Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 61
Текст из файла (страница 61)
(59,2) Но в силу нашего предположения о медленности изменения макроскопических параметров для ЬЯ' можно написать обычное равновесное выражение Ьу ЬЕ +Ров у' — Лгу (59,3) где уо и ро†равновесные температура и давление системы (равные соответствующим величинам термостата), Е' и Ъ" †энерг и объем подсистемы.
(В последней формуле ясно видно, что Ь|У"' представляет работу, совершенную внешним источником, но не термостатом.) Далее, ЬЯ— Т Но в силу замкнутости системы (термостат+ подсистема) полный объвм системы остается постоянным, так что Ь) о Закон сохранения энергии дает: ЬЕ'+ ЬЕо —— О. Поэтому Т Ь гг'(А) То (59,4) Подставляя (59,4) в (59,2), находим: А ГРСО о(тв = сопз1. е Ато ИЛ. (59,5) ЬЮ" = и (Л) — И (Л ) = и (А), Таким образом, в самом общем случае можно сказать, что мерой вероятности малых флуктуаций в макроскопической системе является та работа, которую нужно над нею совершить для изменения параметра Л, характеризующего состояние системы, на величину ЬЛ. Это не означает, однако, что система может испытывать флуктуацню только тогда, когда над ней производится реальная работа извне.
Это особенно ясно видно на примере замкнутой системы, над которой вообще не совершается никакой работы. Работа Ь1у* является лишь количественной характеристикой флуктуации. Работу ЬЮможно представить как изменение потенциальной энергии при перемещении системы в некотором воображаемом (а иногда и реальном) поле сил. Обозначая потенциал этого поля сил через и (Л), имеем: (гл.
)х ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ если и (Ло) выбрать за уровень отсчвта потенциальной энергии. При этом формулу (59,5) можно написать в виде о(м г7тв = сопя(. е нт дЛ = п)(Л) дЛ. (59,6) Мы приходим, таким образом, к формуле, являющейся аналогом формулы Больцмана. В дальнейшем мы увидим, что эта аналогия имеет вполне ясный смысл. Для вычисления вероятности флуктуации по формулам (59,5) или (59,6) чужно в каждом отдельном случае найти работу или изменение потенциальной энергии в процессе флуктуации.
Прн этом в силу малости флуктуаций выражение для и (А) можно разложить в ряд по степенЯм малого паРаметРа (Л вЂ” Ао) и огРаничитьсЯ пеРвыми членами разложения: и (Л) = и'(Ло) () — Ло)+ и" (Ао) + где штрихами обозначены производные по Л. В состоянии равновесия потенциальная энергия поля должна иметь минимум, так что и'(Ло) = О и и" (Ао) ) О. Поэтому распределение вероятностей (59,6) можно представить в виде о" Я,)1).-)»)~ дтв = сопя). е ант о(Л. (59,7) Распределение вероятностей (59,7) носит название распределения Гаусса.
Значение постоянной и" (Л ) зависит от природы того реального или фиктивного поля сил, в котором происходит «перемещение» системы .из положения Ло в положение Л. С помощью распределения вероятностей малых флуктуаций (59,7) можно найти среднее значение флуктуации параметра Л: «о„)ц ),)а Ьз=(А — Ло)о= сопз1. ~(Л вЂ” Ло)зе»нт о(Л. Постоянная в (59,7) определяется условием нормирования 1 нт, ло Таким образом, «1шц н„)» (Л Ло)о е нт„ин )АЗ (59,8) ь" ц ) П-н„)з е янт. иЛ Флуктуации параметра Л происходят в обе стороны от значения его в равновесном состоянии. Поскольку подинтегральная функция в ин- 9 601 вгояновскоз движвние тегралах в числителе и знаменателе выражения (59,8) быстро убы- вает с увеличением абсолютной величины разности (л — л ), интегри- рование можно вести в пределах от †до +со, аналогично тому, как это делалось нами при нормировании распределения Максвелла.
Итак, окончательно, СО и" П О 6-Л„)» (Л- Ло)а е '"т. НЛ ь пзп ~„в л' (х,)' а Яьт лЛ С помощью формулы (59,9) распределение вероятностей (59,7) можно написать в виде д-1„м 1 сати = е зь' ~Л. г' 2ль~ Вероятность данной флуктуации резко уменьшается с ростом ей величины, а также с уменьшением Дв.
Последняя величина пропорциональна абсолютной температуре. Поэтому можно утверждать, что интенсивность флуктуаций уменьшается с падением температуры (см.,однако, 9 63). В следующих параграфах найденные общие соотношения будут применены к конкретным случаям малых флуктуаций в макроскопических системах. $60. Броуновское движение В качестве первого случая.
когда явления флуктуации оказываются легко доступными наблюдению, рассмотрим так называемое броуновское движение. Броуновским движением называют наблюдающееся под микроскопом непрерывное хаотическое движение малых частиц, взвешенных в в<идкости или в газе. Первоначально броуновское движение было открыто у микроскопических растительных организмов, но затем было установлено, что оно никоим образом не является характерной особенностью живых организмов, а наблюдается в равной мере и у мелких неорганических частиц.
Всз попытки объяснить броуновское движение неравномерным освещением или нагреванием, химическими или электрическими явлениями и так далее были последовательно опровергнуты экспериментальными исследованиями. Было установлено, что броуновское движение может продолжаться неопределвнно долгое время без какого бы то ни было затухания или ослабления. Частицы, участвующие в броуновском движении, описывают совершенно беспорядочные траектории, причйм характер движения не зависит от химической природы частиц н внешних условий, в которых находится среда (механических сотрясений, освещения или темноты, наличия или отсутствия кипения жидкости и т.
п.). 288 1гл. «х тзогия ФлуктуАций Интенсивность броуновского движения оказывается тем большей, чем меньше размеры взвешенных частиц и чем выше температура среды. Кроме того, она уменьшается с повышением вязкости среды и резко снижается у очень вязких жидкостей типа глицерина. Совокупность экспериментальных фактов указывает на то, что движущей силой, обусловливающей броуновское движение, является внутренняя тепловая энергия среды. При наблюдении броуновского движения под микроскопом создаатся впечатление, что оно ничем не отличается от хаотического теплового движения молекул з жидкости. Однако попытка непосредственного отождествления броуновского движения с молекулярным движением сразу сталкивается со следующей трудностью: закон равномерного распределения энергии, заведомо применяемый к поступательному движению частицы при высоких температурах, требует, чтобы средняя энергия теплового движения иоз 3 частицы с массой р, —, была равна —,лТ.
Таким образом, сред- 2 2 няя квадратичная скорость частицы с массой 14 = 2,6 10 ' г при температуре Т= 300'К должна быть порядка У т«а Ю 8 см/сек. Непосредственные же измерения приводят к значениям скорости порядка 10 4 СЛ4«СЕК. Таким образом, попытка непосредственной интерпретации броуновского движения как движения молекулярного должна быть признана безнадежной. Полная количественная теория броуновского движения, не только объяснившая его природу, но и позволившая предсказать ряд его характерных особенностей, была развита в работах Эйнштейна и Смолуховского (1905 †19 гг.). Исследования броуновского движения сыграли важнейшую роль в торжестве молекулярно-кинетической теории, поскольку именно броуновское движение было первым физическим процессом, в котором существование молекул обнаруживалось самым непосредственным и наглядным образом.
Значение и важность теории броуновского движения отнюдь не ограничиваются историческим интересом. Напротив, именно в сравнительно недавнее время ряд случаев броуновского движения приобрел особую актуальность в связи с созданием новых, весьма точных измерительных приборов (см. $ 64). Переходя к разбору теории броуновского движения, рассмотрим макроскопическую частицу, взвешенную в объеме «кидкости или газа, и попытаемся найти силы, действующие на ней со стороны молекул среды.
Молекулы среды находятся в непрерывном тепловом движении. Поэтому о поверхность частицы будут непрерывно ударять молекулы жидкости или газа, в который погружена частица, и передавать ей при каждом ударе соответствующий импульс. Иными словами, молекулы среды будут оказывать давление на поверхность частицы.
Удары молекул о поверхность частицы происходят совершенно беспорядочно, со всех сторон. Если размеры поверхности частицы достаточно велики, 9 60! ввояновсков двнжвниа 289 так что за очень короткий промежуток времени о ней ударяет большое число молекул, то можно считать, что импульсы, передаваемые частице со всех сторон, в среднем уравновешиваются.
Молекулы среды оказывают равномерное давление со всех сторон на частицу, и она должна оставаться неподвижной. Иначе дело обстоит в случае очень малых частиц (размером порядка 10 4 гм). Такие частицы содержат ещй огромное число молекул и являются макроскопическими телами. Тем не менее, поверхность таких частиц столь мала, что за короткое время она получает сравнительно малое количество молекулярных толчков. При этом нельзя считать, что импульс, получаемый частицей в одном направлении, в каждый момент уравновешивается импульсом, получаемым в другом направлении.
Равнодействующая сил, действующих со стороны молекул среды на поверхность частицы, оказывается отличной от нуля. Она будет непрерывно изменяться по величине и по направлению. В результате частица придет в беспорядочное движение, направление и скорость которого будет изменяться с очень большой частотой (порядка 10'з раз в секунду). Разумеется, каждое из этих продвижений или дрожаний частицы заметить под микроскопом и зафиксировать невозможно.
Тем не менее, благодаря случайному преобладанию про- движений в одном из направлений наложение большого числа мелких продвижений будет приводить к заметным смещениям частицы. Характер этих смещений передает рис. 43, на котором представлено положение частицы, фиксированное каждые 30 сек.
Сторона клетки отвечает расстоянию 3 10 " см. Нужно ещй раз подчеркнуть, что прямолинейные отрезки, соединяющие раз- личные положения частицы, являются совершенно произвольными и не харакРис. 43. теризуют реальных траекторий частицы. Каждый из них представляет результат наложения около 6 10'" перемещений; в соответствующем масштабе этот отрезок оказался бы еще более сложной и запутанной кривой, чем вся картина на рнс. 43. Мы видим, таким образом, что броуновское движение обусловлено флуктуациями давления, оказываемого молекулами среды на взвешенную в ней частицу. Хотя еа движение непосредственно не является молекулярным движением, оно служит своего рода индикатором молекулярного движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
