Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Согласие между значениями, найденными этими двумя способами, подтверждает правильность молекулярных моделей, на которых основываются формулы статистической механики. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. МиПоПанй Н. Р., Ргос. СашЬг. РЫ1. Яос., 24, 280 (1928]. 2. НсггЬссу 6., Мо1есп1аг Яресгга апй Мо1есй1аг Яггпсгоге, 2пй ей., чо1. 1, Ярестга о1 01агош(с Мо1ссп1ез, Рг(псегоп, 1950. (Имеется перевод первого издания: Г. Гсрцбсвг, Спектры н строение двухатомных молекул, ИЛ, 1949.) 3.
Рнксг К. ни бойни И'. Н., 1опгп. СЬеш. РЬУз., 10, 428 (1942). глАвА 5 Идеальные релятивистские классический и квантовый газы П. зуандсберг * 5.1. Система одинаковых невзаимодействующих частиц с мас- сой покоя ш„находится в кубическом ящике с ребром А. В одно- частвчпом квантовом состоянии ()„у„)'„о) энергия равна в (у„уз, )з), а компоненты пмпУльса составлЯют Р„=-- (ЬаЬ) 7„ (г = 1, 2, 3), где 1 принимает целочисленные значения, которые це могут все быть нулямн.
Химический потенциал р записывается как у)зТ, где Т вЂ” температура системы. Коли спиновый индекс о принимает д значений, то говорят„что каждое одночастичное состояние имеет спнновое вырождение, равное д. а) Доказать, что Р =пйтй ~'.,"., ~ )п(1+)1(1„1м )з)), за зз за где з) = +1 длзв фермнонов и т) = — 1 для бозонов н Г ()о 1„)з) = ехР ( У— Г ва а уз)1 б) Используя приближение непрерывного спектра и считая энергию е аависящей только от величины импульса р, показать, что давление в системе равно )р(внз зв Ззз ) е р (в))ат — у)+ в=в в) Показать, что в нерелятивистском случае ~~в ( )з ) (г з ) в соответствии с задачей 3.12, п. «ез.
г) Принимая в релятивистском случае ез = р'с' + в'„где еа = т,сз, показать, что 4нв 1 (Ез+ 2Ев~)агз а)Е Зазаз „1 ехр((К+ввУ)ат — у)+И е где Е = е — ев. * Р. Т. Авва)азегщ Верагзшеаз о1 Арр11еб Маз)звшаз)св ава) Мазйшпа11св1 Рйув1св, 1)в)тазе! Зу Со11еае, Сага)11. Идеальные релктивистсиие классический и кеаитавий гази 157 д) Исходя пз соотнопгения 11 =:= 1» (др!д)г)т (задача 2.8), показать, что среднее число частиц в рассматриваемом случае равно (и) =- — ) 4лсв Г (К-(-ео) (Ег+2Езо)~»3 йЕ агсг,) ехр((Е+зо)12Т вЂ” 7)+1) " о Решение а) Согласно задачам 2.4 и 3.12, для болыпой статистической СУ31МЫ ИМЕЕМ Б .—.- Я ехр ( " ' ' ) где суммирование ведется по всем ггногочастпчныгк состояниям системы.
Длн системы, находящейся в типичном состоянии полное число частиц и полная энергия определяготся соответственно соотношениями (случай 11 =-1, = )3 = О исключается) Хг = 23' ~~~ ~~~~ ~ пе(у„)'„)'3 о), а=1 11= — г» Н вЂ” »ю )г= ю и'1= л'.3 Х з ()1» )2,!3) п1 ()1» )2 )3, 0). а дь»г,гз Следовательно, й(ногочастичное состояние 1 для неразличимых частиц могкет быть задано набором чисел заполнения и; (1, О, О, ог),) пг(О, О, 1, о,), и; (О, 1, О, о,),.... (5.1.1) Эти числа 121 ()„у„)„о) могут иметь значения О или 1 для ерермионов и О, 1, 2,..., ао для боэонов. Суммирование чо 1 в этом случае эквивалентно суммированию по всем возмогяпым значениям чисел (5.1.1).
Следовательно, 1 или ю 1 или Х Х " ПРОПП(((1,).,).))""* "" ". и11,о,о, Ы=о 13,1,о,11=2 а Н»г»3 Угпгожение производится,' по всем квантовым числам. Выполним сначала суммирование -. =ПППП(1+ЧГ()1 72 )3))" П (1+ Чд()1 )2» )3))из а 1» гг»в гь )г, 13 Следовательно, Рп =- И 1п Я = г)йТЕ ~ ~ ~ )п (1+ 2)2 (11, )г, )з)). (5 1.2) )1 рг 33 б) Мы можем положить Х,~~ ~ч'"„.. ~ ЯАЬ»[1 =- — „, ~ ° Рз ФР.
гг зз гз а Применяя это выражение к уравнению (5.1.2) и учитывая, что и = П, получаем гг Р= — "'„'," ~ [.[1+Ч((Р)[ФФ, о где» рассматривается как функция Р через ее аависилшсть от у„: ехр [у ВТ.) Искомое соотношение получается интегрированием по частям. в) Имеем соотношение р (е) .=- (2тое)г(г, так что давление равно 4щ ( (2мо) ~гоогдо Заз,) ехр (о/ЬТ вЂ” у)+ »1 о откуда следует искомый результат. г) Ил»еелг соотношение ср (з) = (е' — е,')»»г, так что с [р(е)[з = [(е — тосз) (е+ шосг)[ и = Е и (Е+ 2ео)»г = (Ез+ 2Еео)'»г.
Это дает искомый реаультат. д) Искомый результат получается путем интегрирования по частям. 5.2. Пусть В Ь„= и" »»Е (г =- О, 1, 2, 3, 4), (Ел+ 2Еоо) ' г ехр (Ыу»Т — а) -(-Ч где и = ((» — тос-',ЬТ, и пусть В =: 4я»ф3(»зсз, а) Получить соотношения: (и) = ЗВ [Ез+ ЗзоЬз+ 2з,'Л»[, Ри == В [1»+ 4зоЛз+ 4е,'Ег[, ТЯ = В [4Л»+ (13зо — ЗакТ) Ьз+ (10ео — ЗсйТ) зоЬз — би[гТзгЬ»[, (7 = ЗВ [Ез+ ЗзоЬз+ 2еойз[г где И вЂ” внутренняя энергия' без учета энергии, обусловленной массой покоя частиц. Идеальные реллтивистские классинеский и квантовый вазы ТЗ9 б) Проворить справедливость соотношения ЕŠ— ТŠ— Р =- (р — ь,)(п) и обсудить этот результат.
в) Показать, что эта система не является идеальным квантовым газом, определение которого дано в задаче 1.9, п. «д». г) Система называется рлыпрйбарпиеской, если ее давление превышает энерппо пе единицу объема (включая энергию покоя). Показать, что в данном случае это не имеет места. [Коли принять во внимание зван»содействие, система может стать ультрабарической ').! Решение а) н б) Умножил подынтегральпоо выражение в соотношении длн (и) в задаче 5.1, л. «д» на (Вг + 2ео)н»7(Ег 7- 2ео)"', т, с. приведем знаменатель к такому виду, чтобы его можно было выразить через Вз. Таким путем находим (и) н Рг.
Иа выражения для Рг, используя соотношение Я = г (дР)дТ)„,и (см. задачу 2.8), получаем выражение для энтропии Т$ В Е Г (Ег+ЗЕ'о) 7»Е~хр(' сс Е()сТ) йЕ »Т ) [ [ехр(Е7)сТ вЂ” и)+чр о — и)сТ (Ег+2Еео) згехр ( — и+Е77сТ) НЕз [ехр (Е7»Т — и)+з1]г о = В [4Е«+ 19еоЕ з+ 10еоЕ г — и)сТ (ЗЕз+9еоЕг+ бе„"Е з)). Удобно составить следующую таблицу коэффициентов: Ль Ез 7'г 7)ч 4 7Заз — снгвТ 10еьз — 9ссдтео — 6изсТез' 0 З[ь Ого[с Овзи Ра  — 4ео — 4е„' О (к) ео В 0 — Зео — 9ерг — без ([ь — ео) (к>+ Т — )а' 3 9ео 6ео 0 ') См.
работу П[. Последняя строка дает значения ЕЕ)В, указывающие, что релятивистская теория приводит н перенормнровке химического потен- 160 Гииви 5 циала, а именно р заменяется па о' - р — гл,с'. 31ожпо взять р из нерелятивистской теории и перекормировать внутреннюю знергию, т. е. перейти от ХХ к ХГ = ХХ + зи(а), где дополнительный член обусловлен массой покоя частиц. в) Ни соотношение Рп = дХХ, ни соотношение Ри = дХХ не удовлетворяются при постоянном д.
г) Вычисление величины ХХ -к з„(п) — Рр приводит н следующей сумме положительных членов: В (2Хч+8зиХз+ 11з,'Ха+бе~Хо), 5.8. Используя уравнения предыдущей задачи, установить следующие результаты: а) В нерелятивистском пределе, когда и = лгис'ИТ )) 1, „~~т~и В ультрарелятивистском пределе, когда и «1, Х „ж (йТ)" Г (г) Х (и, г — 1, -~) Обсудить смысл этих приближений. б) Использовать зги приближения для установления результатов, приведенных в следующей таблпце: и » 1 в) Обсудить приближение е" (( 1, используемое прн условии 'и )) 1, и показать, что опо приводят к выражопкю (Здесь мы опять пришли к результатам задачи 3.12 для идеального классического газа при 3 = "lт и з = 2 соответственно.
Таким образом, термодинамические свойства ультрарелятивистского ферми-газа весьма похожи на термодинамичесние свойства излучения абсолютно черного тела. Важное отличие, однако, заключается в том, что во втором случае а = О. Теорию можно развить далее, находя выражения для других величин т).) г) См. работу 12). (п) ид ( ) 1 ~о.—, -л) 3 ( 2лгиоЬТ )~Ы ( 3 ) и«1 1йтиз 3лих ~ — ) 1(и, 2, ~) (ьи ) ьт 24лидЬТ ( — ) 1 (сс, 3, гн) — 11 1 3 Идеал»нас релятивистские классический и квантавий гаси 26( Решение а) Интеграл равен св Т,„= (йт)' (22+ 2ки],'2 [ехр (я а)+,]] ' 8 (5.4Л) а' — р (а+ ч.
Ь), ч.Ь'=р (ч Ь+ — а) ч х Ъ'=ч ХЪ, (5.4.2) где р' = (1 — ов!с») па, ч — скорость движения начала отсчета системы 1 в системе 1' и с — скорость света. а) Доказать обратные соотношения (5.4.3) (5.4.4) а='р (а' — ч.Ь'), ч Ь= р (ч Ь' — — а') . б) Определим инерциальную систему отсчета 1«, считая вектор Ь равным нулю, Ьа = О.
Пусть начало системы отсчета 1» имеет скорость ис в системе 1'. Обоаначая соответствующее значение [] 12-038« Квадратный корень в знаменателе в двух рассъватрнваемых приближениях равен (2хи)м' нли х. Приближение и = твсМТ )) 1 соответствует случаю нли низких температур, нли тяжелых частиц, илн тому и другому вместе. Поэтому тепловые скорости частиц достаточно малы и справедливо нерелятнвистское рассмотрение. В пределе' тв-ьО, однако, при любой температуре выше абсолютного нуля частицы могут иметь высокие тепловые скорости; такую ситуацию можно назвать ультрарелятнвистской. б) Искомые результаты являются простым алгебраическим следствием п. «а» и задачи 5.2.
в) Приближение предполагает «невыроясденность» в том смысле, как это понимается в отношении газов в статистической механике. Это означает, что тссв — [ь )) ЬТ илн и — [ьlйТ )) 1. Так нак условие и )) 1 задано, то ограничение, налагаемое на [ь, состоит в том, что [ь может иметь любой знак, но для положительных р должно выполняться условие [2%Т (( и. 5.4. Четырехвектор (сЬ, а) в инерциальной системе отсчета 1 и четырехвектор (сЬ', а') в нкерциальной системе отсчета 1' связаны следующими соотношениями: т62 Глава о через р,о, доказать, что а'=р ао, (5.4.5) (5.4.6) оо а'= ао + Ь'. ра (5.4.7) в) Пусть 1; — система отсчета, движущаяся в системе 1 со скоростью в + Нч так, что (а, Ь) в системе 1 соответствует (а, + Нао1 Ьо + аЪо) в 1;. Предполагая, что для 1 и 1; выполняется уравнение типа (5.4.7), получить соотношение — аооо ~ — ) = Ь' Ые' рю (5.4.8) н, следовательно, соотнопаение Ыа' = — '+ и" в2Ь'. = в.
(5.4.9) (Эти результаты применяоотся н физическим системам в после- дующих задачах.) Решение а) Из уравнения (5.4.1) подставляем ч Ь в уравнение'(5.4.2). Аналогично находим а из уравнения (5.4.2) и подставляем в уравнение (5.4.1). б) Уравнения (5.4.5) и (5.4.6) непосредственно следуют из уравнений (5.4.1) и (5.4.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
