Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Вычислим эту величину. Для того чтобы зеркальце «случайно», т. е. под действием молекулярного теплового движения, отклонилось от равновесного положения ю = О на некоторый угол гу, необходимо, чтобы была произведена работа против упругих сил нити. Эта работа производится за счйт энергии теплового движения. Роль параметра, определяющего отклонение системы от положения равновесия, играет уголь.
Вероятность отклонения системы от равновесного положения о = О на угол а определяется формулой (69,6), в которой в качестве потенциальной энергии будет потенциальная энергия кручения нити. При малых углах поворота 641 ВЛИЯНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПРИБОРОВ 311 Средняя потенциальная энергия по закону равномерного распределе- ЛТ ния равна —. Поэтому среднее изменение длины пружины равно 2 ГЛТ У (цх)э = 1г (64,3) Измерение массы гн на весах возможно, если вызываемое ею растяжение пружины больше, чем флуктуация длины нити Ъ (бх)В.
Растяжение пружины грузом т равно бх= —. Поэтому предельно малг~ лая масса, которая может быть найдена при однократном измерении, равна я, г= 1глТБ ш= — 1' (Ьх)~ = Х Газовый термометр. Предположим, что мы измеряем температуру с помощью газового термометра, наполненного идеальным Этот результат имеет простой смысл: средняя потенциальная энергии нашей системы с одной степенью свободы равна — ТЯ ЛТ 2 2 (64,2) в соответствии с законом о равномерном распределении. При Т= 300' и а = 10 В (очень тонкая кварцевая нить) имеем У ФВ = 2 10 Эта величина определяет угол, на который в среднем поворачивается зеркальце «само по себе».
Если измеряемая по отклонению зеркальца величина вызывает поворот на меньший угол, то при однократном измерении мы не знаем, что именно регистрируется — собственное или Вынужденное отклонение. Ясно, однако, что при отсутствии систематической отклоняющей силы среднее отклонение зеркальца будет равно нулю, а при наличии такой силы зеркальце будет испытывать колебания около смещвниого положения равновесия.
Производя многократные измерения колебаний зеркальца, можно найти, около какого среднего положения происходят эти колебания. Тем самым можно определить величину, значения которой лежат ниже теплового фона или чувствительности при однократном измерении. П р у ж и н н ы е в е с ы. Совершенно аналогичные результаты могут быть получены для пружинных весов. Флуктуации давления окружающего воздуха и тепловое движение механизма весов будут приводить к тому, что нагрузка весов будет хаотически изменяться. Обозначим через наш изменение нагрузки весов. Это изменение нагрузки будет компенсироваться квазиупругой силой к бх. Изменение потенциальной энергии системы при смещении на дх равно В (дх)з л= ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ 1гл. ~х газом.
Температура, измеряемая термометром, не будет оставаться постоянной, а будет непрерывно испытывать флуктуации так же, как и другие термодинамические величины. В идеальном газе флуктуация температуры может быть легко выражена через флуктуацию объвма. Из уравнения Клапейрона следует: где через Ь Т и й1г обозначены малые изменения температуры и объвма. Если понимать под малыми изменениями объЕма изменения его вследствие флуктуаций, то можно написать: так что — Т йт='У'втуз = =.
уУ' С помощью газового термометра нельзя измерять изменения температуры, меньшие,чем бТ. Если термометр содержит всего!О моля газа (т. е. Объвм его 0,02 л), то М= б ° 10+аз ° 10 ~= 6 ° 10+'~, так что минимальное измеримое изменение температуры ЬТ вЂ” 10 зТ. Оно является столь малым, что все реально измеряемые изменения температуры чрезвычайно велики по сравнению с пределом чувствительности.
Таким образом, чувствительность газового термометра практически не ограничивается изменениями температуры. Приведзнные примеры показывают, что влияние флуктуаций на чувствительность приборов широко изменяется в зависимости от характера прибора. Электрические флуктуации в радиоаппаратуре. Электрические флуктуации в радиоаппаратуре имеют огромное значение в современной радиотехнике. В отсутствии внешних помех в приамной радиоаппаратуре наблюдается всем знакомый шумовой «фон».
Интенсивность фона зависит от конструкции аппаратуры, но не может быть снижена до нуля. Совершенно очевидно, что «фон» кладат предел чувствительности приамной аппаратуры: интенсивность принимаемого сигнала должна быть выше, чем интенсивность фона в призмнике, Выло выяснено, что фон в приемнике обусловлен наложением двух независимых флуктуационных эффектов.
Мы разбервм их последовательно. Первый флуктуационный эффект получил название дробового зфр.'акта. Дробовой эффект предста- $641 влиянии элзктялций на чхвствитвльность пвивовов 313 Р (Е+сИ) = Р„с(Г)Рс+ Рч(Г) (1 — Рх) Первое слагаемое представляет произведение вероятности вылета (и†1) частицы за время г на вероятность вылета одной частицы за время схс. Второе слагаемое представляет произведение вероятностей того, что и частиц вылетит за время А а за время Ж не вылетит ни одной частицы. Аналогично вероятность того, что за время 1+ Ю не вылетит ни одной частицы, равна Р (Г+схГ) = Р (Г)(1 — Р). Разлагая Р„(1+с11) в ряд, имеем с точностью до величины второго порядка малости: Л [Р (с) Р (с)1, (64,4) (64,6) Формула (64,4) определяет бесконечную систему уравнений, отвечающую я=1, 2, 3,... Начальным условием служит 1 в=О, Рсс(б) б > б (64,6) Решением (64,4), удовлетворяющим уравнению (64,6) и начальному условию (64,6), служит: Р (Г) "')" а-хс л! (64,7) вляет собой флуктуацию величины анодного тока, обусловленную флуктуациями числа электронов, вылетающих из накаленного катода.
Электроны покидают катод независимо друг от друга в случайные моменты времени. Пусть в единицу времени с единицы поверхности катода вылетает из электронов. Статистический характер процесса обусловливает существование флуктуации числа вылетающих электронов. йля нахождения этой флуктуации следует рассмотреть вылет независимых частиц с поверхности катода. Предположим, что вероятность вылета одного электрона за время хтГ равна Рс=Лйг.
Вероятность того, что за время сгс не вылетит ни одного электрона, равна (1 — Р,). Вероятность того, что за бесконечно малое время ххг вылетит два и более электрона, представляет величину второго порядка малости. Обозначим, далее, через Р (Г) вероятность вылета п частиц за время с. Тогда вероятность того, что за время между с и г+ схг вылетит и частиц, Р„(1+В), равна (при и > 0) [гл.
!х тзогия злтктхлций 314 (> г)и-1 п =,'5' пР„(Г) = е-ы (ЛГ) . ~~)' и=г =е ы(Л1) ее=Лг. Поэтому можно написать: Р„(1) = — е-". (л) и! (64,8) средней квадратичной флуктуации напишем: й ~т (и) и;, 'кт (и) ((и — 1)+1] .йе (и — 1)! ~~1 (и — 11! и=1 п=1 и и-г — ъч (и) — —, г~ (и) = е-" у +е "° (и)я у — = п+ (п)'-, .уз(и — 1)! ' 2Е (и — 2)! Для нахождения пз= '))',пв р откуда пв — (п)в = п = пег. (64,9) Флуктуациям числа вылетевших частиц отвечает флуктуация плотности тока У = пое, равная —.
ез((аи)з езп е'е (ду)з = гз гз (64, 10) Квадратичная флуктуация тока, обусловленная дробовым эффектом, пропорциональна среднему току, а также зависит от заряда электрона и промежутка времени, в течение которого измеряется ток. При увеличении последнего происходит сглаживание тока, так что в пределе Г-+со, (М)~-+ О. Разумеется, в формуле (64,10) нельзя устремить Г к нулю, так как в ходе вывода мы, по существу, предполагали, что Г велико по сравнению с временем пролета электрона в лампе. Существенной особенностью формулы (64,10) является наличие в ней заряда электрона.
Именно, благодаря конечному значению заряда электрона и беспорядочному вылету отдельных электронов картина выхода тока может быть уподцблена вылету отдельных частиц-дробинок с поверхности наказанного катода (отсюда и название †дробов эффект). Поскольку средний ток быстро растят с температурой (см. 9 104), значение дробового эффекта возрастает с увеличением температуры накала, Формула (64,7), определяющая вероятность того. что за время г из металла вылетит независимо друг от друга п электронов, представляет распределение Пуассона. Найдем среднее число частиц„вылетающих за время Г.
По определению, $ 64] влиянии эляктялций нл чявствительность пзивовов 315 Вычисленное выше значение флуктуации тока хорошо согласуется с опытными данными при работе лампы в режиме насыщения. Наличие объюмных зарялов, влияющих на время пролЮта электронов, резко снижает дробовой эффект. Благодаря этому флуктуации тока, обусловленные дробовым эффектом, удаЮтся существенно уменьшить путЮм подбора соответствующего режима работы ламп и целесообразной их конструкции. Можно показать, что если лампа включена в колебательный контур, то флуктуации аниного токз в лампе будут вызывать флуктуации тока и напряжения в контуре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
