Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 23
Текст из файла (страница 23)
!=! ! ! Однако,' как эго следует из 'основной дифференциальной формы для потенциала Гиббса '(формулы типа (1) из пункта а) данного параграфа), вторая сумма обязана равняться нулю. Действительно, учитывая потенциальность величины С(В, У, йГ!,..., Жь) и то, что Гм =. ол, имеем дэб / д дбГ д!71 ~~!, а!бр~ =.~~» Ж~ ВФ — — ~ ~ — — К! — О .~ 4Му = ! ! у д l у д у е) Равновесное электромагнитное излучение В качестве примеров использования изложенного формализма термодннамических потенциалов рассмотрим дае несложные физические задачи. Первая из них посвящена раановесному электромагнитному изучению. Эта традиционная задача очень интересна с прикладной точки зрения, там более, что целый ряд термодинамическим свойств системы оказыаается характерным не только лля чистого электромагнитного излучения.
Более того, с ее помощью непосредстаенно проверяются и находят баое подтверждение некоторь!е общие представления теории и не толико. термодинямической, но и статистической, для, которой она яаляется одним из письма немносечисленных предстааителей точно решаемых систем. Вторая залача посвящена термодинамике топливных злементов (зта более простая в теоретическом плане задача, несмотря на свою «стандартность», представляет несомненный прикладной интерес). Рассматриваемая система представляет собой, конечно, модель: это полость (рис. 32) объема У, 'заполненная только электромагнитными волнами (никаких «газовых» частиц и т. и. а ней нет). Система равновесная, поэтому стенки, ограннчиаающие объем 1г, как всякая равновесная термодинамическая система ймеют гемперазуру 'В и по отношению к находящейся внутри полости тоже термодннамической системе (газ фотонов или соответствующих им плоских электромагнитных.
волн — мы будем на равных прааах использовать обе эти концепции) играют роль гермостата (одновременно термометра, а также генератора и поглотителя эгих''фотонов). В соотаетсгаии с принятым нами (см. б1, п.2) принципом т1юнзитивности состояния термодинамического равновесия равновесные свойства в данном случае электромагнитного изучения не зависят от того, с какими равновесными же системами оно находится а тепловом контакте. Таким образом, а равновесном случае. стенки могут быть любыми (раскрашенными Ли в разные цвета, как стены комнаты в соответствии с недавней модой, или а голубую'полосочку и т.д.
— асе эти красоты чы можем заменить лишь в системах, в которых нет равновесия по отношению к электромагнитному излучению). Исключение составляют идеально зеркальные стенки. Несмотря на то что идеальная зеркальная стенка а теоретических построениях предстаяхяется) очень Глава 1. Ахстюя1ввояа'яоярогхвявчааей юеряодияамияя удомой н подкуияюше наглядной (а в оптика — просто:евве(нйенно необходимой), опа не моделирует никакой реальной термодинвмимеской системы. И дело здесь ие в том, что прн самой тщательной полировке в масштабе, сравнимом с постоянной решетки (т.
е. порядка десятка ангстрем), такая стенка даже отдаленно не похожа на плоскость (или какую-либо другую геометрически правильную поверхность). Главное, что ндеахьная зеркальная стенка по ее определению не меняет вследствие свое11 абсолвггной неподвижности частоту электромагнитной волны при ее отражении, а это значит', что она не участвует в тепловом движении в принципе (как бы выморожена до абсолютного нуля)..Поэтому и, электромагнитное излучение„заключенное в полость с такими нетермодннамическими.стенками, не представляет термодинамической системы 'тоже.
Своеобразие рассматриваемой системы закал)чается в том, что фотоны вдостаточно хорошем приближении не'рассеиваются друг на друге, (в отличие от частиц газа, жидкости и т д ), и в этом смысле совокупносзьэлектромагнитных волн (нли газ фотонов) представляет собой чуть ли ие единственный пример реально суцюствуюшей идеальной системы., Иными сяовамн,, газ фотонов не располагает внутри себя механизмом, приводящим его к состоянию термодинамического равновесия. На то что в зту систему релаксационный механизм дояжезь быть привнесен извне, впервые обратил внимание Макс Планк.
Он в своих рассуждениях сохранил призывные в кругу физиков хоцца Х1Х вЂ” начала ХХ в. зеркаяьные стенки н поместил в полость крохотную,(на взгляд обывателя. ничего существенно не меняюшуи», а на деле зго был ярннципмаиьный шаг) абсолязтно черную чпылинку». Система изменилась кардинально: пылинка поглощала и.испусхзла электромагнитное излучение всех частот, в результате чего в системе устанавливалось равновесие пылинка — излучение и, несмотря. на наличие зеркадьных,стенок, система становилась термодинамнческой.
Такова история (как и раньше, в ней мы отмечаем в основном лишь позитивные моменты,, опуская, историю великих,заблуждений„интриг и всего того, без чего никакая реальная история ня обходилась). Понятно, что сейчас уже.нет необходимости прибегать к услугам крошечной планиовской, пылинки„,Дятественнее,:нз того:же материала сделать стенки или хотя бы какуюгннбудь, их васуь, Итак, отказываясь от нефизических идеальных зеркальных стенок, воспользуемся для выделения полости их антиподом — абсолютно черными схенками. Это термодинамическая система, имеющая определенную температуру д и обладаюшая сяедукпйими идеализирующими реальную ситуацию модейьными свойствами своей поверхности: а) она целиком поглощает любое падающее нз'Нее злектромагнитттов излуЧенне; й) йнд испускает.зяеяхромагнитные колебания любых часщт и в любых напрярленнях (даже есин на нее падает только плоская монохроматическая волна).
Такая идеализированная, но физическая модель термодинамических стенок позволяет нам наиболее экономным образом рассмотреть нашу основную задачу— термодинамику самого равновесного электромагнитного излучения, заключенного в полости (термодинамика самих стенок нас не интересует, важно, что они обеспечивают состояние зярмодинамического равновесия в самом излучении и его равпйвесйобть пб отношению к стенкам). Чтобы не заимствовать результатов из других разделов теоретической физики, (в.частиюстив из электродинамики), рассмотрим на откровенно элемеНтарном уронив вопрос о маайнческом воздействии;равновесного электромагнитного излучения,на,стенкуг Пусть и йи — среднее число фотонов с частотами в диапазоне (ыз ы+ вы), првходящихая па 1 ем з рассматриваемой системы.
-В силу изотропности $5.. Твриединсмичеегие.логлениидлм сиийтемьг,р,раствор дцф5реренциадьно малрго увлв,; дй в нацрввленин (у.;~р) из этих фотомсВ;левмг.. с ш . а среднем 'п„б( ' п„Ь, '' ' ' '- ""(РФ сй2 " в1пчу бб Ф' 41г., 4« ба фотонов (4я — в данном случае величина повн нбго телесного угла в трехмерном прдстранстве). Так как система:равновесна, то это изотропнб разлетающееся из мысленно выделенного' единичного объема излучение все время пополняется поступающим со всех сторон, как это схематически изображено иа рис. 32 (при.термодинамическом рассмотрении мы; естественно, пренебрегаем флуктуациями рассматриваемых величин, в данном'олучве — флуктуациами спектральной ' ' рнс.'33. к енрвлеленнвг ' ' плотности числа фотонов и ).:, срелневнлетневтн числа 4мтенеа Подсчитаем' теперь давление равновесного лвп~анх.в нанравленнн (в,р) излучения:на.
стенкуч считая ео абсолютно чер ' ной: Нормальное давление; соаааваемовчротбиас ми с частотами (м, м.+ Йи), паллюшими на стенку в 'направлении' угла (м; р);" это..нормальная составляющая импульса, передаваембпз этнми фотонамн при их поглощен ни вдииице плоциши стенки за секуиду(рис: 33): г (ч(р (д, р)) = совд ° 1 смз с ° совр — 'в!п с)<МИ(л.' с .Но так как система равновесна, а'стенки абсолютно мрные,'то втащи'вге направлении (чр, р), в том же сне кгральном интервале (м, а+ гйл) стенка нспуетит эа ту же' секунду столько же фбФьиов:, сколько на иее упало' и поглотилось.
А это значит, чть норма«впал сбставляюшая отдачи' иа'стенку будет 'вдвое 'ббльтве ' ' учтенной выше: ч Ф (О,Я=2'Гяр (р,й1.м, и полное давление на стенку, связанное с фотонами, имеющими члстоть| в диапазоне (м, м 4-дм) и падающими на единичную площадку стенки"(н излучаемыми ею) по всем возможным' нас правленйям "О < д < '«/2, О < р < 2«, равно ч/з зч йм п„бгн бр„= ВВ др 2.,совчр с совчу — яви= с 41г в в Рнс. 33., К расчету Лавляння = -"ь>пн им = Рн(н) Ф" ~ равновесного нзвученнл нз стенал 3 3 где Р„(д) ~ ймпн, —.,спектРавьнаЯ плотность энеРгии .Равновеснопз нзвУченив;. Отметим, чро при, этом интегрировании каждому косому чстолбикув (д, р).найдется симметричный (д, вг+«); вклады от них в нормальную сасвавляющуво силм ир„будут сцвершенцо одинаковыми, а.в 'тангенциавьную, — противвпалажными по'знаку,: 80 Пава'!.
дксиомаглике микроскопической гкериедикииики поэтому )вр„)г = О, н мехвническое воздействие фотонор нв утенку в.случае, если иэлученне равновесно','будет иметь только нормальную компоненту (т.е. будет иметь хардктер только давления). Заметим теперь, что условие «абсолютной черноты» для получения этого (хотя и промежуточного) результата не так уж существенно: условие термодинамического равновесия (см. $1, п.
2) налагало требование не только неизменности во времени значений каких-либо характеристик системы, но и отсутствие потоков любого типа,. поэтому в равновесном случае полный поток фотонов с частотами (ы,ы+ Йи) в любом направлении (У, р) должен быть скомпвнсирован до нуля: «««(р~ »') — я«(р~ р) ~йи — («'у«)«««+ (»'у«)«ы За счет чего образуется обратный поток от стенки («Щи»л — («'уи) п««1 уже не так существенно: он может, как у нас, целиком попускаться абсолютно черной стенкой, какая-то доля его может возникнуть в результате диффузного,отраженна падающих на »серую» площадку со всех сторон электромагнитного излучения (для «абсолвзтио белой» стенки он весь формируется за счет этого диффузного рассеяния), если: же выбранный участок стенки, зеркальный, то этот, обратный в направлении (У, р) поток создается целиком за счет отражения волй, падающих на него под углом падения (д, р+ 1г), наконец, условия «черноты», зеркальности» и т'. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
