Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Приложение 1) дает: и= ит. Средняя потенциальная энергия одной молекулы в бесконечном столбе газа оказывается пропорциональной абсолютной температуре. Сред- г =л(Ре Ръ)=ь(ло кд)иг где ре н рь †давлен на высоте я = 0 и я = й соответственно. Таким образом, расчет подтвер кдает правильность представления о весе газа, как разности давлений на дно и крышку сосуда. Молекулы газа, находящиеся в поле тяжести, обладают некоторой средней потенциальной энергией, избыточной по сравнению со средней энергией газа, находящегося вне поля сил. Поэтому средняя энергия газа в поле тяжести, а следовательно, и его тепловмкость должны быть больше вычисленной нами ранее.
Найдйм избыточную тепло- Емкость, которую должен иметь газ, находящийся в поле тижести. Для этого вычислим среднюю потенциальную энергию газовой молекулы в поле тяжести. По определению, она равна ь' 381 влспгвдвлвиив млхсвяллл — вольцмлиг !98 чия потенциальная энергия грамм-моля газа в бесконечном столбе равна й = Ии = 1)й Т. Отсюда находим для избыточной теплоемкости при постоянном объеме на один грамм-моль, обусловленной потенциальной энергией, Свое р Ч 138, 14) Полученная теплоамкость, таким образом, сравнима с теплоймкостью, обусловленной кинетической энергией молекул. К совершенно иному выводу мы придем в случае столба, заключенного в сосуд высотой й ( о.
В этом случае средняя потенциальная энергия молекулы равна ь ввяг е лил о Л вяг хт и о Поскольку в пределах интегрирования — — (( 1, подинтегральлгдл л лт а ную функцию можно разложить в ряд и ограничиться первым членом разложения. Это дает: — жал и=— 2 Итал й )~)и = —. 2 В этом приближении средняя потенциальная энергия столба газа вообще не зависит от температуры. Соответствующий вклад в тепло- емкость равен нулю. В следующем приближении можно получить некоторую тепловмкость, весьма малую по сравнению с теплоемкостью, обусловленной наличием кинетической энергии.
Таким образом, в практически интересных случаях долей, вносимой потенциальной энергией в тепловмкость газа, можно пренебречь. Рассмотрим, наконец, распределение по высоте молекул, обладающих различной массой. Из вида распределения 138,8) ясно, что чем больше масса молекулы, тем быстрее убывает число соответствующих молекул с высотой. Если молекулы с массами т, и т. на высоте л =. 0 имеются в одинаковом количестве, то отношение числа молекул обоих сортов на высоте )о равно Пв,-гвя до ьт Г38,1б) ло Если бы простые законы равновесного распределения плотности были применимы к земной атмосфере, то наблюдалось бы резкое 13 звв 1боз В, Г.
левов )гл. ьч ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ изменение состава атмосферы с высотой. В действительности, однако, произведенные измерения состава атмосферы не подтверждают этого вывода. Общеизвестно также понижение температуры с высотой, что тоже находится в полном противоречии с требованием постоянства температуры в равновесном столбе газа. Эти, а также ряд других фактов показывают, что во всяком случае в нижних слоях атмосферы воздух не находится в состоянии статистического равновесия. Измерения температуры воздуха показали, что температура убывает с высотой примерно до !2 км над поверхностью Земли. Эта часть атмосферы носит название тролосферы. В тропосфере всегда имеются конвективные потоки, энергично перемешивающие поздух и способствующие повышению однородности его состава. Выше тропосферы лежит стратосфера, в которой температура воздуха остайтся постоянной или, быть может, несколько повышается с высотой.
Плотность воздуха в верхних слоях стратосферы настолько мала, что средняя длина свободного пробега молекул достигает очень больших значений. Так, на высоте 100 >ем она составляет несколько сантиметров, а на высоте 300 км достигает нескольких сотен километров. На таких высотах молекулы движутся, как отдельные миниатюрные тела в поле тяготения.
Плотность, температура и другие физические характеристики стратосферы существенно изменяются с земной широтой, а также в течение суток. Все это показывает, что физические процессы, происходящие в стратосфере, весьма сложны и вряд лн могут быть сведены к простому равновесию газа в поле тяжести, без учйта влияния солнечного излучения, механического перемешивания и других осложняющих факторов.
В этой связи необходимо коснуться вопроса о рассеянии атмосферы в мировое пространство. Из распределения Больцмана (38,8) следует, что вероятность нахождения молекулы на бесконечно большом расстоянии, где потенциальная энергия поля тяготения обращается в нуль '), отлична от нуля. Это означает, что молекулы могут удаляться как угодно лалеко от Земли, т. е. вылетать из земной атмосферы в мировое пространство.
Физически это можно представить себе следующим образом. Согласно законам статистики в результате соударений друг с другом молекулы могут приобретать произвольные †больш и малые — скорости. В частности, не исключено, что молекула случайно получит настолько большую скорость, что она сможет преодолеть земное притяжение н вылететь в мировое пространство.
Из механики известно, что критическим условием вылета г) Вдали от поверхности Земли пельзл уаш счнта>ь ноле тяжести »дородным, так что для потенциальной ввергни нужно писать выражение >нате в и=— где ге — радиус Земли н г — рассто»ннс молекулы от центра Земли. 9 391 тзпловмкость двяхлтомных молекял !95 тела за пределы земного притяжения является условие равенства иоз его кинетической энергии — работе вылета, равной 2 ~у~ Н~ — гвкго. Для этого скорость частицы должна быть равна приблизительно 8 10а см/гак. Из распределения Максвелла следует, что, хотя вероятность получения молекулой столь больших скоростей очень мала, она всй же отлнчна от нуля.
Поэтому отлельные молекулы могут вылетать за прелелы атмосферы в мировое пространство и атмосфера должна непрерывно рассеиваться. Оценки скорости рассеяния атмосферы показывают, олнако, что она ничтожно мала. За огромные промежутки времени, порядка 10"Я лет, может рассеяться ничтожно малая часть всей существующей атмосферы. Кроме того, необходимо иметь в виду, что законность подобных подсчетов является весьма сомнительной.
Как мы указывали, вряд лн в верхних слоях атмосферы существует простое равновесное распределение. В неравновесном сосчоянии число молекул с весьма большими скоростями будет, повидимому, ещй меньше. Таким образом, опасность потери Землей атмосферы из-за рассеяния молекул в мировое пространство совершенно нереальна. В 39. Вычнсление теплоймкости двухатомных молекул с помощью классической статистики и закон равномерного распределения по степеням свободы Большая часть веществ в газообразном состоянии существует в виде молекул. Весьма часто приходится иметь дело с двухатомными газами.
Таковы Ня, Оз, Ыя, НС1, СО н целый ряд других. Нашей ближайшей задачей является обобщение полученных результатов па случай неолноатомных газов и, в особенности, па самый простой случай лвухатомных газов. Основным отличием неодпоатомных газов от одноатомных является наличие у ннх вращательных и колебательных степеней свободы. Мы начнвм рассмотрение с более простого случая — двухатомных газов. При этом мы булем сперва считать, что молекула представляет систему, подчиняющуюся законам классической механики. Поскольку внутреннее движение электронов в атоме нас интересовать пе булет, каждый атом мы будем заменять материальной точкой, не имеющей протяженности.
две материальные точки, связанные "ежлу собой в молекулу, можно уподобить миниатюрной гантелн, па концах которой находятся бесконечно малые шарики с массами гп~ н т, (различными массами атомов), Поскольку связь между атомамп в молекуле является не абсолютно жесткой, возможны следующие 1йя (гл. ьч 19Ь' ИДВАЛЬНЫЗ ГАЗЫ виды движения: поступательное движение (три степени свободы); вращение вокруг двух осей, перпендикулярных оси, соединяющей оба атома (две степени свободы); колебания атомов вдоль линии, их соединяющей. Мы считаем молекулы материальными точками, имеющими бесконечно малые размеры, так что говорить о вращении вокруг оси молекулы не имеет смысла.
Энергия молекулы может быть написана в виде К = Кпоотуп + Квращ + бколеб ° (39,1) Элемент фазового пространства двухатомной молекулы может бьг~ь написан в виде ~~Г = АРГпомуп АРГвгощ борколеб (39,3) где введены обозначения: тбГ оотуп = г)Р б(РЗ дР, г(х б(У ври; тброр,щ — — бтМ, РбМЗ гйп 0 бт0 аРр; бур„ол,б = б(рб б(б). (39,4) Первый множитель з выражении фазового объема соответствует трем степеням свободы поступательного движения, второй †дв степеням свободы вращательного движения и третий †колебательно движению молекулы. Таким образом, +в Г 'поотуп+ вращ+ 'волщ1 бттз = Лб ЕХР ~ — ЛГ ). б1ГпоотупбРГвращсРГколоб. (3Аб) Мы видим, что распределение Гиббса распадается на три независимых множителя, соответствующих поступательному, вращательному н колебательному движениям. Каждый из этих видов движения где к„„,уп, вщ,,щ и б о вб — соответственно энеРгии постУпательного, вращательного и колебательного движений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
