =500мгл, С= 10 мкф и добротности ьг= 100, (о= 10 жа: УЕ~= 1,2 ° 10 в.
Это напряжение может быть, впрочем, существенно снижено уменьшением дробового эффекта. Однако наряду с дробовым эффектом в цепи всегла существует второй источник флуктуационного фона. Именно, тепловое хаотическое движение электронов внутри прозолников сопровождается соответствующим переносом зараза и появлением беспорялочио изменяющегося по величине и направлению тока в цепи. Действительно, в среднем в отсутствие внешнего напряжения средний ток равен нулю.
Число электронов, движущихся в обоих направлениях линейного проводника, одинаково. Однако в порядке флуктуации число электронов, движущихся в одну сторону, может оказаться большим, чем в другую; тогда в цепи возникнет флуктуационный ток. Рассмотрим цепь, состоящую из лвух олинаковых по величине сопротивлений Й, соединянных двумя линейными проводниками длиной 1, обладающими самоиидукцией / и Юмкостью С на единицу длины, но с малыми омическими сопротивлениями. Если в одном из сопротивлений возникнет флуктуационная э.д.с. $, то в цепи пойдэт ток т'= †. Во втором проводнике будет рассеиваться мощность, $ 2т ' равная Р 2гс = — .
Если, наоборот, флуктуационная э. д. с. воз$з 2л ' никает во втором сопротивлении и оба сопротивления имеют равные ~гл. ~х 316 твогкя Флуктулцнй температуры, то такая же мощность выделяется в первом сопротивлении. В противном случае в результате флуктуации возникло бы систематическое выделение тепла в одном нз проводников, что противоречило бы второму началу термодинамики. Таким образом, выделяющаяся мощность не может зависеть от природы сопротивлений илн конструкции цепи. Этот вывод легко обобщить также на величину мощности, которая выделяется током данной частоты, Универсальный характер закономерностей позволяет определить мощность, выделяемую флуктуационнымн э.
д. с. в специально подобранном простом случае. Именно, предположим, что вмкость и само- Гь индукция подобраны так, чтобы выполнялось равенство ~г — 1= 1с. Г с' Тогда цепь, изображенная на рнс. 44, будет обладать комплексным Рис. 44. сопротивлением, равномерно распределенным по всей длине, и возникающие в результате появления флуктуационных э. д. с. электромагнитные волны не будут испытывать отражения в местах включения омическнх сопротивлений. При равновесном состоянии системы, как целого, в первом омическом сопротивлении будут возникать флуктуационные э. д.с.; они вызовут в контуре электромагнитные волны, энергия которых рассеется во втором сопротивлении.
Аналогично флуктуационные э. д. с. во втором омнческом сопротивлении создадут поток электромагнитной энергии, рассеивающейся в первом сопротивлении. , Предположим, что в системе установилось состояние статистического равновесия при температуре Т, и отключим соединительные линии от проводников (например, разомкнув зажимы К).
Электромагнитные волны в соединительной линии, возбужденные флуктуационными э. д. с., теперь не смогут проходить в сопротивления н образуют систему стоячих волн в каждой из соединительных линий. Если длина линии 1, то при полном отражении от ев концов в линии возникнут такие стоячие волны, длина полуволны которых — уклал„ 2 дывается на длине линии целое число рав, т. е. — и, л„ ' 2 где и — целое число, й 64! влияние елвктвлций нл чувствительность пеивоеов 3!7 Частота стоячих волн » равна соответственно оо оол Х 21' где ое †скорос распространения волн в линии. Число стоячих волн, частота которых лежит в интервале », »+й», равно а'(») о» = — о».
21 оо При большом 1 число волн велико. С полным набором стоячих волн в линии можно сопоставить набор осцилляторов точно так же, как мы это делали для упругих стоячих волн в кристалле. Различие состоит лишь в том, что в рассматриваемом здесь случае задача является одномерной. При высокой температуре имеет место закон равнораспределения и каждый осциллятор обладает энергией НТ. Поэтому совокупность электромагнитных волн, частота которых лежит в интервале », » + й», имеет энергию 21ЛГ и (») й» = — д». ов Половина этой энергии послана в линию флуктуационными э.д.с., возникающими в каждом из сопротивлений.
В стационарном достоянии, когда линия соединена с сопротивлениями, они посылают в линию поток электромагнитной энергии, проходящий без отражения от одного сопротивления к другому за время — и равный и(»)о». Поэтому за ! сек. в линию входит мощоо ность Р (») о» = и (») — ~ й» = 2НТо». Эта мощность рассеивается в обоих сопротивлениях в течение 1 сек. Рассеиваемая в омических сопротивлениях мощность может быть выражена через флуктуационную э. д.
с. с помощью очевидного соотношения Р (») й» = Р ° 2й(») = — й», 211(») где $ (») — флуктуационная э. д. с., отнесенная к данной частоте (плотность э. д. с.), и 1с(») — соответствующее сопротивление. Сравнивая оба выражения для Р(»), получим соотношение $э (») = 4И ТК (»), именуемое формулой Нойквисто. Хотя формула Найквиста была выведена для весьма специализированной модели, в действительности она, как это отмечалось выше, имеет вполне общий характер. таовия Флуктуаций ~гл. ~х Для случая, когда сопротивление можно считать не зависящим от частоты, формула Найквиста упрощается: ФА (А) = 4й ТГт.
Формула Найквиста показывает, что флуктуационная э. д. с. пропорциональна температуре проводника, а также его сопротивлению. Она не зависит, однако, от его природы, конструкции цепи и т. п. При квазистационарных токах флуктуационную э. д. с. можно рассматривать наряду с другими э. д. с., имеющимися в цепи. В обычных условиях дробовой эффект приводит к большим флуктуационным токам, чем эффект теплового движения. Если, однако, приняты меры к подавлению дробового эффекта, то второй эффект, становится основным.
Именно он ограничивает в конечном итоге чувствительность современных радиоприемных устройств. Регистрация сигналов, лежащих ниже фона, осуществляется путйм многократных измерений. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ !Х 69. Тело с массой т, находящееся в среде, приходит в движение, черпая энергию из окружающей среды. Вычислить среднюю скорость тела и убыль энтропии, возникающую при движении тела со скоростью ш Р е ш е и н е. работа, которую нужно было бы произвести над телом для тпэ того, чтобы сообщить ему кинетическую энергию —, равна 2 Дйг=ЕААА= 2 Вероятность данной скорости Анв ААТ средняя скорость Убыль энтропии уб.
Коллоидные частицы в рве~воре благодаря броуновскому движению не оседают, а образуют взвешенную систему, Найти убыль энтропии системы, возникшощую прн подъеме коллондных частиц, совершающих работу против силы тяжести за счаг энергии теплового движения среды. Решение. Средняя работа подъема против силы тяжести равна МЛТ. Поскольку среда и частицы вмесге образуют замкнутую систему, этз работа равна убыли энергии теплового двшиения среды. Убыль энтропии равна АГЛ. 71. Найги убыль энтропии, возникающую при самопроизвольных колебаниях математического маязннка. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ !Х ДВ' Р е ш е н и е.
Убыль знтропии ЬВ = — —. Т 1 При малых углах отклонения Ь)ТГ= — тЕГуз, где в — угол отклонения 2 от вертикали. шатра 2Т 72. Вычислить флуктуации ввергни системы с двумя уровнями при Т- О. Р е ш е н и е. На основании (40,7) и (40,8) при Т- О имеем: Ре Е Ю( — т)ДТ е ЮО га С АУЯ~( т") Согласно (88,4) йучСГ (йа)з — — ° — ° е Еа АГ'ь,' 73. Найти вероятность флуктуации давления в однородной системе, находящейся в среде, и доказать, что для устойчивости состояний системы необходимо выполнение неравенства (~") <о.
Р е ш е н и е. Работа образования флуктуации, отвечающей изменению давления от ра до р (при постоянной энтропии) равна ЬВ'= ДЕ+Род('. Разлагая ДЕ в ряд по степеням ЬЪ; находим Аналогичным образом можно найти вероятность флуктуации знтропии в тех зке условиях и доказать, что для устойчивости состояний системы необходимо выполнение неравенства С„> б. гллвл х СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМ ЧИСЛОМ ЧАСТИП ф 65.
Статистическое распределение в системах с переменным числом частиц Рассматривая в 5 17 взаимодействие подсистемы с окружающими ев телами (термостатом), мы предполагали, что это взаимодействие состоит только в обмене энергией. В действительности, однако„ очень часто взаимодействие подсистемы с окружением не сводится к одному обмену энергией, но включает также и обмен частицами. В процессе взаимодействия частицы уходят из подсистемы или проходят з нее из окружения, унося или принося при этом соответствующее количество энергии.
Обмен энергией и частицами идет одновременно. В этом случае переменной является не только энергия, но и число частиц, имеющихся в система. Для того чтобы характеризовать состояние системы, недостаточно указать полную энергию системы, но необходимо также указать, сколько частиц в ней содержится.
Благодаря взаимодействию с окружением выделенная подсистема может побывать в различных квантовых состояниях, отличающихся при этом числом частиц, содержащихся в системе. Прежде чем перейти к выводу статистического распределения для этого случзя, приведзм некоторые примеры подсистем с переменным числом частиц. Представим себе, что наша подсистема представляет макроскопическую каплю или кристалл, находящийся в равновесии с паром или расплавом соответственно. Последние играют роль окружения (термостата). Молекулы с поверхности жидкости переходит в пар, а молекулы из пара конденсируются на поверхности жидкости. То же происходит с молекулами на поверхности кристалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
