Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Получение соответствующего выражения для рассеиваемой интенсивности в критической точке осложняется из-за того, что предположение о независимом характере флуктуаций в различных малых участках всего объЕма вещества оказывается невыполненным.
В обычных условиях, когда коэффициент сжимаемости мал, расширение объема 3(', оказывает влияние только на очень малую область вещества. Однако в критической точке возмущение распространится на большое расстояние и скажется на поведении вещества в объемах, сравнительно отдаленных от оЪ;, где будет влиять на флуктуации плотности. Таким образом, предположение о независимом характере флуктуаций в объемах вещества, малых по сравнению с длиной волны света, но содержащих еще большое число молекул, оказывается невыполненным. Если, однако, флуктуации в двух различных объ"мах не будут происходить независимо, то рассеяние света от этих объемов нельзя более считать некогерентным.
Поэтому нельзя непосредственно суммировать интенсивности, рассеиваемые от этих объемов, как это делалось при переходе от (62,2) к (62,3). Задача о рассеянии света флуктуациями плотности вблизи критической точки является гораздо более сложной, чем рассмотренная ранее. Точный расчйт >) показывает, что интенсивность света, рассеиваемого в критической точке, хотя' и не обращается в бесконечность, >) Особенно рекомендуем кингу М. А.
Леонтовича, Статистическая Физика, Гостехнздат, 1944. 20 зая. газа, в. г. левяч 306 'ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИЙ 1!Л. !Х ф 66. Общая теория флуктуаций энергии В предыдущих параграфах мы ограничивались изучением малых флуктуаций термодинамических величин. Сейчас мы рассмотрим общую теорию флуктуаций энергии в произвольной системе. При этом, как окажется в дальнейшем, существуют случаи, когда эти флуктуации не малы. Поэтому мы нигде не будем пользоваться предположением о малости флуктуаций. Мы не будем также считать, как это делалось ранее, что температуры являются высокими и можно переходить к приближению классической статистики.
Для простоты мы будем рассматривать несжимаемую систему, у которой уровни элергии ие зависят от объема. Распределение вероятностей состояний произвольной подсистемы, находящейся в статистическом равновесии в термостате с температурой Т, определяется формулой Гиббса. Средняя энергия подсистемы равна ° ! '~~" ее Аяо(зй в= й~ ч, е !У„(,) (63,1) Среднюю квадратичную знерги!о можно представить в виде $» !'т' о (!) ° ! 'сР~ Ат о(,) (63,2) Поэтому абсолютная средняя квадратичная флуктуация энергии ио резко возрастает по сравнению с интенсивностью рассеяния вдали от критической точки.
Кроме того, оказывается, что зависимость интенсивности от длииы волны в критической точке является менее 1 1! резко выраженной (У вЂ” —,, а не —,!т!.Таким образом, в критической точке происходит очень сильное рассеяние света всех длин волн. Интенсивность рассеяния столь велика, что свет оказываетса практически нацело рассеянным уже после прохождения сравнительно малой толщи вещества. Последнее приобретает характерную мутно-белую окраску, напоминающую окраску минерала опал.
По этой причине самое явление интенсивного рассеяния света веществом в критическом состоянии получило название критической опалесценции. В заключение заметим, что часто приводимая формула для !' в критической точке, полученная без учета взаимного влиянья флуктуаций, путам формального использования старших членов разложения (61,2) является ошибочной. овщья теоРия Флуктулций энеРГии Воу имеет вид ~~ь~е ьт П(ь) е~ '~ре ьт о(,) Вг ~~~ ага Й(ьВ (Ьа)' = а — (з) йТ' )дТ) (63,3) ит о(,,)~а Для относительной квадратичной флуктуации находим: |а — (я)а АТЭ дя ЛТЭС» ЛТЭС, (оа)Э , (63,4) (.)а (.)а )Т (.)а Еа ГдЕ Су — тЕПЛОВМКОСтЬ СИСТЕМЫ Прн ПОСтОяННОМ ОбЪЕМЕ.
РаССМОтрИМ прежде всего случай высокой температуры. При высокой температуре квантовая статистика приводит к классическим результатам. Энергия системы, независимо от ев конкретной структуры, пропорциональна числу степеней свободы системы или, точи е, числу квадратичных слагаемых в энергии Т и абсолютной температуре: ьт Е= у'— а ей тепловмкость постоянна и не зависит от температуры: А С У вЂ”. 2' Написанные формулы были получены для двух предельных случаев: идеального газа и твердого тела. Подстановка этих соотношений для Е и СР в (63 4) дает: (ба)я (63,5) что находится в полном согласии с общей теоремой $ 9.
При увеличении числа степеней свободы величина относительной флуктуации энергии убывает и практически обращается в нуль для макроскопических систем, содержащих огромное число частиц. Благодаря этому выводы статистики приобретают для таких систем вполне достоверный, а не только вероятностный характер. Напротив, в системе с малым числом степеней свободы относительные флуктуации могут быть очень велика.
К таким системам нельзя применять законы статистической механики, и все предыдущие выводы теряют смысл. В частности, в применении к весьма малым системам теряет смысл понятие температуры. 1еовия ФлуктуАцйй (гл. |х Имеется, однако, особый случай, когда флуктуации энергии оказываются очень большими даже в макроскопической системе. Речь яды о системах, обладающих весьма большой (формально †бесконечно большой) теплоемкостью, т.
е. о системах, температура которых не повышается при подведении к ним тепла извне. Такие системы можно осуществить. В качестве примера можно указать две фазы (например, жидкость и ее пар), находящиеся в равновесии друг с другом. Подобная система может быть получена, если с помощью соответствующего механизма давление пара над жидкостью постоянно поддерживается равным равновесному. Прн подведении тепла к такой системе оно затрачивается на испарение жидкости, а не на повышение температуры системы. До полного испарения всей жидкости температура системы будет оставаться постоянной. В этом смысле можно считать теплоемкость системы жидкость — пар бесконечно большой.
Согласно формуле (63,4) в такой системе будут происходить большие флуктуации энергии и других величин. Так, существование больших флуктуаций в кипящей жидкости может быть легко наблюдено. Весь характер кипения имеет хаотический характер. Наличие больших флуктуаций энергии в равновесной системе жидкость — пар служит причиной того, что энергия системы не вполне определяется ев температурой. Независимость энергии от температуры в подобных системах с точки зрения классической термодинамики представляла логическую трудность. Перейдем теперь к рассмотрению флуктуаций энергии при низких температурах. В этом случае начинают играть роль квантовые эффекты.
Существование квантовых эффектов сказывается на величине флуктуаций энергии в системе. Рассмотрим в качестве примера флуктуации энергии кристаллической решзтки при низких температурах. При низких температурах энергия кристаллической решетки равна 3.тата 50" а тепловмкость 12з4ИЛ Тз 50з с Поэтому флуктуация энергии равна (63,6) Мы видим, что флуктуации энергии при данной температуре убывают с числом частиц по обычному закону.
Однако флуктуации растут с понижением температуры и становятся очень значительными при весьма низкой температуре. Таким образом, при низких температурах флуктуации энергии оказываются достаточно большими даже в системах, содержащих очень много частиц. Этот результат можно $ 64! ВлиЯние ФлУктУАций нА чУВствительность пгизовов 309 пояснить следующим образом. При понижении температуры происходит уменьшение тепловой энергии системы, которое можно характеризовать эффективным уменьшением числа степеней свободы. Так, на примере газа мы видели, как с понижением температуры исчезают колебательные, а затем вращательные степени свободы и соответственно уменьшаются энергия и теплоемкость. При очень низких температурах число эффективных степеней свободы оказывается столь малым, что к ним нельзя уже применять статистические рассуждения.
В выбранной нами кристаллической решатке это означает, что число колебаний, возбужденных в кристаллической решатке и вносящих своим тепловым движением вклад в переменную часть энергии и теплоемкость, оказывается недостаточно большим при весьма низких температурах. В результате флуктуации этой части энергии оказываются немалыми.
Система ведет себя так, как будто бы число степеней свободы было мало. Из формулы (63,3) следует еще один весьма важный вывод общего характера. Переписав (63,3) в виде дв (~Ь)2 — = — )О, дТ ЛТВ мы видим, что производная от средней энергии по температуре является существенно положительной величиной. Следовательно, средняя энергия произвольной системы является мцнотонной функцией ее температуры. В 64. Влияние флуктуаций на чувствительность измерительных приборов и возникновение помех Флуктуации играют важную роль в действии современных высоко- чувствительных приборов — весов, гальванометров и т.
и. Чувствительность этих приборов столь высока, что они позволяют регистрировать явления того же масштаба, что и флуктуации, вызываемые тепловым движением молекул в самом приборе. Это влечет за собой важное следствие при непосредственном (однократном) измеэении с помощью некоторого измерительного прибора физической величины, значение которой меньше, чем случайные отклонения самого прибора, вызываемые флуктуациями, прибор даат неправильные показагия. Он регистрирует собственное тепловое движение (фон), а не измеряемую величину. В этом смысле говорят, что тепловое движение кладат предел чувствительности данной конструкции прибора (при однократном измерении). Дальнейшее повышение чувствительности и измерения величин, лежащих ниже фона теплового движения, сопряжено с выполнением многократных измерений (или изменением конструкции прибора).
Действительно, если прибор регистрирует только собственное движение, то среднее отклонение прибора будет равно нулю. Если же твовия влтктялций (гл. гх З(О дэз и(а) =— 2 аггггг где а= ' (здесь г — радиус нити, 2! сдвига нити). Таким образом, 1 — ей длина и 0 — модуль аг1 итв=сопзг. е гвт дьа= (64,! ) нормирования. Средний ква- Здесь постоянная определена из условия дратичный угол отклонения равен сю ау' Фзе ггт Лю аа со аз э гьт лч на фон накладывается некоторое внешнее воздействие, то прибор будет флуктуировать около некоторого нового положения и его среднее отклонение будет отлично от нуля.
Чем больше число произведенных измерег ий, т. е. чем больше время наблюдения, тем меньшие значения физической величины (лежашие ниже фона) могут быть зарегистрированы. Поясним это на разборе некоторых простых примеров. Подвешенное зеркальце. Одним из простейших и наиболее чувствительных приборов является легкое зеркальце, подвешенное на тонкой, обычно кварцевой, нити. Чувствительность прибора определяется возможностью регистрации весьма малых углов поворота зеркальца на нити. Предел чувствительности, т. е. наименьшие углы поворота, которые могут быть зарегистрированы, при однократных измерениях определяются тем, что они должны быть больше, чем колебания зеркальца, вызванные тепловым движением молекул зеркальца и нити. Это тепловое движение приводит к случайным поворотам подвешенного зеркальца на углы, величина которых определяется значением среднего квадратичного угла поворота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
