Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. Термодинамика (1185126), страница 24
Текст из файла (страница 24)
могут выполняться дкя каких-то выделенных частот или спектральных интервалов н т.д. Интегрируя величину бр по всем частотам, получим полное давление, созда-' ваемое равновесным излучением: — бр.= — / р«(р)ф = — (р), з,/ . з о к где в(д) по построению имеет смысл плотности энергии равновесного излучения. ММ получили, таким. образом, что воздействие равновесного электромагнитного излучения на стенки имеет характер давления. (т, е. всегда нормального к поверх- ности.и всюду одинакового), величина которого является характеристикой самого равновесного излучения (так как не зависит от конкретной природы н расположения стенок — возникает как бы закон Паскаля) и численно равна трети плотности его энергии и = К/»'.
После. всего сказанного решение собственно термодннамнческой задачи о рав- новесном излучении оказывается уже достаточно простым. Отметим своеобра- зие (по сравнению с газовыми задачами) исходных соотношений. Прежде все- го общее число фотонов, формирующих термодинамическое состояние системы, не является независимым переменным, так как Ф" = г п(й) = Л«(й, г ), где плотность числа фотонов (нх среднее число в расчете на! смз системы) является только функцией температуры: С« п(у) = «„(р) йи. о Если, 'бвддерживая д = сопзг, увеличивать объем системы, то число фотонов Л' будет расти пропорционально за счет их испускания стенками полости (в этом равновесное излучение похоже на насыщенный пар над испаряющей его жидкостью).
3 5. Тернадананачеснне панмнцоальг далее, давявние р ='Ы(р)/3 и«злябтся функцией только температуры, т.. В, изотермы на р — У-диаграмме Имеют вид горизонтальных параллельных прямых (рис, 34) (тоже как для насыщенного пара), а энергия д нк Тли(д) = В(В, Р') — функцией только двух переменных, как и ..Ф' = 'г (В;%').
Соотношение (в) (см. 34), являющееся следствием П начала термодинамики, сразу дает дифференциальное уравнение для функ- р 3 ции и(В):. др 1 «(и 1 — = — — р =ь и= — д — — — и ВР" дВ 3 «1В 3 или, приводя подобные члены и разделяя пе- ременные, «Ь/и = 4 дд/В, откуда поппе'интегриро1заиия получаем Рис. 34. Изетерни'р = ад«/3 (д«> дз) и аляабати ананасного иыученюг и(д) = ад~, /дЛ ди С„= ~ — /1 = р — = ТГ. 4ад, ~ дд/'„дд т. е. как бы «низкотемпервтурный» характер (С« ни при каких В не выходит на константу). В 34 мы записывали такое поведение как Сг = идВ»; поэтому для энтропии системы сразу имеем д' Рис.
33. Температурная зависинвсть уяельнпа теплеенкпстн'Ст/У (а также энтропии Я/г '= Сг/Зтг) равновесного излучения Я = «3В = У. -аВ . » 4 3 3 Интересный результат в связи с этим мы получим для потенциала В«ббса равновесного излучения 4 1 в 0 = — ВЯ+ртг = 1г и — -ад«+-ад«~ = г(и — ад ) гд О, 3 3 откуда следует, что для равновесного излучения химический потенциал /з =. б/.Ф' (прн В ~ О число фотонов,.
Ф' ф О) тождественно равен нулкк ра где и — константа интегрирования, которая д = 4(а/3)'«'рзи(г (д«> дз) методами макроскопической термодинамики определена быть не может. Этот полученный выше для плотности энергии равновесного излучения результат называется закалам Стефана-Больцзгана (3. Бтегап, 1879; 1.. Во1ьзптапп, 1884). В соответствии с этим законом теппоемкость системы при постоянном С, объеме (калорическое уравнение состояния) ИмеК . ет характерную, кубическую зависимость от д' (рис.
35): Глава 1. Ан<иоиялтняп ипнроаюпинесной втермодиномики ' 'Отметим епге,' что свобпдняв знарГИЯ'СИСтб-' рм( ) мы чн (д,'й') 'совпадает Ь' нашбм случае с пйь ц ом П(д, и): ( 4 й = 'Зг — тт 4' = дг = -рУ = — '-Зà — — --' гГгтд . 3 3 Проведенное нами прелварительное рас- . смотрение позволяет получить несколько больдт ше„чем только термодинамические результаты, приведенные выше. Действительно, обратим внимание на структуру формулы и = ад = рм(В) йгн. о О пг! пттптз Если мы перейдем от частоты иг к безразРие Зб Характлр. изиенения афина мепной ПеРеменной интегРиРовання * = г""/о спектральной. плотности энергии Ри(д) (т.е. положим ы — эд/й),то.йоявлениезазнараяноеесного излучения няк функции ча- Ком ннтеграяа, По ж гыиажнтедя,д", может стоты и я зависимости от значения тем- быть объяснено'только следующей структурой пературы системы я случае д> < дт < д,; спектральной плотности энергии: рн(д) 4и соответствующие максимумы Функции у(йнг/д)огзйгн, где у(х) — некоторая функр (Вг) обозначены как йг = ю,(В,) цня безразмерной частоты, про которую мы знаем, что ана положительна и интегрируема на полуоси О < х < оа.
Добавляя множитель й/с', обеспечивающий правильную размерность всего интеграла (размсрность плотности энергии эрг/смз), где в качестве величины с мы взяли скорость света (как единственную относящуюся к электромагнитному излучению в вакууме величину размерности см/с), получим .
„Мтн — Г("— ,) . Из этой формулы сразу следуют два чакроскопически наблюдаемых эффекта. а) Закогг,снегненил. Вина (тгг 'тгГтеп, (893). Определяя точки нг = йг(д), в которых спектралвная плотность энергии р (д) имеет экстремум (рис. Зб), имеем ~ =3 —,У+ — У'- = — зУ вЂ”. +У' — — -О.
Отсюда следуют два решения: й = О - это точка минимума (так как р ) О), общая ' для всех кривых с разными значениями В, и решение, определяемое соотношением ЗУ вЂ” +У, — — =Ф вЂ” ° О. Так как зто уравнение выполняется при любых д, то аргумент Ы = йгн(д)/В функции Ф(э) представляет собой но зависящую от температуры величину, поэтому 'жд йт(д) = — = совет В, Ь т.е. максимум спектральной плотности энергии р (В) с ростом температуры д ,' линейно смешается в сторону увеличения.частоФы (рмс,зг).
это и есть закон' сме-. шения, Вина. Он лает вазможность использовать равновесное излучение в качестве .. й 5. 7ернадинаничксиие потейциалы радиационного термометра, позволяющего с помощью спектрального анализа определять температуру без непосредственного теплового контакта с системой (например, температуру раскаленных газов и других объектов, удаленных звезд и т.д.).
б) Температурная зависииость среднего числа фатаноа равновесного излучения. Для Плотности среднего чисяа фотонов имеем ОР СО Го(д) Рпс.зу. Завпсппость частоты паксппупа спекцэап»пой плотности энергии р„(В) от гоппер«туры о о — — — оэ~ ды = <кдэ о Для определения коэффициента а (как и постоянной а в законе Стефана — Больцчана и величины х в законе Вина) необходимо располагать функцией У(х), точный вид 'которбй 'устанавяивается уже методами статистической механики (см.
том 2, гл.2 в4) Полученные выше характерные для равновесного электромагнитного излучения результаты не замыкаются рамками рассмотренной частной задачи. Они справедливы для системы из частиц, энергия которых, как у фотонов, пропорциональна первой степени их импульса 3'„= рс = Гии (что реализуется точно для частиц с равной нулю массой покоя и приближенно в высокоэнергетической области, когда Рс Ъ гпсэ), которые не взаимодействуют'друг с другом (или это взаимодействие мало хотя бы в среднем по сравнению со средней энергией поступательного движения Яг) и в системе которых имеется механизм, обеспечивающий возникновение равновесного состояния за время, меньшее (или хотя бы не превышающее) времени существования такой системы'. Подходящие ситуации могут обнаружиться даже и явлениях, относящихся к физике элементарных часгиц, где «термодинамическое» рассмотрение (хотя и на качественном уровне) может высветить некоторые особенности происходящих в подобных масштабах явлений (еше в 1950 г.
Ферми (е. Регш() испольэовал такой подход к рассмотрению промежуточного состояния сталкиваю- шихся частиц очень высоких энергий, в результате чего происходило множественное рождение более легких частиц — я-мезонов). Не будем, однако, похищать сюжеты из других разделов теоретичесКой физики и рассмотрим в заключение чисто термодинамическую часть проблемы равновесного электромагнитного фона нашей Вселенной, принимая гравитац ион ну!о ее часть на веру и излагая ее в расчете на тех, кто еще.не достиг в этом плане уровНя «пешехода». Реликтовое излучение.
История этого вопроса вкратце такова: в 1938 г. американский физик Джордж (Георгий Антонович) Гамов, исходя из теоретических соображений, предсказал существовайие фоноюго (т.е. исходящего не от звезд, туманностей и т. и., а из «пустого» пространства) электромагнитного излучения во Вселенной; в! 946 г. он выдвинул объяснявшую происхождение этого излучения модель эволюции Вселенной (называемую «горячей Вселенной»). В !964 г. в лаборатории фирмы «Белл телефон» была создана новая рупорная антенна, предназначавшаяся зля работы со спутниками связи.
Через год работавшие на ней американские физики Роберт Вилсон и Арно Пензиас обнаружили фоновый электромагнитный шум Вселенной (т.е. просто сяучайно натолкнулись на реликтовое излучение) и с помощью формулы Вина определили его температуру (знавший теорию Гамова американский Глава 1. Яхгиоиовяха иехрогнопичегхбб тариодцнемико 'ас1рофизик Р. Дйкке специально'строИл''антониу'Йля обнарузгения реликтового излучения, но опоздал на полгода). В дальнейшем их результаты были подтверждены и уточнены с помощью земных и спугниковых установок, а сами оии в 1978 г. были удостоены Нобелевской премии.
Остановимся теперь на тех немногих сведениях из теории тяготения, которые нам понадобятся для объяснения явления. В 1922 г. советский физик А.А. Фридман нашел нестационарное решение уравнений Эйнштейна, согласно которому условный радиус Вселенной на ранней стадии ее развития меняется со временем как З -111з (на более позднем этапе, когда излучеиие бу!гет облапать лишь малой долей обшей эиергии системы, закон изменения В изменится на'Л !з!з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
