Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

(6.9) Индекс при ей~ указывает на обратимый характер рассматриваемого кругового процесса. Равенство (0.9), Перейдем теперь к рассмотрению произвольного обратимого кругового процесса. В плоскости р, р (фнг. 6) он изображается непрерывной замкнутой кривой, на которой 48 Гл. Т, Термодиналшаа. Обиеие принципы согласно ц 1, есть необходимое и достаточное условие того, чтобы выражение дд ='-~ (6.10) являлось полным дифферене)иалолк Оно кмеет место в том случае, если количество тепла и(е подведено к системе обратимым путем (т. е. при использовании всей доступной работы). Эта обратимость будет гарантирована, если в(6.10) подставить значение ЫД нз первого начала термодинамики: а(е = АУ +в(И'. Тогда для рассматриваемого простого рабочего вещества вместо выражения (6.10) имеем И7+ рдй (6.10а) Т Таким образом, абсолютная температура, определенная уравнением (6.7а), является интегрирующим д'елителем для неполного дифференциала, стоящего в числителе выражения (6.10а).

Равенство (6.9) описывает процесс, идущий по произвольному пути; однако оно доказано пока лишь для специальной термодннамической системы (гомогенной жидкости). Фактически оно справедливо для лзобой системы, состоящей нз различных веществ в любых фазах н с произвольными степенями свободы (в частности, также электрическими илн магнитными), при условии лишь, что в системе не происходит необратимых процессов (подобных трению, выделению джоулева телла и т. д.). Рассмотрим прежде всего отдельную, скажем (-ю, гомогенную составную часть системы (подсистему) с двумя степенями свободы. Согласно (6.10), выражение (6.10б) является полным дифференциалом.

Здесь Т; — абсолютная температура 1-й составной части, ЫДь — полное количество тепла, сообщенное ей обратимым путем извне или от внутренних составных частей системы'). ') Если число степеней свободы больше двух, то можно, фнксвруя в различных комбппапяях все степени свободы, кроме двух, прпмепять выражение (6.106) для каждого частного процесса.

З б. старье Начало термодина.иики Составим сумму Ы=~>дЮ,.=~ф (6.10в) которая такясе является полным дифференциалом, независимо от того, при помощи каких параметров системы мы будем описывать процесс. Это выражение для суммы проще, чем сумма выражений (6.10б), для отдельных частей системы, так как в (6.10в) члены, учитывающие тсплообмен между составными частями системы, сократятся. Действител>и>о, поскольку эти процессы теплообмена, по предположению, явлаются обратимыми, температуры подсистем должны быть одинаковыми (обыкновенная теплопроводность исключена). Следовательно, в случае двух подсистем, приписывая им индексы >' н >', имеем: Т> = Ти н а>(>> = — о(>> (колнчество тепла, подведенное к >-й подснстсме, есть количество тепла, отведенное от Г-й подсистемы).

Следовательно, вклады таких процессов топлообмена в сумму (6.10в) взаимно уничтожаются. То же самое справедливо для всех процессов теплообмена при равновесии фаз, которое, как подчеркивается в $ 8, п. 2, предполагает равенство температур л>обых двух фаз.

Таким образолс, мы илееем право считать, что а>>,е> есть количеппво тепла, подведенное извне к >-й составной части системы. Если >-я и Г-я подсистемы отделены друг от друга адиабатической перегородкой, то неравенство температур Те п Тн не исключено. Однако в этом случае была бы необходима довольно искусственная конструкция системы нз отдельных компонент. Обычно имеют дело со случаем, когда одинаковы не только температуры всех частей ка>кдой отдельной компоненты (Т; постоннна внутри >-компоненты), но н вся система в целом характеризуется некоторой постоянной температурой (Т, = Т).

Тогда сумма (6.10в) принимает вид ы=-,'х е>=7. (6.10г) что тождественно выражению (6.10). Здесь величина е>(е, так >ке как и в выражении (6.10), имеет смысл коли- 1'л. 1. Термодинамика, Обюцие иуинцикы в г аЕ.„ Ва ВА~ ) Т л (6.11) Подчеркнем, что выбор пути интегрирования в уравнении (6.11) не имеет ничего общего с тем, каким образом в действительности система переходит из состояния А в состояние В.

Реальные процессы всегда, по крайней мере частично, необратимы. Уравнение (6.11), однако, требует, чтобы выбранный переход был вполне обратимым. Выбор пути процесса не имеет значения, так как энтропия В является функцией состояния, и, следовательно, интеграл в уравнении (6Л1) нг зависит от пути интегрирования. В качестве простейшего примера такого расчета рассмотрим расширение газа в пустоту, о котором шла речь в $5 (см. фиг.

3). Точки 2 и 8 на фиг..З соответствуют состояяиям А и В в уравнении (6.11). Поскольку расширение газа в пустоту происходит адиабатически (АД = 0), имеем для реального перехода ~ у-о независимо от тех отклонений от (вычерченной пунктиром) изотермы, которые могут быть обусловлены турбулентностью. Напротив, для мысленно выбранного обратимого процесса, если избрать путь вдоль изотермы, имеем ИУ = О, ЫДевр, — — с(У+ рггу = рс(У. Вычислим теперь изменение энтропии одного моля газа, расширяющегося чества тепла, подведенного ко всей системе извне обратимым путем. Этого достаточно, чтобы стала понятной справедливость выражения (6.10) для любой термодинамической системы.

Благодаря выражениям (6.10), (6.10а), а также несколько более общему выражению (6.10в) теперь непосредственно установлено существование внтропии как функции состояния и тем самым доказана первая часть второго начала термодинамики. Вычислим разность энтропий двух произвольных состояний системы Л и В при помощи уравнения Э 6. Второе начало тор.иодинатики в пустоту. Согласно уравнению (6.11), получаем з з йЭ = Юз — Эз = ~ — = Л, — = Л 1п — *.

— з- з= т— з з Конечно, то же самое значение пЮ получится, если вместо изотермы выбрать путь 23+3 1 (см. фиг. 3). (Это можно проверить и непосредственным расчетом.) Отметим также, что при предварительном вычислении энтропии в уравнении (5.10) расчет был произведен для случая обратимого подвода тепла (в смысле, определяемом выражением (6.10а)). То же замечание относится и к расчету в З 9, п. 2, для случая газа Ван-дер-Ваальса. Разобранный пример ясно показывает, что существование и значение энтропии в конечном состоянии зависят только от самого этого состояния, панич бы путем(обратимым или необратимым) оно ни достигалось.

Значение энтропии (в нашем примере Юз) определено с точностью до постоянной величины (Юе). Заметим еще, что переход от выражения (6.106) к выражениео (6.10в) предполагает аддитивность энтропий отдельных составных частей системы. Зто положение лежит в основе классической термодинамики. Однако оно не является обязательным с точки зрения статистики (см. з 31, п. 1). Назовем систему замкнутой, если она не подвергается внешним воздействиям, т. е. если ей не сообщается никакого количества тепла и она не совершает работы. Энергия такой системы имеет постоянное значение, так как ИИ'=0 и ЫД= О.

Согласно уравнению (6.11), энтропия такой системы также постоянна: эв= Юх. (6.12) Это обстоятельство является парадоксальным и на первый взгляд противоречит второй части второго начала термодинамики. Причина этого парадокса лежит в том, что в выражении (6.10б) и в последующем изложении мы сузили понятие «термодпнамнческой системы», исключив все необратимые взаимодействия между ее составными частями и предположив, что имеет место термодинамическое Равновесие.

Действительно, для вычисления разности 52 Г.н 7. терлмбанамива. Общие вринциэн энтропий в уравнении (6.11) это было необходимо. При этом, н только прн этом, условии справедливо утверждение, содержащееся в равенстве (6.12): энтропия замкнутой еиспгемы постоянна, если система находится в п1епловом равновесии. 3. Вторая часть второго начала термодинамики. Предположим теперь, что из двух машин М и М', рассмотренных в п.

1, одна, например М', является необратимой. Тогда можно осуществить соединение машин, о котором говорилось после неравенства (6.3) (М работает в качестве холодильной машины между томи же тепловыми резервуарами, что и ЗХ', н приводится в действие машиной ЗХ'). Рассмотрение работы этого агрегата позволяет доказать невозможность неравенства с' > с. Обратное соединение машин в данном случае осуществить нельзя.

Поэтому вместо равенства (6.4) теперь имеем З > ~7'> (6.13) причем равенство с= с' такяее исключается в связи с необратимостью машины ЛХ'. Обратимый процесс Карно имеет больший коэффициент полезного действия, чем любой необратимый, прогсходящий между теми же тепловыми резервуарами и дающий ту же работу. Таким образом, необратимый процесс менее экономичен; он требует затраты большего количества гореочего материала для выполнения той жо работы: Щ > ~г Из неравенства 1 — и < 1 — с' при сохранении данного в уравнении (6.8) определения абсолютной температуры и согласно формулам (6.8а) и (6.2) вытекает: Те(Т,= = ь7,Я, ( Д,'Щ. Отсюда следует, что е ~т ' (6.13а) Для бесконечно малых циклов Карно вместо равенства (6.8б) получаем бе; <.е; т, ~т Точно так же для произвольного кругового процесса, полностью пли частично необратимого, если считать отводи- б б.

Характеристики

Список файлов книги