Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Вычислить значение теплобмкостн в максимуме и положение максимума для системы с двумя уровнями, у которой статистический вес верхнего уровня ет значительно меньше, чем вес нижнего уровня еь Решение. Из (40,3) находим: т, С„А?й( 1)( о)'Е Те Т яаао (С,)„„, = 4ЛГД ( 1)е-з. 51.
Система обладает зквидистантными (равноотстоящими друг от друга) оевырожденными уровнями энергии внутреннего движения частиц: е„=ра, р=1,2,3, ...,л. При атом энергия высшего уровня а„мала по сравнению с тепловой знергией АТ. Найти термодинамические функции системы. Р е ш е н и е. р я=1 л (л + 1) е л (и + 1) (2л + 1) аа 2ВТ 2 6 (йу)з ' 1 аз — ДТ(н Хсм — йТ)ил+(и+1) а — — (и+1) (л — 1) —, 12 2ВТ' С (л+1) (л — 1)/ 3 1 52. Написать в классическом приближении распределение Гиббса по знергиям для линейного гармонического осциллятора Решение.
1 «т е о?а «тба /?Т (гл. ч) 238 йаклльнын газы 5). Задана система нз М независимых одномерных осцилляторов. Найти число осцилляторов в системе, имеющих энергию, большую илн равную за- 11 данной е„= (л)+ — ) Ьч. 2) Р е ш е н не. Число осцилляторов с дзнной знергией ьч ал ат зР л(е„) = =)))(1 — е " )е з Искомое чнсло 34. Вычислить функцию состояний классического осцнилятора, заменяя интегралом сумму по состояниям.
Сравнить полученный результат с формулой, получающейся нз (43,2) при предельном переходе 0 т в е т. Вш т~~ ан Ц е змгт ит ))'Ых ~ДТ Д. (я+1), где квантовое число принимает ряд целочисленных значений л =О, 1, 2, 3,... В отличие от линейного осцнллятора состоянин плоского осциллятора оказываются (л + 1)-кратно вырожденными. Вычислнть знергню системы, состоящей нз ))) независимых двумерных гармонических осцилляторов. Р е ш е н н е.
Функция состояний для одного осцнллятора имеет вид СО вл «Я ктй(е ) ч О Имеем, однако, з1 ш+)) (л +!). со В 'ч+)) е (и+1) = 1) е (нь))(л+1) = Х а 1) СО да аш' де е« вЂ” 1 (е — 1)з где через а временно было обозначено —. Ьч ))Т ' бб. В квантовой механике показывается, что двумерный гармонический осциллятор обладает уровнями знергин 239 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ У! Таким образом, ехд ~3 ехР~- АТ Энергия системы равна Е = ДТзгУ вЂ” 1пя = йэ+ д 2йэ дТ е — 1 аР 56. Найти, чему равен средний размер ! двухатомной молекулы, совершающей гармонические колебания около положения равновесия.
Р е ш е н и е. В приближении гармонических колебаний *ч' у=а+я=а+ ~ уе зь Ау=а, т. е. равно равновесному расстоянию между атомами. 57. Как показано в предыдущей задаче, молекула, совершающая гармонические колебания, не испытывает теплового расшйрения. То же можно сказать и относительно кристалла, в котором атомы совершают малые колебания, так что потенциальная энергия может быть представлена квадратичттэ ным выражением— 2 Тепловое расширение кристалла, так же как увеличение размера молекулы, связано с нарушением гармоничности колебаний.
Вычислить удлинение молекулы, совершающей малые, ио не гармонические колебания, считая, что сила, действующая на систему при отклонении от равновесной длины, равна У = — й+ Зярэ. где я — удлинение и средняя сила равна нулю. Решение. Средняя сила 1 в состоянии статистического равновесия равна нулю. Поэтому Г= — ъе+ Зяяз, откуда Зя— б= Ч~ к Малая величина еэ может быть вычислена в приближении гармонических колебаний.
Это дабт: 'яТ яз Ф откуда ЗаДТ я= — ° из Коэффициент теплового расширении определяется как отношение д Зяй Т вЂ” —— аТ «эа Коэффициент теплового расширения в этом приближении не зависит от температуры. бп. найти дополнительную теплоемкость двухатомной молекулы, обусловленную ангармоннчностью еЬ колебаний. 240 [гл. тч ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ Решение. Написав потенциальную знергию в виде лйз и = — + аоз+ Зоа 2 н считая поправки к квадратичному выражению потенциальной знергии ма- лыми, можем написать: (2тидТ)' ° 1 Ззт l рра арз алла Д .! ( ЛТ ДТ 2(ЛТ)з + ...)аб= 2лЛТ ( Зр (ФТ) 15 аз(аТ) ) аш '1 ля 2 та Энергия колебаний где 16 ат 3(В 3= — — —— 2 лз „з ' Поправка к теплоамкости С =Л(Д З ° Т пропорциональна температуре и имеет существенное значение при высоких температурах.
59. Найти распределение интенсивности спектральных линий в чисто вращательной области спектра двухатомной молекулы, считая, что она определяется относительным числом молекул, находящихся в данном вращательном состоянии. Р е ш е н и е. Число частиц, находнщпхся в данном вращательном состоянии равно т т(уьи М(2/+ 1) е пу = ьращ. Т При Т, (( Т для л, „по (44,5) имеем зь а ы — н у(у~ю Г у-ДУ Т (21+1) Число частиц с данным / имеет максимум при некотором зна гении У'=Умела Считан пРиближбнно У непРеРывно изменЯющейсЯ величиной, находим ум, из условия у (уч-т) Та В(пу ВУТВ т Г Та — = — а ф Т ~2 — — (2(+1)з" =О, Т откуда В спектрзльной линии, связанной с вращательным переходом, должен наблюдаться максимум интенсивности, находящийся при у = 1„„,.
ГЛАВА УП НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ В 47. Учет взаимодействия между молекулами До сих пор мы ограничивались рассмотрением идеальных гааов. В идеальных газах средние расстояния между молекулами настолько велики, что столкновения между ними происходят сравнительно редко. Молекулы движутся независимо одна от другой. Однако в ряде случаев приходится иметь дело с более плотными газами, для которых приближение идеального газа является недостаточным.
В этом случае свойства газа начинают сушественно зависеть от взаимодействия между молекулами. В % 10 мы уже коснулись вопроса о характере межмолекулярного взаимодействия. На больших расстояниях между молекулами взаимодействие это сводится к слабым силам притяжения, которые быстро убывают с расстоянием между центрами молекул. На малых расстояниях, "~ когда молекулы вплотную подходят друг к другу, так что происходит взаимное 1 проникновение их электронных оболочек, возникает весьма сильное отталкивание. Благодаря этому отталкиванию невозможно заметное проникновение молекул друг Р в друга и их деформация при столкновениях. В дальнейшем мы ограничимся одно- атомным газом и будем считать, что взаимодействие зависит только от расстояния между атомами.
Ход потенциальной энергии взаимо- Рис. 37. действия 1-й и й-й молекул изображйн на рис. 37. Мы будем прелполагать, что силы притяжения являются настолько слабыми, что наибольшее значение потенциальной энергии притяжения в при сближении молекул вплотную (расстояние между центрами равно диаметру И). Но 1 и (Н)~ вс6 же мало по сравнению с тепловой энергией 1гТ, ! и (д) ~ «С 1е Т.
(47,1) 1д за« м23. В. Г. леви« 242 !гл. чп ияидвлльныв газы Потенциальная энергия настолько быстро убывает с расстоянием, что она практически обращается в нуль уже при расстояниях между центрами молекул, составляющих несколько диаметров. Введем формально некоторое расстояние р, дальше которого взаимодействием можно полностью пренебречь. Это расстояние мы будем называть радиусом взаимодействия. Это означает, что истинную кривую потенциальной энергии мы заменяем упрощенной кривой, изображенной на рис.
37 пунктиром и выражаемой формулой 0 г~~р — н(г ) р>г>й й)~ г. (47,2) а = вччп+ У. (47,3) Первый член в (47,3) выражает сумму кинетических энергий молекул. Он совпадает с энергией идеального газа. Второй член представляет потенциальную энергию ваанмодействия молекул, зависящую только от их взаимного расстояния. Воспользовавшись этим выражением для в, можно написать функцию состояний газа в виде яй ( ~в "" йР йрвйРв) (~ в йЪ~1 ° Игл) (47 4) где Ф$гт ... НЬ'и — произведение дифференциалов пространственных "оордннат дх дую для каждой молекулы. Первый множитель не Здесь через гж обозначено расстояние между центрамн Г-й и й-й молекул. Это означает, что взаимодействие отсутствует, когда расстояние между центрами молекул превышает р, представляет притяжение (знак минус при и(г,в)), когда расстояние между центрами меньше р, но больше й, так что молекулы непосредственно не соприкасаются, и превращается в очень сильное (бесконечно сильное в нашем приближении) отталкивание, когда молекулы приходят в непосредственный контакт.
Величина р обычно равна трем-четырем диаметрам молекул. Если газ не является очень плотным, то среднее расстояние между молекулами весьма велико по сравнению с их размерами и даже по сравнению с расстоянием взаимодействия. Поэтому можно считать, что, как правило, на расстояние взаимодействия одновременно сближается не более двух молекул сразу. Иначе говоря, можно считать, что молекулы взаимодействуют только парами. Такие конфигурации, когда в сфере взаимодействия одновременно находится «рой» из трах, четырех и так далее частиц, встречаются редко, и мы будем ими пренебрегать.
Вычислим функцию состояния газа при этом условии. Энергия всего гааа в может быть написана в виде $471 учйт взАимодействия между молекулАми 243 отличается от соответствующей величины для идеального газа. В силу результатов $ 37 его можно написать в виде 9~ е з'"«та(р ар с(рз=(2ятнТ)НЯ, так что зн е.= зн (2ятнТ) '-' ( ~ е " Н'с ...
<ЛЪ). (47,6) Здесь же нам нужно вычислить второй множитель, именуемьсй )сонфыгурацыонным интегралам: и У= ) е «т <Л'(с(!'з ... аЪ'н, (47,6) Для его вычисления воспользуемся тем, что молекулы взаимодействуют между собой только попарно. Поэтому энергию взаимодействия можно представить в виде суммы энергий взаимодействия пар молекул (7 = Х и (гс«), (47,7) где нод парой мы подразумеваем две молекулы, сблизившиеся на расстояние, меньшее расстояния взаимодействия р. Энергия взаимодействия каждой пары обозначена через и; она определена формулой (47,2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
