Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 15
Текст из файла (страница 15)
б) Среднюю скорость (у) = ( — '.".')"', в) Дисперсию скорости ((р — (у))') аа — '„' (3 — — „' ) . г) Дисперсию, или среднеквадратичную флуктуацию, кинетической энергии ) з (()>з ()>з))з) 8 (йу )з д) Наиболее вероятную скорость г>а ° ( — ) 83 Статистических механика идеальнее систем Решение а) (У )=4я( — ) ~ У"'эехр( — —,)е(У= о О «и+За Так как интеграл в правой части равен Г ( 3 ), получаем искомый результат. б) В и.
«а» нужно положить ~=1. в) (Уэ)= —, ЗйТ <(У (У>)»> <У» 2У <У> .( (<У>)х> <У»> (<У>)» ЗйТ 8'хТ ЬТ у 8 т т лю~ т 1 и! г) Искомая дисперсия равна ((ф У вЂ” 6 У~)) ) =( т ж) <У вЂ” 2 <У >+(<У >) >= -(Ф-)'(< '>-(< '»') =- = — й т — ( — йт) =- — (йт) . д) Вероятность имеет вид )=АУ .р( — — т) Следовательно, иа условия экстремума ар~ЮУ=О инеем А (2У У',,Т ) ехр( ™„,т)=О, откуда вытекает искомый результат. З.З.
Первоначальное доказательстпво Максвелла. Пусть величина 4яУ»я (У') ЫУ предстагляет собой вероятность обнаружения молекулы газа со скоростьи>, лежащей в интервале (У, У + ИУ). Здесь я (У') — некоторая дифференцируемая функция, внд которой не аадан. Получить распределение Максвелла по скоростям, предполагая, что распределения вероятности для трех декартовых компонент вектора скорости а) независимы и б) идентичны. 6* 84 Глава 3 Решение Пусть Г (Уа) — плотность распределения вероятности для хкомпоненты скорости. Тогда можно положить д (1'2) = д ($7,' + 17' + 17,') = 1 (Р„') 1 ((Г,') 1 (17,').
Из этих двух выражений для д(1сг) вытекает, что и что ( зе ) е!(Ел) Следовательно, 1 ЕХ 1 д1 (Глг) — — (— = — 1). Е Л'г ((уа) Е лг Величина р может аависеть только от г'„, но аналогичные результаты справедливы для 1'„и 1с,. Таким образом, р не зависит от компонент скорости. Отсюда делаем вывод, что Г (1",) =- ехр (сс — рФ'„г), где и — постоянная интегрирования. Окончательно имеем д ( г г) = ехр (Зсс — р гг). Используя нормировку распределения 1 4я( гд(Р2)с(17 -1, Ъ приходим к распределению Максвелла. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 3.4. Каноническая статистическая сумма в классической статистической механике выражается через интеграл по фазовому пространству, а не через сумму по квантовым состояниям.
Действительно, каждое состояние задается точкой в пространстве, осями которого янлнвотсн обобщенные координаты д„...„ив и обобщенные импульсы ры..., рр Благодаря множителю дЬ т, где постоянная Ь имеет размерность действия (импульс Х длина), Е является безразмерным числом, а каждое состояние оказывается д-кратно вырожденным. Ксли Н вЂ” гамильтониан системы, то вероятность обнаружения системы в элементе в(т фазового пространства пропорциональна ехр ( — НисТ) Йт, и Я=ЕЬ ~ ~...
~ ехр ( — — ) вгрг...с(др 85 Статистические механика идеальных систем а) Показать, что для одной частицы массой и, движущейся классически и нерелятивистски в свободном от полей резервуаре объемом о (при д = 1), Т й-зо (2ящ/сТ)г/г где Т вЂ” температура этой системы. б) Для и различимьгх частиц, движущихся пеаависимо, но с точечным взаимодействием, как в п. «а», в классгическозг случае должяо быть справедливо равенство 2 =2..
и Объяснить качествеяно, как изменится Х„, если частицы являются неразличимыми. в) Записывая Х, в общем виде Я, — --- (Яг/и)", где /„ зависит только от п, рассмотреть ограничения, налагаемые ка величину/„, при условии, что свободная энергия системы должка быть экстенсивной величиной (ср. задачу 1.20). Показать, в частности, что для больших гг классическая статистическая сумма (Х„)ни удовлетворяет соотношению (8 )к,, г„= — '. и! г) Для системы, определенной выше, получить закон Бойля и показать, что его впд яе зависит от значений параметров д, й гг /и. 1Поправочный множитель /„нужен из-за того, что частицы в простом газе неразличимы.
Введение этого ггкоягителя имеет интересную историю. При квантовостатистическож подходе такие поправки не нужны; см. задачу 3.12.) Решение а) Примем потенциальную энергию частицы равной нулю. Тогда гсг Н= —. зт Интегрирование по трем координатам, в качестве которых удобно выбрать декартовы координаты, дает множитель о. Следовательно, А=/г О ) ~ ~ ехр( — "' 2 ЬГ 1) ((Р г/рг"Рз= =/г зо(2т/сТ) ~г[ ) ехр( — хг)с(х) = Ь-зо (2япг/сТ) гг б) Коли К~ — кинетическая энергия»чй частицы, то «»-»» и" р' 1+»+ "+ )К,» К К ...+К ьт =й»"и" ~~ ехр ( — — „' ) «(р«Йр,др»~ = Я~ Для неразличимых частиц значение Я„должно быть меньше.
Напри»«ер, если л = 2, указанный выше интеграл дает одинаковый вклад как при К1 - — — 1 эВ и К, =- 2 эВ, так и при К, = 2 эВ и К» —— «эВ. Для неразличимых частиц нужно учитывать только один такой вклад. в) Согласно задаче 2.4, имеем Р„= — И)пг„= — И 1п(2«„) = = — 1 Т и ( )п (и«„) + — 1п Т + — 1п ( — ) ) . Величины г"„, и и о являются экстенсивными; температуру и постоянные члены можно рассматривать как интенсивные величины. Отсюда следует„что функция «„не может равняться единице; она должна быть такой, чтобы величина о«, была интенсивной. Поэтому можно полоясить Р где Р— некоторая постоянная.
Отсюда следует, что поправочный множитель для Е„равен а эта величина для болыпих и аппроксимируется значением 1/и1, если Р интерпретировать как основание натуральных логарифмов. г) Из решения задачи 1.7, п. «а», в которой рассматривается замкнутая система с п = сопеС, следует, что давление имеет вид 3.5.
Сохраним обозначения задачи 3.4, Классическая статистическая система находится при температуре Т и описывается гамильтонианом ХХ=К(р,..., рт)+М(д, ..., В), где К вЂ” кинетическая энергия и М вЂ” потенциальная энергия. Пусть Рррр~ ... др«представляет собой вероятность того, что импульс лежит в интервале (р„р, + др ), а Р Ь~... Ид~ — соответствующая вероятность для координат.
Сееаи~иетичеехая механика идеальных систем 87 а) Докааать, что =Вехр ( — .т ) К Р~ — — Сехр ( — — „), М где В и С вЂ” нормировочные постоянные. б) Проверить формулу для Рю применяя ее к простому газу иэ и различимых частиц массой т, импульсы которых могут изменяться от †до +со, и показать, что В = (2япйт)-е13 Показать также, что распределение Максвелла по скоростям, приведенное в задачах 3.1 — З.З, может быть получено этим методом.
в) Используя задачу 3.4, показать, что каноническая стати% стическая сумма для у = 1, 1 = Зн при К = ~ р,'/2т имеет вид 1 и что так называемый конфигурационный интеграл, или статисти- ческая сумма, записывается следующим образом: д„= ) ... ~ хр ( — ф) йу,... йд,„, где интегрирование ведется по всему объему газа. Показать также, что большая статистическая сумма (см. задачу 2.4) удовлетворяет соотношению г 0е" а=О где так называемая активность имеет вид 2ятЬТ Не и э= — ( аг ) ехр ьТ. г) Прямой круговой цилиндр большой высоты с площадью основания Л и постоянной по высоте температурой Т содержит п частиц равной массы т. Они находятся под воздействием гравитационного ускорения у, не зависящего от высоты.
Применяя формулу для Р, показать, что концентрация частиц на высоте э задается барометрической формулой Бакст р( ьт )' Глава 3 Показать, что если уравнение состояния р» = пкТ выполняется на всех высотах, то давление меняется по закону р(з) = — ехр ( — — ) . (Конфигурационные интегралы для реальных газов изучаются в задачах 9.2 — 9.7.1 Решение а) Чтобы найти Р», проинтегрируем распределение вероятности А ехр ( — „) Йтз... др« К+М (А — нормировочная постоянная) по всем у; это дает искомый результат с новой нормировочной постоянной В.
Аналогичные рассуждения приводят и выражению для Р«. за б) Положим « = 3«з и К =- ~~~ — '. Это дает В «=( ) ехр( — арг) Ыр) =(2«пкТ)~"«~) ) ехр( — хг) йх) где а =. 1,«2нь««Т. Интеграл в правой части равен у я, и мы получаем требуемый результат. Полагая затем и =- 1, находим »«з Г м «уз+уз «уз) Р,~~Р«АРа~рз== ., ехр~ — '2„т' ' ) ~6'з«зрг«й'зим (2л»«««т) «з — = «г«Угу» «Л»«««рг оУз — = РУ «Л' ° Так как ««У«Л'г Ырз — — 4яУ~ «Л«, получаем (2»т ) е"Р( — 2,,т ) ° в) Из задачи 3.4, п. «в», имеем Я, = — ~ — „„, (?„~ ... ~ ехр ( — — ) дрз...
Нр«. Проинтегрируем это выран«ение, как в и. «б». Согласно задаче 2.4, тр «зи зр « ~ 2лт««т 13в(г н Ьу л.за«( ьг ) в»т~ Е=- ~~ У. ехр — = з. — „« — 1 «~ ехр— »=0 т. е. мы пришли к искомому результату. Статистических механика идеааъних систем г) Вероятность того, что частица 1 находится в области (д„д, + с(де), частица 2 — в области ссдг я т. д., есть п Рз,ез... е(дс с(дз... Ид„=- С ехр ( — ),Т ~ дс ) оде... пд„= тг ч —.1 ехр ( — тгд;()ст) дд; =П с=1 ~ ехр( — тгд;))ст) ИЮ з Следовательно, вероятность того, что одна частица находится в области (г, г + с(г), равна Р,с(г=- — ехр ( — — ) с(г.
тг е сиге 1 ьт - '( ьт ) Чтобы найти число частиц в области г(г, мы должны умножить эту величину на и, а чтобы определить концентрацию, полученное выражение следует разделить на Я с(г. Тогда получим искомый результат. Найдем теперь давление на высоте г: р (г) .— — (сТ .=- р (г) ЬТ. 3.6. Пусть г; обозначает обобщенный импульс ры..., р( или обобщенную координату д„..., дн Предположим, что в некоторой физической системе значение г; может изменяться от а до Ь и что имеет место равенство а == О или Н (а) =: со, либо то и другое одновременно, а танисе равенство Ь =.- О или Н (Ь) =- оо, либо то и другое одновременно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
