Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Это выражение не содержит расходимостей и не приводит к трудностям, связанным с размерностью. Выполняя дифференцирование, указанное в условиях задачи, находим искомое среднее значение. ИСПУСКАНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ 3.19. В некоторой системе фермиопов имеют место переходы из группы г одночастичных состояний Х (зг) в группу Х состояний Х (зХ) со скоростью вы= ~х~ ~(Р«Еыдх Р«Ьлдг) ггер х[п'г где рг — среднее число заполнения квантового состояния Х, (1 — дт) — среднее число заполнения квантового состояния Х и Егт — вероятность перехода в единицу времени. Стати«тине«как механика идеалысих систем а) Показать, что для свободных фермионов, находящихся в равновесии при температуре Т (относящиеся к ним величины будут отмечаться индексом нуль), справедливо соотношение где (»е — химический потенциал, соответству»ощий состоянию Х.
б) Пусть Х, является числом заполнения фотонами моды колебаний и, причем ес» = Ег — Ет Считая справедливым результат и. «а», показать, что величина У,ьт определенная соотношением У =~Л ( — -1)~ имеет значение, равное единице. в) Предполагая, что выполняется результат п.
«а» и что Юге = (Юге)а для всех вероятностей перехода, доказать, что где Ег — энергия состояния Х. г) Делая такие же предположелня, как и в п. «в», показать, что отношение скорости обратных переходов р» к скорости прямых переходов рп равно [Опи равны в случае теплового равновесия в соответствии с принципом детального баланса.] Решение а) Записывая х, = ехр ((Ег — (»г)екТ), имеем, согласно задаче 3.12, 1 1+ Так как максимальное среднее число заполнения фермиоками любого состояния Х равно единице, имеем (Ч) =1 — (р) =,+, хе Отсюда следует искомый результат.
б) Излучение, находящееся в тепловом равновесии, соответствует излучению черного тела (см. задачу 3.14). Следовательно, применяя п. «а», получаем ,-=,„(Ь,',„Т) 1(' Р 1 Е™+," ') — 1. Глава 8 т«Е Иа задачи 1.21 следует, что при тепловом равновесии все химические потенциалы равны.
Это приводит к требуемому результату. в) В тепловом равновесии результирующая скорость переходов Х -» Х равна нулю. Следовательно, так как в равновесии ««т = = )сп то г) Отношение скорости обратных переходов к скорости прямых переходов равно Егт рт «т Ег — Ет+ит — Ет+ Ет — ит — = — — = ехр гтг тг рт ат Отсюда следует, что итт= ~~ Р«ВтгУг (1 — ехР т '). т,г Таки»т образом, итт == р;; — ртп где РП е . тлт тот р,; тор Эти результаты находят применение в теории рекомбинации в полупроводниках.
Величины )ст являются «вынуждающими силами» для переходов; они далее будут называться кваэифермиевскими уровнями; см, гл. 16. ' 3.20. Скорости вынужденного и спонтанного излучения и сна+ рость поглощения фотонов за счет одночастичных переходов между состояпнями 1 и Х в обозначениях задачи 3.19 равны соответственно ио»от ь— е ВтгМчртдг, иои ан Атлрту», иоогг — Вг»Х. рвут Здесь У соответствует более низкому уровню энергии, и мы будем считать, что Втт = тВтт)о Атг = 1Атг)о. В этих соотношениях можно использовать квантовомеханический результат, согласно которому Втг — — Вгт. Заметим, что скорость спонтанных переходов не зависит от Лт,, а) Исходя иэ задачи 3.19, показать, что Атг = В г.
б) Показать, что и они — иго си иг — ит+ьч) иои ч( ехр йт Статистическом механика идеал»них систем в) Показать, что отношение скоростей прямого и обратного переходов равно ре — рг+Ь + ехр г) Показать, что последний результат согласуется с результатом задачи ЗА9, п. «г» только в том случае, если ноле излучения представляет собой поле излучения черного тела прн температуре Т.
(Все зги результаты имеют практическую ценность: опи применяются в теории полупроводников (задача 16.3) и в теории лазеров (задачн 15.6 — 15.8).) Решение а) В рассматриваемом случае в тепловом равновесии скорость равна нулю, т. е. (Вшй',а+ Аге) (Реде)о = Всяко (Рея~)о Отсюда следует, что ( луч«где ) «с Асс Рг«х lо ' ссге чо! Применяя результат задачи 3.19, п.
«б», находим В,е = Аге. б) Отношение результирующей скорости вынужденного излучения к скорости спонтанного излучения равно мшм~чдг«е (1 — Ре«ВР««о) хс (1 ехр ~г е И~И ) В„о,«, . ( — ехр =Х,(1 — ехр~~ ~~' ' ). в) Скорость прямых переходов равна Все (Л' + 1) ргою Скорость обратных переходов равна Вг«Лс,рог. Следовательно, искомое отношение есть а,— о, +ьч Ф,+1 ' «Т г) Для излучения черного тела Результат аадачи ЗЛ9 применим в частном случае, когда В„-„Є,+1), В =В Л' 3.21. В задаче 3.20 величина (Дс,)о считалась известной, так . как был использован результат аадачи 3.19, и. «бю Предположим теперь существование трох скоростей, причем величина (дгч)о М8 Глаеа 3 и не зависящие от температуры вероятности переходов Вы, Апн Вот неизвестны. Предположим также, что фермионы совершают переходы, для которых Ег — Еэ = Ьт, и что система находится в равновесии при температуре Т.
а) Показать, что В«э = Вш, считая, что (Лг,)о — г. оо при т-Ф оо б) Принимая закон Вина (Дг,)о тв ехр ( — Ы)«Т) для о — г. со, показать, что — т. Агх а Вьг (Эти соображения были использованы в работе Эйнштейна [5), в которой было установлено существование спонтанного излучения. Введенные здесь коэффициенты А и В называются ноэффиг)иентами Эйнштейна.) Решение а) Пусть хьг = ргйг!рог. Тогда Аг.т/Вьт "=(а„вгНВ, )-1' Из задачи 3.19, п. «а» следует, что при равновесии Ьт (хы)о=ехр ЬГ * Следовательно, при Т вЂ” 1- оо величина (хтэ)о стремится к единице, и мы получаем искомый результат.
б) Находим А«э/Вьг т)о ехр(ьт7ЬТ) — 1 е откуда следует искомый результат. ОБЩИЕ РАБОТЫ 1. Игаппоег В. Но 81а«1в«1са) РЬув(св, Нечг е'отЬ, 1966е 11*. Кубо Р., Статистическая механика, кзд-зо «Мвр», 1967е 111*. Терлецкий Я. П., Статистическая фвзкка, М., 1973, ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Ьапб«Ь«гб Р.
Т., ТЬепаойупаш(св кч«Ь 1)пап«пш 8«а«1вмса1 111пзаеа«1опв, Хек ТотЬ, 1961. 2. ЪапбеЬегз Р. То Мо1ес. РЬув., 6, 341 (1963). 3. Иоэй Р., О'Рпгуег Х. Уо Мо1ес. РЬув., 6, 573 (1963). 4. Сгиые В. К., 1ошп. РЬув. СЬеш., 74, 405 (1970). 5. В1п гет А., Апп. РЬув., 18, 121 (1917). ГЛАВА 4 Идеальный классический газ многоатомных молекул гТ. Вормалдо ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА 4.1. Согласно задаче 2.2, полная энергия Е ансамбля из Ут' систем описывается соотношением Статистическая сумма 2 одной системы имеет вид 2= ,"', ехр( — — ~т ) о 1 где еу — энергия у-го квантового состояния.
а) Дан ансамбль систем, каждая из которых обладает уровнями энеРгии виДа епп + зоа + з,,„, гДе Ь У, Уо обозначают тРи существенно независимых спектра. Покааать, что полная статистическая сумма Яооао может быть записана в виде произведения г = г, )Я,мг,м б) Для 1 моля идеального классического газа, заключенного в сосуд с фиксированным объемом Ф", согласно аадаче 3.5, трансляционная статистическая сумма имеет вид где 1 — внутренняя статистическая сумма для отдельной молекулы и Аг = Хо.
Показать, что теРмодинамический потенциал и энтропия в расчете на 1 моль газа определяются уравнениями б = — АгойТ ( ~ 1п Т + ~ 1п М вЂ” 1п Р— 3,6605 ~ — Л оУоТ 1п 1 (Т) Е = А'оУо ~ — 1п Т+ — 1п М вЂ” 1п Р- 1,1605) + +У!УоУо '()пу(Т) + Т зт ], где давление Р выражено в атмосферах и М вЂ” (молекулярный вес газа.
11 атм = 1,01325 10' дин см '.1 о С. Х. оуогтаЫ, БоЬоо1 о1 СЬош!зету, Бв!тмоау о1 Вт!ето1, Вт!е!о1. 120 Глава й в) Можно ли ожидать, что зти формулы будут справедливы при всех температурах и давлениях? Регление а) Полная энергия .Е системы может быть записана в виде суммы различных членов: Е = еп, + есм + еою поэтому полная статистическая сумма имеет внд / — епп — есмс — еыга1 ---=~-р( ' кт ) ссе где с, / и й — индексы уровней энергии спектров (1), (2) и (3) соответственно. Тогда Хне,= ~~~ ехр( е'пс ) у ехр ( '"') ~~ ехр ( см» ), с с е так что 2нолн = 2<«Аг>Есе> б) Сначала вычислим свободную энергию Р= — йТ1пЕл: 1п Яс«=1п — + — Лс 1п „+Л' 1п 1с+Лс1п с (Т). Применяя формулу Стирлинга 1п ЛС! = Л 1п с«' — ЛС (задача 2.11, п.
«6») и полагая М = п«Лс и «' = Л'йТ/Р, получаем — ~ = 1+ — 1п ( — ) + — 1п й — 1п (1,01325 ° 10') + + — 1п Т+ — 1и М вЂ” 1п Р + !и с (Т). 5 3 2 2 Подставляя Л' = ЛС» =- 6,0225 10" моль ', й =- 6,6256 10 гг эрсс с и й = 1,38054 10 'е эрг.К-', находим Р= — Л/дсТ ~ — 1п Т+ — 1п М вЂ” 1п Р— 2,6605 ) — №~сТ1п с (Т). Наконец, 6 = Р+МДсТ, так что 6= — 1«ейТ ( —,1п Т+ — 1п М вЂ” 1п Р— 3,6605 ~ — ЛсейТ1п с (Т). Выражение для энтропии получается из соотношения 8 = = — (дб/дТ)г, с«. Замечая, что производная члена Т е/«1пТ равна /г 1п Т+ /г~ имеем Я = Л'вй ( — 1п Т + — 1п М вЂ” 1п Р— 1,1605 ) + +Л/ей(1п с(Т)+Т в) Из полученной формулы следует, что при стремлении Т к нулю энтропия стремится к — оо, тогда как опа должна стре- Идеал»май классический еае мноеоатомних молекул »21 миться к нулевому значению, отвечающему системе, находящейся в одном квантовом состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
