Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Бели бы кристалл имел бесконечные размеры и содержал бесконечно большое число атомов, число возможных частот или осцилляторов также было бы бесконечным. В действительности, однако, оно равно ЗМ. Поэтому мы можем написать: З7а =~а(.а), (54,7) где суммирование ведвтся по всем возможным частотам. Внд функции а(а) установлен нами в области длинных воли или малых частот, в которой еа можно считать непрерывной функцией аргумента а, даваемой формулой (54,6). Однако в области высоких частот вид спектральной функции неизвестен и зависит от конкретной структуры данного кристалла. Дебаем был предложен метод вычисления термодинамических функций кристаллов, который, по существу, основан на некоторой интерполяции.
Именно, спектральная функция я(а) считается имеющей вид (54,6) во всей области частот, и во всей области частот суммирование заменяется интегрированием. Однако интегрирование ведется до некоторой предельной частоты ам, , которая выражается через число частиц в кристалле с помощью условия (54,7). Таким образом, спектральная функция л(а) считается имеющей вид 4яУ ~ — + — а) а ч «( амак; (;) /1 21 „() (4 ~7 ! О а ) амыы ° Это дает: 'мак: а ЗдГ= ~ 4кУ~ — + — )аяйа= 4кУ~ — + — ) — ', (54,9) а са са са ' са 3 а (54,8) где множитель 2 появляется вследствие того, что в упругой среде имеется две поперечные волны с одной и той же частотой а,.
Пол- ное число упругих волн, частота которых лежит между ч и а+Фа, очевидно, равно $55! ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЙ КРИСТАЛЛА откуда 9 М г!всв У (54, 10) Наибольшая, или предельная, частота вы,„оказывается зависящей только от измеряемых на опыте величин †скорост звука с, и сн ы и пропорциональна плотности кристалла ~ †) ~ ).
Введение такой «усечзнной» спектральной функции (54,8) приводит к вь!ражениям для термодинамических функций, которые в предельных случаях низких и высоких температур превращаются в точные выражения, а в области промежуточных температур имеют характер интерполяционных формул. С помощью выражения для предельной частоты а,„,в, определЕнной по формуле (54,10), можно переписать спектральную функцию л (а) в более компактном виде: й(а) = — „° тагЬ. 9М ыако (54,11) 9 55. Функция состояний кристалла (55,1) где к. †функц состояний кристалла и ля †функц состояний отдельного й-го осциллятора.
Необходимо подчеркнуть, что осциллятор не является отдельным атомом, а характеризует определенное колебание всего кристалла, как целого. Поэтому в (55,1) не следует производить деление на М!, как это нуя!Но было бы сделать в случае системы из М одинаковых независимых частиц. Функция состоЯний квантового осциллЯтоРа гл была вычислена нами в 9 43. Логарифмируя (55,1) и подставляя в него (43,2), находим: ь„ вн вн аат 1п л = ~ !и яь = ) 1п л=! А=а ьт) ~! — е (55,2) !8 Зак.
!6Ю. В. Г. Лава» В предыдущих параграфах мы установили, что тепловое движение в кристалле, содержащем М атомов, описывается набором из ЗМ независимых осцилляторов, частоты которых лежат между нулем и в„,„а. Чтобы найти функцию состояний всего кристалла, нужно найти функцию состояний системы, состоящей из ЗМ независимых осцилляторов. Поскольку осцилляторы являются независимыми, мы можем, очевидно, нагисать эту функцию в виде произведения функций состояния всех осцилляторов, т.
е. вн 274 [гл. Р444 КРИСТАЛЛЫ Аа в 1п.5 = ~ 1п „, й(о) 4(о = о (1 от) а „ 4 ~а«о 2ат Мамо о мако о Для вычисления интегралов в формуле (55,3) введем новую переменную х=— ла ЛТ (55,4) н характеристическую температуру кристалла Е,: аналогичную характеристической температуре, введенной в $43. Тогда получим: во/т 1п ~ — ' — 95/~ — ) ~ хз 1п (1 — е- ) 4/х. (55,5) 9Д/Е, /т ' ' ат (е,) „ о Вычисление последнего интеграла может быть проведено только в случае низких и высоких температур.
Под иизкилви температурами мы будем понимать температуры, значительно более низкие, чем характеристическая температура кристалла Е . При Т((/во предел в интеграле можно заменить на бесконечный, поскольку подинтегральная функция весьма мала при сколько-нибудь больших значениях аргумента х. Это даат: во/т о» хв1п(1 — е- ')4/х=) хз1п(1 — е- )41х. (55,б) о о Интеграл (55,6) вычислен в Приложении 1. Подставляя его значение в (55,5), имеем: (55,7) 9/4/Ео лвД// Т то [п~= о [ 8т 5 тзо) Замена предела в интеграле (55,б) на бесконечность имеет важный физический смысл. Она показывает, что при Т((Е, в кристалле возбуж- Для вычисления суммы (55,2) необходимо знать все возможные частоты оа кристалла.
Олнако, как мы указывали выше, эта задача еше не решена. Поэтому мы ограничимся приближением Дебая и заменим суммирование интегрированием по «усеченному» спектру (54,11). Это лайт: 9 56! тввмодинлмичвскив эвикции квистлллл 275 дены только колебания с малыми частотами о (т. е. существенны малые значения х). При больших частотах (больших х) подинтегральная функция обращается в нуль и соответствующие частоты не вносят никакого вклада в значение Е. Это оправдывает сделанное в предыдушем параграфе приближение — замену дискретного кристалла сплошной упругой средой, в которой возбуждены только колебания с малыми значениями ч.
При высоких температурах Т)) 0, в пределе интеграла стоит малая величина. Поэтому в подинтегральной функции х заведомо мало, и ев можно разложить в ряд по степеням. В этом случае имеем: 1п(1 — е- ) — 1п х. так что оо!т хэ! н (1 — е- ) Их — — ~ хэ !и х г(х = о о (55,8) Подставляя (55,8) в (55,5), находим: 1П Е = — ЗМ!П вЂ” '+М вЂ” — М !Л вЂ” о). 0 9 l вот т 8 '(т) (55,9) С помощью выражений (55,7) и (55,9) можно найти термодинамиче- ские функции кристалла при высоких и низких температурах. ф 56.
Термодинамические функции кристалла Вычислим прежде всего энергию и тепловмкость кристалла при низких температурах. При низких температурах (Т((0,) энергия равна Е= ИТв — = — М!вй,+ — —, (56,1) дт 8 5 бв Первый член в формуле (56.!) представляет энергию кристалла прн Т-об, т. е. нулевую энергию. Второй член показывает, что с повышением температуры энергия кристалла быстро (как Т') раствт с температурой. Теплоймкость кристалла при низкой температуре давтся формулой (56,2) !8" Теплоэмкость кристалла при низких температурах оказывается пропорциональной кубу абсолютной температуры. Характерной особенностью выражений (56,1) и (56,2) является то, что в них входит материальная константа кристалла — его характеристическая температура 8,.
Поэтому 276 (гл. чш квистлллы (56,4) при низких температурах различные кристаллы обладают разной тепловмкостью (тем меньшей, чем выше З,). При высоких температурах (Т)) ~1,) энергия и теплозмкость равны соответственно Е= лТа — чг,— — — Зй(МТ+ — Ийз,— ЗМвТ, (56,3) Ст=(дт) = ЗМй. У Как и следовало ожидать, знайения Е и Сг совпадают с полученными из закона равномерного распре~еленин энергии по степеням свободы. Они не зависят от материальнйконстант кристалла и являются универсальными величинами.
Независимость энергии и теплоемкости от материальных констант обусловлена тем, что при достаточно высоких температурах энергия кристалла оказывается не зависящей от частот колебаний, имеющихся в кристалле. Последнее обстоятельство позволяет понять, почему формулы (56,3) и (56,4) оказываются правильными, несмотря на то, что они выведены на основе заведомо неправильного допущения. Лействительно. при получении их считалось, что основную роль играют малые частоты (длинные волны), при которых дискретный кристалл может рассматриваться как сплошная упругая среда.
При Т)) Э, в кристалле наряду с низкими частотами должны быть возбуждены и высокие частоты, которые будут вносить заметный вклад в функцию состояний. Поэтому приближенный закон распределения частот (54,8) будут уже неприменим. Однако в классическом приближении, справедливом при достаточно высоких температурах, значение 2, а следовательно, и энергии кристалла, вообще не аависит ни от самих частот, ни от характерз их распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
