Левич В.Г. Введение в статистическую физику (1185133), страница 41
Текст из файла (страница 41)
. ~ е ат,(1~ да (2 аг)ч ~ -Л (38.3) Ранее было показано, каким образом распределение Максвелла может быть выведено из общего распределения Гиббса. При этом мы молчаливо предполагали, что на молекулы идеального газа, заклю- ченного в некоторый сосуд, не действуют никакие внешние силовые поля. Между тем на практике часто приходится иметь дело с газом, находящимся в однородном внешнем поле сил.
Наиболее важным при- мером такого поля является поле тяжести. Ло сих пор мы отвлека- лись от действия поля тяжести на поведение газа. Ниже мы найдвм все те изменения, которые вносит поле тяжести в найденные ранее свойства идеального газа. Пока же мы рассмотрим общий случай однородного силового поля. В таком поле каждая молекула идеаль- ного газа обладает полной энергией е = алосжя+ и (х я л), где ея„„г,— кинетическая энергия ей поступательного движения, а и — потенциальная энергия во внешнем поле, зависящая от поло- жения частицы.
Подставляя это выражение для энергии в распределение Гиббса для молекулы идеального газа (23,6), имеем: ~леступ+ ч ьт г(р ~(,ц ~(р ЛУ (38,1) ааа $38) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА — ВОЛЬЦМАНА (89 мы находим, что нормированное на единицу распределение Гиббса для молекулы идеального газа при наличии внешнего поля имеет вид и Рй амтв=,, ° е ™Авгур г1ряг1р .
(384) (2ятЛТ) ' л Атл|г Полученное распределение вероятностей, характеризующее вероятность того, что молекула имеет данный импульс и находится в данном элементе объвма,носит название распределенияМаксвелла †Больцмана. При рассмотрении распределения Максвелла — Больцмана сразу бросается в глаза то его важное свойство, что оно может быть представлено в виде произведения двух множителей: ~пасти Ат ~(тв = 1, е "т йр гор„гор,1 (38,5) 1 (2ятлТ)'" $ я Первый из этих множителей — хорошо знакомое нам распределение Максвелла. Оно характеризует распределение в роятностей по компонентам импульса.
Второй множитель зависит только от координат молекулы и определяется видом ей потенциальной энергии во внешнем поле сил и(х, у, г). Он выражает вероятность нахождения молекулы в данном объеме Н)г. В частном случае, когда внешнее поле сил отсутствует, распределение молекул по всему объему сосуда является равновероятным и последний множитель сводится к вели- Л)г чине —. У На основании теоремы умножения вероятности распределение Максвелла †Больцма можно рассматривать как произведение вероятностей двух независимых событий — вероятности данного значения импульса и данного положения молекулы; первая вероятность, Ре+Ря+Рв 1 гйвм = эп~ьт <~р с(р лр (38,6) (2ятЛТ) н Ф я л представляет распределение Максвелла; вторая вероятность, и "т,дг с(чвв = (38,7) — распределение Больцмана.
Каждое из распределений нормировано, очевилло, на единицу. 1гл. яч 190 идвлльныв газы и = шля. Поскольку потенциальная энергия зависит только от высоты, в плоскости я = сопз1. молекулы распределяются равномерно. Поэтому представляет интерес лишь зависимость распределения вероятностей от координаты я. Оно имеет, очевидно, вид ьт лл ~йд = ~ е итлл (38,8) где интеграл бератся по всем возможным значениям я. Вводя вместо распределения вероятностей среднее число частиц в 1 смз на данной высоте, можно переписать (38,8) в виде мяа аве ь~ л1л (38,9) где и †чис частиц в 1 смз на условном уровне отсчета координаты я, в плоскости я = О. Формула (38,9) показывает, что плотность газа в поле тяжести убывает по экспоненциальному закону. Она уменьшается в е раз лт при поднятии на высоту 3= —. Эту величину можно назвать хаги ' рактеристической длиной распределения частиц в поле тяжести.
Для водорода Ь составляет при комнатной температуре около 3 10ь м, для воздуха 8 соответственно равно 10' м. На всех высотах имеет место То обстоятельство, что оба эти распределения являются невависимыми, выражает важное и заранее совершенно не очевидное физическое положение: вероятность данного значения импульса совершенно не зависит от положения молекулы и, наоборот, вероятность положения молекулы не зависит от ее импульса. Это означает, что распределение молекул по импульсам или скоростям в самом общем случае молекул, находящихся во внешнем поле сил, так же как и в отсутствии этого поля, остаатся тем же самым во всех точках пространства, в котором заключен газ. От точки к точке изменяется лишь вероятность нахождения молекул, или, что то же самое, число частиц.
Независимость распределения молекул по координатам и импульсам позволяет рассматривать каждое из них в отдельности. Рассмотрим теперь более подробно распределение Больцмана для частного случая, когда газ находится в поле земного тяготения. Направим ось я вертикально вверх. Тогда потенциальная энергия газовой молекулы может быть написана в виде $38) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА БОЛЬЦМАНА 191 лаксвелловское распределение молекул по скоростям с постоянной температурой Т. Однако число молекул, находящихся на разных высотах, убывает по экспоненциальному закону (38,9).
На первый взгляд неизменность температуры на всех высотах может показаться противоречащей следующему простому энергетическому рассуждению: жп« если некоторая молекула, имевшая на высоте»о энергию —, поднимается на высоту», то ей энергия должна уменьшаться до зна- 1 4 чения 1ь — — лги(» — »), где шй(» — »з) — работа против силы 2 тяжести.
Поэтому на большой высоте молекула будет иметь меньшую скорость и энергию. Но, с другой стороны, температура связана со средней квадратичной скоростью соотношением (13,11). Следовательно, температура газа должна падать с высотой. Ошибочность этого рассуждения коренится в том, что в нам фигурирует только одна молекула, рассматриваемая без учйта ее столкновений с другими газьвыми молекулами. Максвелловское распределение скоростей устанавливается благодаря столкновениям между молекулами. В предыдущем рассуждении установление максвелловского распределения игнорируется и рассматривается не имеющая смысла «температура молекулы».
Фактически подниматься вверх будут преимущественно те молекулы, которые имеют большую скорость. Поэтому максвелловское распределение будет устанавливаться автоматически на всех высотах. Отметим также, что найденное нами условие постоянства температуры газа в поле тяжести противоречит хорошо известному факту понижения температуры атмосферы с высотой.
Ниже мы остановимся на этом вопросе подробнее. Рассмотрим некоторые выводы, которые можно получить из распределения плотности газа с высотой. Прежде всего остановимся на понятии веса газа. Представим себе сосуд высотой Л, в котором находится газ. Как известно, этот газ обладает некоторым весом. Часто говорят, что вес газа †э вес всех входящих в него молекул. В действительности, однако, это не совсем верно. Вес газа измеряется разностью давлений, оказываемых газом на дно и крышку сосуда. В создании этой разности давлений участвуют все молекулы газа, находящиеся в непрерывном движении и большей частью непосредственно ни с дном, ни с крышкой сосуда не сталкивающиеся. В этом ваключается различие между весом газа н весом тела, лежащего иа тарелке весов.
Найдйм вес столба газа высотой л. Для этого можно поступить двояким образом: во-первых, можно определить его чисто формально, написав, что вес столба газа равен весу всех входящих в него молекул; во-вторых, его можно найти, взяв равность давлений, оказываемых газом на дно (»=О) и крышку (»=Ь) сосуда. 192 [гл. хч ндвлльныв газы В первом случае имеем: муз Р=ти~ а~.Ч= тило~ е ьтг1г ) Фхду= о ат мяь = ашба ° — (1 — е "т) =ЗиТ(аз — иь), О'тд (38,10) где 5 в площадь сечения сосуда, а и и и„ вЂ” плотности гааа на высоте и=О и з =й.
Во втором случае мы можем написать: (38,11) и = тйз = тК ~ з~йнз' (38,12) где Жив †вероятнос того, что молекула будет находиться на высоте между л и «+ Ж», даваемая формулой (38,8), Подставляя выражение для с(тяв в (38,12), имеем: ~ яе ь~йя и =тйл= та лт йя (38,13) При вычислении интегралов, входящих в (38,13), очень существенно анать высоту столба газа. Рассмотрим прежде всего случай бесконечно высокого столба газа, точнее столба, заключвнного в сосуд, высота которого значительно больше, чем характеристическая высота 3. Тогда пределы интегрирования по я распространяются от я = 0 до и-+со. Вычисление простых интегралов (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
