Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. оказывается различной для различных волн. При малых волноувл вых числах Д», т. е. при длинных волнах, гйп — можно разложить 2 У„а У„а в ряд и написать з)п — = — . В этом случае 2 2 ав — — ~/ — Уаа, о = о„= а ~~ = сопз!. (53,15) 2 531 267 Одномзгн»я модель кгист»лл» и скорость распространения 2л /х (53,17) Сравнение (53,15) и (53,17) показывает, что длинные волны распространяются с несколько большей скоростью, чем короткие, т.
е. имеет место явление дисперсии. В промежуточной области частот скорость распространения волн, определяемая формулой (53,13), зависит от волнового числа ?» или частоты м». Смешение произвольного п-го атома в цепочке дается в виде наложения смешений вида (53,10), т.
е. ".„= ~~„'~ 1„» —— ,~~Р~ А» ып (м»Г+ а) гйп (а?»п), (53,18) где суммирование ведется по всем возможным значениям волнового вектора Д». Вместо произвольной амплитуды А» введвм амплитуду Дг — 1 С» —— у — А„ 2 н обозначим Тогда имеем С» з!п (ы»Г+ а) = д», (53,19) 1„= 1, — 1~~д» з!п 1»ап. Г 2 (53,20) Если заданы значении амплитуд л», то из формулы (53,20) следует, что смещение произвольного атома в цепочке будет полностью определено.
Поэтому амплитуды д» можно рассматривать как обобщенные координаты системы. Найдем энергию всей цепочки. выраженную через обобщенные координаты д». Кинетическая энергия цепочки, очевидно. равна ?'= — — ~~) 1„'-, » 2 где суммирование ведется по всем атомам цепочки. Имеем: 2 ?я — !(Х ?'з!пЛпп) 2 кч = — у ~~су»д», з!п(?»ап) ° з!п(Г»,ал). Поэтому ?'= — ~ ~) ~~)~~~ ( ~у»р», з!п (г»ап) з!и (?»,ап). х»»' Переставляя порядок суммирования, получаем: ? = — ~~~~ ~» 1 д»р», )~~~ 3!и (?»Ол) з!и (?»,пп).
[гл. ты! 268 кгистлллы В силу свойства ортогональности синусов сумма ~, яп (/ ааи) з!и (/ а аа) п равна нулю, если только / =/=)а . Если /'=/в, то У-1 Х Ф вЂ” 1 я!п (/аап) яп (/ь ап) =— 2 Поэтому т= 2 '~~д;,. а (53,21) (/= '~~а„=- 2 У,(Еие — Е„), (53,22) где и„— потенциальная энергия и-го атома. ЛвйетзнтЕЛЬНО, СИЛа, ДЕйСтВУЮЦгав На а-й атОМ Рп, Разил Г„= — — — 2 дЕ [(Ег — Еа) + +(Еч — Е„а) + м„ в +(Е 1 Е ) + ° +(ЕУ ЕМ-г) [ = = а (Е„а+ Е +1 — 2Е ) Из (53,20) находим: Е„.,т — Е„= [// '5 г/а(яп [/аа(п+1)[ — а!п(/ааа)) = = а/ У. д„2соз 1/„ап+ — 1 а!п —.
Поступая так же, как при вычислении кинетической энергии, имеем 2 1Ч вЂ” 1 ° 4 У~ ~ У г/аг/ы соа [/лап+ 2) Х а ь ж 11, У'ьи Ума е 2 Х сов(/жал+ — ) яп — я!п — =- — ' ° — ° 4 Х 2) 2 2 2 Л/ — 1 Уьа . /ь а Х т э д д, яп — а!п —, ° г соа~/ааа+ — )сов~~лап+ — ), а~а21 лк' 2 2 А ~ 2) а и Кинетическая энергия цепочки выражается квадратичной формой производных от координат аю Найдем теперь потенциальную энергию всей цепочки. Из формулы (53,3) следует (в чам можно убедиться дифференцированием), что потенциальная энергия всего кристалла равна й' 531 одномьвнля модель кгистлллл Но для косинусов имеет место условие ортогональности: (" — ' ,~, соз (ггапл+ 2) соз (гга.пп+ 2) = 0 при й+й'. Поэтом)' (У= — ~ ~уа(2 з(п+) . Учитывая (53,11), окончательно находим: (у гп ч~~ (53,23) Таким образом„ полная энергия кристалла равна Е = 2 Х (Чй+ мьяь).
(53,24) з= — (Чз+ 'Чз)= — (Ча+.4 ''ча) (53,25) т. е. представляет энергию линейного гармонического осциллятора с массой, равной массе атома, колеблющегося с частотой чь. Энергия Е равна сумме энергий таких осцилляторов, имеющих различные частоты ч». Энергия кристалла из М атомов, совершающих связанные колебания, оказывается равной энергии М независимых гармонических осцилляторов с набором частот эв, определенных формулой (53,11). В этом смысле система из М связанно колеблющихся атомов эквивалентна набору И независимых осцилляторов с частотами тз.
Вместо того чтобы находить среднюю энергию сложной системы из И связанных атомов, мы можем искать среднюю энергию гораздо более простой эквивалентной системы набора М независимых осцилляторов. Необходимо подчеркнуть, что линейные осцилляторы с энергией, даваемой формулой (53,25), не имеют ничего общего с реальными атомами (за исключением одинаковой массы). Каждый осциллятор представляет одно из нормальных колебаний всего кристалла, как целого. В нормальном колебании кристалла участвуют все атомы, которые колеблются с одной и той же частотой чь. Совершенный нами переход от смешений 1„ к нормальным координатам д представляет обычное для волновых процессов преобра- Формула (53,24) имеет важный физический смысл: полная энергия кристалла выражается квадратичной формой, содержащей только квадраты величин йа и д (но не их произведения вида д„л ).
Поэтому величины л„являются нормальными координатами колеблющегося кристалла. Каждое слагаемое в (53,24) имеет вид 270 [гл. юп кгнотлллы зование и не связан с особенностями линейной цепочки. Возможность перехода к нормальным координатам, в которых энергия имеет вид квадратичной формы [53,24), представляет общую алгебраическую теорему. $ 64. Длинные волны в трйхмерном кристалле Тепловое движение в трехмерном кристалле имеет, в общем, такой же характер, что и в одномерной модели.
Смешение произвольного атома из положения равновесия в решвтке передается его ближайшим соседям в трах измерениях. Смешения их вызовут в свою очередь смешения других атомов, и в кристалле возникнет упругая волна, распространяющаяся в трвх измерениях. В результате отражения упругих волн от граней кристалла в последнем установится система стоячих волн. В том же приближении, что и для одномерной модели (пренебрегая третьими степенями смешений), энергию кристалла можно написать в нормальных координатах в виде ~ч-т ~ ж4аз 4юз~~~~у~~ ) [54,1) (54,2) где гы 7з и )з †т величины, характеризующие распространение волны в трах взаимно перпендикулярных направлениях. Для того чтобы выполнялось условие типа [53,5), т.
е. условие отражения упругих волн от граней кристалла, волновые числа должны где суммирование ведется по всем возможным волновым числам. Связанные колебания атомов в трехмерном кристалле эквивалентны набору ЗМ независимых линейных осцилляторов с собственными частотами ть. Определение собственных частот для трйхмерного кристалла представляет очень большие математические трудности.
Поэтому для нахождения термодинамических функций кристалла необходимо сделать дальнейшие (кроме пропорциональности сил первой степени смещений) упрощающие предположения Во-первых, при рассмотрении тепловых волн в кристалле мы ограничимся случаем длинных волн [1 ))а). Как мы видели в предыдущем параграфе, в случае длинных волн очень большие группы атомов колеблются в одной фазе и можно пренебречь дискретной атомной структурой кристалла. Точно так же в случае длинных волн в трехмерном кристалле можно отвлечься от дискретной структуры и рассматривать кристалл как сплошную упругую среду. Во-вторых, мы будем пренебрегать анизотропией кристалла и считать его изотропной упругой средой.
В изотропной упругой среде тепловые возмущения кристалла образуют систему стоячих волн, распространяющихся со скоростью авука. В трехмерной упругой среде волновое число 7 равно й 541 ЛЛИННЫЕ ВОЛНЫ Я ТРЕХМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ удовлетворять условиям: а(лг — 1) ' Ая ц(лг — 1) ' з а(л1 — 1) ' Рис. 41 4иаела 4иаздпУа ЛУ 4и Р' а ( . (54,5) а 8иа Е~1 где йы йв и лз — пелые числа. Частота длинных волн связана с волновым числом соотношением, представляющим непосредственное обобщение формулы (53,14).
В отличие от линейной модели в трвхмерной изотропной упругой среде возможно распространение трах упругих волн: одной продольной (в которой смещения происходят вдоль направления распространения волны) и двух поперечных (в которых смешения перпендикулярны к направлению распространения). Скорости распространения продольной с, и поперечных волн с, различны. Поэтому вместо (53,13) в трахмерном случае нужно написать: Ла 2ят, = с,~, 2я~, = с,~, (54,4) где Р1 и РР— частоты продольной и попе- 1У речных упругих волн.
а с, и с, †скорос продольного и поперечного звука. Для дзльнейшего нам понадобится знать число л . )и( упругих волн, частота которых лежит К в интервале между Р, и ~,+сЬ, и Р, и Р, + г(ч, соответственно. Для нахождения этого числа пользуются обычно следую. Р л Ш~ /Х щим геометрическим построением. Выбе- / рем величины йт, йя и йз за координатные осн в некотором воображаемом пространстве. На рис. 41 изображены две из трех осей этого пространства.
Поскольку все числа лы йе н йз являются существенно положительными н принимают дискретный ряд значений, возможные зна- я чення й= 'Р' й;+й.,+йе изобразятся точками, лежащими в первом положительном октанте. Число волн с частотой, лежащей между тг и >,+г(»п в силу (54,4) равно числу упругих волн с волновым числом, лежащим между У и у'+г1у. Из определения (54,3) следует, что последнее разно числу точек, у которых й лежит между Й и й+Нй. Иными словами, оно равно числу возможных значений Й, лежащих в шаровом слое между шаровыми поверхностями с радиусами й н л+Ий, проведенными в первом октанте.
При больших М числа йы й н й можно считать изменяющимися почти непрерывно. Соответственно точки, изображающие на рис. 41 возможные значения, заполняют плоскость почти непрерывным образом. При этом согласно (54,3) н (54.4) число волн с частотой между Р, и «,=Фй разно 272 [ГЛ. РЩ КРИСТАЛЛЫ Мы заменили (аЯа на объем кристалла Р'. Для числа поперечных волн с частотой между аа и аа+йаа аналогично находим: 4гУ а с (аа) сна —— 2 ° — ", ма (Ьа, са й(.) да = 4яЧ(' —,+ —,1' аа 1.. А1 2аа са~ с', (54,6) 11оскольку каждой волне с частотой м» мы сопоставляли осциллятор, колеблющийся с той же частотой, вычисленная нами величина а(а)с(» представляет число осцилляторов, частота которых лежит между а и ч+г)а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
