Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Поскольку каждый атом является трехмерным осциллятором, ел=За, где з — средняя энергия линейного квантового осциллятора, даваемая формулой (43,3). Таким образом, средняя энергия кристалла имеет вид 2 27' (52,3) а теплоемкость 3/ЯЛ / Л; !з (,лт) ь» ' (52,4) и†2ат Ход теплозмкостн, передаваемый формулой (52,4), обсуждался нами в связи с колебательной тепловмкостью молекул (Э 43).
При высоких температурах (ЙТ)) /г!) величина тепло6мкости стремится к предельному значению (52,2): Ст — 3/!/А. й 531 263 одномвеная модель кгисталла При низкой температуре в соответствии с требованием третьего начала Сг стремится к нулю по экспоиеициальиому закону: Ьч (52,5) Простейший квантовый закон качественно правильно передазт ход теплоймкости кристалла с температурой. Однако более детальное сравнение формулы (52,5) с опытными даииыми для теплозмкости показывает, что закон (52,5) не передает всех особенностей хода тепло6мкости. Теплозмкость кристаллов уменьшается с температурой не по экспоиенциальиому закону (52,5), а по стеленному закону вида Сг Тз.
Расхождение формулы (52.5) с экспериментом связано с ошибочностью предположения о независимости колебаний атомов в кристалле, которое было положено в основу ей вывода. В действительности атомы в кристалле настолько прочно связаны между собой, что ие может быть и речи об индивидуальном движении отдельного атома, не зависящем от движения остальных атомов решетки. Колебательное движение атомов в кристалле имеет коллективный характер и в нам принимают участие все атомы кристалла одновременно.
ф 53. Одномерная модель кристалла йля получения более ясного представления о характере теплового движения атомов в кристалле мы воспользуемся фиктивной моделью кристалла в виде цепочки атомов, расположенных вдоль линии на равных расстояниях друг от друга. Такую цепочку можно рассматривать как некоторый одномерный кристалл. Хотя в природе ие существует одномерных кристаллов, рассмотрение теплового движения в одномериом кристалле позволяет выяснить характер движения в реальном трехмерном кристалле. Пронумеруем атомы в цепочке так, чтобы номер а пробегал значения от и = 0 до и = М вЂ” 1 (всего в цепочке имеется М атомов).
Предположим, что иекоторый атом (иои или молекула), имеющий, скажем, номер п, выйдет из положения равновесия и сместится иа расстояние 1„ вправо или влево. Тогда он будет испытывать силы со' стороны соседних атомов — силу отталкивания со стороны того соседа, к которому он приблизился, и притяжения со стороны другого соседа. Поскольку силы межмолекулярного взаимодействия быстро убывают с расстоянием, мы можем учитывать только взаимодействие даниого атома с его двумя ближайшими соседями — атомами с номерами (п — 1) и (и+1). Уже следующие атомы с номерами (а+ 2) и (а в 2) будут взаимодействовать с рассматриваемым атомом очень слабо, так что этим взаимодействием можно пренебречь. Сила, действующая иа а-й атом со стороны каждого из двух его соседей, может быть записана в виде ди (с„) д1„ КРИСТАЛЛЫ [гл. шп где и (1„) — потенциальная энергия взаимодействия в точке 1„.
При малых смешениях потенциальную энергию и('.„) можно разложить в ряд по степеням малой величины [„и ограничиться первыми членами разложения, как это всегда делается в теории малых колебаний: "("..) =" О)+(д=') '+(=). 2'+ ди Поскольку в точке 1= О потенциальная энергия имеет минимум, ди дди в ней — = О и —, = х) О. д1 д!,', Сила д"' равна ! „= — х(и. 11ри этом предполагалось, что соседние атомы, имеющие номера (и†1) и (л +.1), оставались неподвижными в своих узлах кристаллической решЕтки.
В действительности, конечно, это не так. Смешение л-го атома приведет к смешению (и†1)-го и (л + 1)-го, причем (л+ !)-й атом под действием силы отталкивания сдвигается вправо на расстояние 1»„д, а (л — +1)-й под действием силы притяжения последует за л-м и сместится на расстояние $и д.
Поэтому расстояние между л-м атомом и его соседями изменится соответственно на (Е„>д — 6„) и (Е„ > — [ч). Прн этом на л-й атом будет действовать сила Р'„= х ('.„+д — ! в) + х ([и д — 1„) = х ('.и ьд + [и д — 2[и). (53 3) Смешение (л+ 1)-го атома приведат к смещению (л+ 2)-го, а (л — 1)-го — к смешению (л — 2)-го. Эти атомы в свою очередь будут действовать на следующих соседей, и в результате вся цепочка атомов придет в движение. Чтобы исследовать это довижение, достаточно найти движение произвольно выбранного л-го атома.
Уравнения его движения имеют вид (53,4) Мы будем считать, что нулевой и (>»' — !)-й атомь> цепочки неподвижно закреплены, так что их смещения че=$А> д = О. (53,5) разумеется, для этого предположения у нас нет никаких специальных оснований. Однако из общих положений статистической физики следует, что движение системы, состоящей из очень большого .числа частиц, не может зависеть от характера начальных и граничных условий.
Поэтому условие, налагаемое нами на два атома цепочки, содержащей !»'(при д»')) 1) атомов, не может существенно отразиться на движении всей цепочки. Если бы вместо условия (53,5) мы дЕо д(л-д ввели условия — =: = О, которые выражали бы тот факт, что дл дл $53[ 265 одномвтнля модель кРистАллА первый и последний атомы цепочки остаются свободными и сила, действующая на них, обращается в нуль, конечный результат при М)) 1 остался бы совершенно неизменным.
Как мы уже сказали, отклонение любого атома из положении равновесия приводит к появлению возмущения, распространяющегося вдоль цепочки. Это возмущение перемешается от атолла к атому до тех пор, пока оно не дойдет до последнего атома, закреплйнного на конце цепочки. Здесь возмущение не исчезнет, а отразится и побежит в противоположном направлении, к другому концу цепочки. У второго конца вновь произойдет отражение и т.
д. В цепочке атомов возникнут волны, бегущие в противоположных направлениях, наложение которых приведет к образованию стоячих волн, подобных стоячим волнам, возникающим в упругой струне с закреплйнными концами. Исходя из этой физической картины, будем искать решение уравнения (53,4) в виде стоячей волны с круговой частотой и и волновым числом 7: !в= А з!пуха!п(м!+а) = Аз!п(~ап) з!п(а!+ а), (53,6) где а — расстояние между положениями равновесия, А — амплитуда волны и а — фаза. Условия (53,5) на концах цепочки будут удовлетворены, если положить яп [ау (д! — 1)[ = О, (53,7) нлн (53,8) а(М вЂ” !)' где число Й пробегает ряд целых аначеннй: й = — О, 1, 2, 3, ..., (Дг — !). (53,9) Таким образом, смешение !з можно представить в виде наложения волн вида аап :,„л — Аь Яп Яп (члвС+ а). (53,10) Подставляя (53,10) в (53,4), находим соотношение, связывающее частоту мв с волновым числом ~а.
Именно, (!ч+ +[„л — 2':„) = =-А„з!п (аз!+ а) [яп [аДв(п+ 1)1+ яп [аЯа(гл — !)[ — 2 яп(агап)[ = = Аа з!и (аь! + а) [2 з|п (агап) соз (аул) — 2 яп (аД,п)[ = ува —. — 4 Ал яп (ал1+ а) яп (аула) япз— 2 Отсюда имеем; з ува (пал = 4х 5!Пав л 2 [гл. чш 266 кРистАллы или (53,! 3) В случае очень длинных волн, для которых выполнено неравенство уьа(~ 1 или Л )) а, очень большое число атомов колеблется почти в одной фазе — изменение фазы происходит на длине полуволны, охватываюшей большое число атомов. Поэтому атомная структура решвтки переставт сказываться на ее свойствах.
Решатка велит себя по отношению к длинным волнам, как сплошная упругая среда. Стоячие волны в решатке преврашаются в стоячие волны в упругой среде. Скорость распространения волн в решатке, даваемая по (53,15), совпадает со скоростью упругих волн (скоростью звука) в сплошной среде. Самой короткой из возможных волн Л = 2 (Л/ — 1) Аг — 2а соответствует наибольшая частота мг. -2 ~/ —" (53,16) ма — — 2 у' — з!п /к У„а (53,11) АЧ Из (53,11) следует, что в цепочке из М атомов возможно появление Ф стоячих волн с различными частотами мз (й= О, 1, 2, ..., (Дà — 1)).
Этим !Ч частотам соответствует М волновых чисел (53,8) или различных длин волн ,, 2к 2(Дà — 1)а (53,12) у л Саман длинная из стоячих волн (при й = 1) имеет длину волны 2(М вЂ” 1)а, т. е. на всей цепочке укладывается одна полуволна. Значениям й=1, 2, ... соответствуют всв более и более короткие волны, но такие, что иа длине цепочки укладывается целое число полуволн. Замечательно то, что все атомы цепочки колеблются с одииаковой частотой (т. е. и„ зависит только от й, но не от номера атома). Скорость распространения волн равна увл Г м кЛ Гк 2 о= — = — =кЛ= 2 р =У=2= = Р ж Уа т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
