Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В Заметим в связи е этим, что, как показывает расчет, кристалл, у като. рого силы были бы точно пропорциональны смещениям, имел бы козффийивнт теплового расширепня, равный нулю, 261 задачи к ГлАВе тчп ЗА)(АЧИ К ГЛАВЕ ЧП1 66. Построить термодинамические величины (знергию, теплобмкость) «одномерного» кристалла линейной цепочки атомов длиной 5, используя тот же метод, что и в случае трехмерного кристалла. Решение. Согласно (55,3) чмскс Ьч тат !и е = ~ !и „° Л(ч) т». о 1 ат ь' Число волн, укладывающихся на длине Е, равно —.
Число стоячих волн, Л!2 ' длина которых лежит между Л и Л+о(Л, равно ~(Л) аЛ= —.,- (Л. 25 Пренебрегая дисперсией, положим: оо Л= —, ч Тогда А!мз ЯТз Илес с Оо 4 откуда с — с„т. в 66. Найти число состояний твврдого тела с данной средней внергией й При Т (( В,. Решение. С помощью (29,11) и (56,5) получаем: Р(Е)=еь = Р(~~ А!(в ) ~. у(ч) (уч = — туч, ~ у(ч) йч= — чк „-— Ф. 25 Т 2Е оо мсмс о Мд~„о А( — — — — !п(1 — е лт) Ич = 4мт о э„т А! Вс Т = — — — "' — А! — ° ~ !и (1 — е ™) с!х.
4 т в о Прн В, '~~ Т А!В эМ т !пя= — — — с+ — —; 4 Т 6 Вс' ПРи Вс (~ Т 4 Т Вс )Т Т Т1 4 67. Показать, что при низкой температуре Т- 0 разность между Св и Ст у кристаллов становится весьма малой. Р е ш е н и е. ГЛАВА 1Х ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ ф БВ. Значение флуктуаций В предыдущем изложении мы неоднократно указывали на различие между статистическими и чисто термодннамическими представлениями о ходе тепловых процессов.
Из законов статистической физики с неизбежностью вытекает существование флуктуаций. Система, испытывающая флуктуацию, может самопроизвольно перейти из более вероятного в одно из менее вероятных состояний. При этом хол процесса является обратным тому, при котором происходит возрастание энтропии. Вероятность флуктуации в замкнутой системе может быть вычислена с помощью формулы Больцмана. Простые оценки, произвеленные с помощью этой формулы, а также общие соображения, изложенные в В 34, показывают, что вероятность сколько-нибудь заметных флуктуаций в системе, содержащей большое число частиц, чрезвычайно мала.
Явление флуктуаций практически может наблюдаться в двух случаях: 1) когда размеры системы достаточно малы; в этом случае флуктуации булут происходить часто и масштаб их будет относительно велик; 2) когда размеры системы не малы, но фиксируются достаточно малые флуктуации. Такие малые флуктуации также будут происходить часто, но отклонение системы от состояния равновесия будет сравнительно мало.
В этой главе мы рассмотрим оба случая флуктуаций. Для того чтобы правильно оценить роль, которую сыграли исследования флуктуаций в развитии молекулярно-статистических представлений, необходимо иметь в виду, что существование флуктуаций было предсказано теоретически в то время, когда второе начало термодинамики многим казалось олной из догм в физике. Представители реакционной школы энергетиков вообще отрицали самое существование материальных атомов и молекул. Статистическая физика, в которой законы классической механики объединялись со статистическими законами, казалась внутренне противоречивой и была принята многими физиками с большим недоверием. Поэтому открытие многочисленных примеров флуктуационных процессов явилось блестящим подтверждением законов статистической физики и послужило 9 89) полттввмодинлмичвская твовия елткттлций 283 одним из важнейших моментов в окончательном утверждении молекулярной теории.
В работах Эйнштейна и Смолуховского было показано, что целый ряд давно известных физических процессов обусловлен явлениями флуктуаций, и была развита количественная теория этих процессов, оказавшаяся в прекрасном согласии с экспериментальными фактами. Лучше всего значение этих открытий можно охарактеризовать словами самого Смолуховского '): «В настоящее время мы не относимся с таким почтением, как ранее, к догмам в физике.
Произошли огромные изменения в вопросе о значении кинетической атомистнки и термодинамики. Они связаны с тем, что лишь в последнее время на основе кинетической теории удалось дать объяснение давно известным фактам — например, броуновскому движению, открытому еща в 1827 году, явлению критической опалесценции, открытому более 20 лет назад, общеизвестному факту синей окраски неба и т. д. То новое, с чем мы встречаемся в этих объяснениях и что находится в противоречии с повседневными установившимися представлениями, заключается в том, что в ннх впервые серьезно учитывается максвелловский закон распределения скоростей.
В результате в них впервые теплота рассматривается как процесс движения, тогда как раньше это представление о природе тепла считалось обычно своего рода поэтическим сравнением». Мы начнем рассмотрение процессов флуктуаций со второго случая, т. е. со случая систем, размеры которых достаточно велики, 9 89. Полутермодинамическая теория флуктуаций Рассмотрим прежде всего общую теорию малых флуктуаций, происходящих в произвольной макроскопической системе.
Рассмотрим некоторую замкнутую систему, находящуюся в состоянии статистического равновесия и имеющую энтропию 8 . Предположим теперь, что состояние системы изменяется так, что она переходит в неравновесное состояние, в котором ее энтропия равна 8. Мы будем считать, что изменение состояния системы можно характеризовать изменением некоторого внутреннего параметра 1, значение которого зависит от состояния всей системы. В состоянии равновесия параметр 1 имеет значение 1 = .", в неравновесном состоянии его апачение отлично от ! . В качестве примера параметра : "можно привести плотность р газа, находящегося в замкнутом, теплоизолированном сосуде.
В состоянии равновесия плотность постоянна по всему объему сосуда, т. е. $ = ре = сопз1. В результате флуктуации система может самопроизвольно перейти в неравновесное состояние с переменной плотностью $ = р1х). Другие примеры будут разобраны в дальнейшем. Элтропия системы будет некоторой функцией параметра 1, так что можно написать 5 = о (;). При этом в состоянии равновесия М.
8 ш о! ц с и о и з К 1, Ркуз Ез. 13, 1059 11912), 284 (гл. ~х ТЕОРИЙ ФЛУКТУАЦИЯ 5о = 3($ ). Вероятность того, что рассматриваемая замкнутая система попадйт в состояние, характеризуемое значением параметра т„ лежащим в интервале между $ и с+й, можно найти с помощью формулы Больцмана. Она, очевидно, равна Я111-ЯП„) ья т(то = сопз1.
е " д-:= сопз1. е" с(т, (59,1) где постоянная определяется условием нормирования '). Величина изменения энтропии является, очевидно, отрицательной. Приложения формулы (59,1) к конкретным случаям флуктуаций будут рассмотрены в следующем параграфе. формула (59,1) применима к флуктуациям в системе с постоянной энергией.
Очень часто, однако, приходится рассматривать флуктуации, происходящие не в замкнутой, а в квазизамкнутой системе, составляющей малую часть замкнутой системы. Такую квазизамкнутую систему можно считать некоторой подсистемой, погружйнной в термостат с постоянной температурой То. Мы будем считать, что флуктуации происходят только в подсистеме, тогда как теормостат вс6 время находится в равновесном состоянии. Состояние подсистемы будет характеризоваться значением некоторого внешнего параметра А. При переходе из равновесного в неравновесное состояние параметр Л изменяется от Л до Л, При изменении А изменяются также значения термодинамических величин, характеризующих подсистему.
Мы будем предполагать, что изменения макроскопического параметра Л происходят достаточно медленно, так что в каждый данный момент в подсистеме будет существовать равновесное статистическое распределение. При этом можно считать, что термодинамические величины в подсистеме связаны между собой обычными равновесными соотношениями. Процесс перехода нз равновесного в неравновесное состояние у подсистемы, погруженной в термостат, можно рассматривать как переход, совершающийся под действием некоторого внешнего источника работы.
При изменении параметра Л на величину ЬЛ = Л вЂ” Ло источник совершает над подсистемой работу Ь)Р'(Л). Напишем теперь выражение для вероятности того, что подсистема перейдйт в состояние со значением Л между Л и Л+дЛ, в то время как термостат останется в равновесном состоянии. Поскольку термостат и подсистема вместе составляют замкнутую систему, к ним применима формула (59,1). В ней, однако, изменение энтропии нужно написать в виде о+ где 55' — изменение энтропии подсистемы. Тогда вероятность того, что подсистема перейдбт в состояние с Л в интервале А, Л +~1Л под а) Строго говоря, постоянная в (59,1) также зависит от параметра 6 Можно, однако, показать, что в системе, содержащей достаточно большое число частим„ зависимость от $ мноакителя, стонщего перед зксионентой, нч играет роли ио сравнению с зависимостью экспоненты, 9 59) ПОЛУТЕРМОДИИАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ 286 влиянием внешнего источника работы, дабтся формулой АЗ+АЗ о(гв = сопзй е " Ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
