Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если пренебречь вырождением, то число 6 (пн и»,...) различимых размещепнй из У букв по яе буквам одного типа, и» буквам другого типа и т. д. равное!.'~пс. 'иа!.... Вследствие вырождения йг каждое из 6 размещений порождает ряд дополнительных размещений, число которых равно числу способов распределения я, систем по дз состоянинм, т. е. д".т размещений. Таки»» образом, искомый результат получен. б) Этот вопрос обсуждается во многих книгах. в) Исходя из п. «б» и определения функции Ч'(п), имеем Ч'(я) — (и 1и п — и+ — 1п (2яп) ~.=!пи+1 — 1-(- — яж Ы 1 1 бп! 2 2 ж1ип+1и(1+ — и) =1и (и+.— ).
По таблицам находим Ч" (3)=1,2561, 1и(3,5)=1,2526, так что погрешность приближения для функции Ч' (3) ж 1н (3,5) составляет 0,0033!1,2561=0,26%. Погрешность становится меньше при и) 3. г) Для наиболее вероятного состояния ансамбля нужно рассмотреть функцию ~ — = 1и 6 (~„я„...) — и~~д, ьз — ~ ~ Е»ип где с» и р — неопределенные множители, введенные для учета условий, согласно которым величины !ч' и Ьо заданы, т. е. Хя1=йе ХЕ»я1=Е». е) Сн.
18!.— Прим. перев. Вместо того чтобы максимизировать величину 6 по каждому ив п;, удобнее рассмотреть максимизацию величины 1п6. Имеем д1 д д — д ( — 1п пг)+ из 1п Дд — апд — фЕтп31 = дпГ дэт = — Ч' (пг) + 1п дд — а — фЕ~ =- О. вероятное состоя- Следовательно, если (и,', п,", ...) — наиболее ние ансамбля, то Ч'(пт) = 1п (ддехр ( — а — Щ)), т. е. 1 пт = д~ ехр ( — а — ~Ег) — —. 2 Если существует М уровней энергии, величину а можно определить суммированием по уровням энергии, которое дает У+ — М=ехр( — а) ,~' я~ехр( — ~Е~) = 2ехр ( — а), где введена каноническая статистическая сумма. Отсюда следует, что Собирая члены порядка 1/У, получаем искомый результат.
д) Наиболее вероятное состояние ансамбля характеризуется наиболее вероятными значениями и~. Канонический ансамбль задачи 2.2 позволяет определить средние значения как усредненные по всем состояниям ансамбля. В таков среднее основной вклад вносит наиболее вероятное состояние ансамбля, но и менее вероятные состояния ансамбля также вносят вклад; следовательно, этк два метода, строго говоря, приводят к различным результатам. В рассматриваемом в настоящей задаче методе число и1 должно быть достаточно большим для выполнения предположения о непрерывности.
Это условие трудно выполнить, если Х не стремится к бесконечности. Хотя М часто также бесконечно велико, обычный результат для канонического распределения получается только в том случае, когда М1У -э О. Эти трудности часто остаются незамеченными. Их особенно легко упустить из вида, если использовать более грубое приближение Ч' (и) — 1п (и), которое сраву н~е приводит к соотношению д ехр ( — рЕг) Ф Я Это выражение является обычным результатом задач 2.2 и 2.4, если записать его для квантовых состояний вместо уровней энер- Статисоеичесяая теория информации и анеамбяей 71 гнн.
В этом случае ие ехр ( — щ) У 2П2. г) Применим идеи задачи 2А1 к ансамблю из Лг одинаковых систем, каждая из которых имеет два невыроя<денпых состояния. Будем считать Лс четным и зададим состояние ансамбля числом и (которое является четным) — разностью между числом систем в пившем энергетическом состоянии и числом систем в высшем состоянии. Предположим, что для ансамбля задано енсло Лс, но не полная энергия. а) Для п (( Лг показать, что число различных способов реализации состояния и ансамбля равно 6(п)=2 ( — ) ехр(- "~), где использована формула Стнрлинга.
б) Предполагая, что различные способы реализации состояния ансамбля являются равновероятными, показать, что вероятность состояния и(((Л') описывается выражением Р(н) =А( — ) ехр ( — "~), где А — нормировочная постоянная. Определить ее значение и установить таким образом, что Р(и) представляет собой одномерное нормальное распределение с.нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением [сеЛ' (определенным в аадаче 2.9).
в) Сравнить среднее значение и и наиболее вероятное значение и. г) Сравнить полпое число состояний ансамбля Ст с числом 6 (О) способов реализации наиболее вероятного состояния при очень больших Лс. Сделать то же для соответствугощих энтропий и использовать результат для обсуждения важнейших свойств метода наиболее вероятного распределения для данного случая. Решение. а) Пусть п обозначает верхний уровень и [ — нижний. Тогда пс+п„=Л', и,— п„=п, откуда пс= (Л и в) пи= (Л и) 1 1 Так как число Ж четно, и — такясе четное число. е) Задачи 2.12 я 2.13 представляют интерес з различных отношениях (см., напрнмер, работы [3, 4[).
72 Глава 2 Число способов реализации состояния и в соответствии с задачей 2.И, п. «а» при д« вЂ” — у»=1 равно величине С (и)— !('/») (/У -)- л)1! )(в/») (/7 — а)]! ' Отсюда, применяя формулу аадачи 2. 1 1, п . «б», находим 1п 6 (и) = Л/ 1п Л! — Л! + — 1п (2яЛ/) — — (Л'+ и) 1п ~,— (Л! + и) ~ + -(- — (Л/-/-и) — — 1п (я (/У+ и)) — — (Л! — и) 1п ~ — (Л' — и)~ + 1 1 1 Г1 2 2 2 („2 + — (Л' — и) — — 1и (п (Л/ — и)) = /у 1п 2+ — 1п ( — )— 1 1 1 в2» 2 2 2 1я/7/ — — (Л/+ + 1) )п ~1+ — ) — (Л' — и+1) 1п (1 — — ) . Используя соотношение 1п(1+х) =х — '/»х» при х(< 1, получаем 1п 6 (и) = Л' 1п 2+ — 1п ( „— ) — — + 1 2 и' ив (/У+ 1) откуда и следует искомый результат. б) Число состояний ансамбля равно 2~, поскольку кан!дая из Л' систем может находиться в одном из двух состояний.
Следовательно, Р (и) = —. о' (а) 2 /'в' /'в' — — +1 ° ° ° Л/ 2 2 О 2 Л/ у О 1 и — Л/ — Л'+ 2 Заметим также, что (а+Ь) .= ",',( ', а«Ь /у! ф откуда = 2~. д!(У вЂ” у)! о Чтобы проверить нормировку, положим у=(Л!+и)/2, соответ- ственно, (Л! — и)/2=/У вЂ” у. Тогда у=-О при и= — Л/ и у=Л" при и=Л/; значония у и отвечающие нм значения Л/ приве- дены ниже: Статистическая теория информации и ансамбяей 73 Применяя все эти результаты, можно проверить правильность нормировки функции Р(п): н Ж )ч Р(п)=2 ~ ~ 6(п)=2 "', и=-Ю и=-)е в=а Счетные и) (нее ные и) Следовательно„значение постоянной А, введенной в условиях задачи, равно единице. Можно попытаться проверить нормировку путем вычисления интеграла ') Р(п) г)п= ( — ) ') ехр ~ — ) ((и= — ~ — ) е(2 т'тс) И= 2. Это наводит на мысль, что нормировка неверна.
Однако для п((Л' мы здесь применяли приближенную формулу для — Хсч. 4п~(Х при п и Х, стремящихся к бесконечности, и не учли того, что п принимает целые значения только через одно. Это приводит к поправочному множителю т/е. в) В силу симметрии двух состояний системы имеем 6(п) =— = 6 ( — и); тогда для среднего значения величины и получаем к пР(п)=2 ~п6(п)=0. и (четные и) Прямое алгебраическое исследование исходного выражения для 6 (и) в факториалах покааывает, что наиболее вероятным значением п является я=0.
Такое же значение получается иа выра- и ения, приведенного в п. «б». Следовательно, в этом случае среднее значение и наиболее вероятное значение совпадают. г) 6г= 2, 6(0) = (. Ст — С (О) 2 е= С =1— -и 1. ;иц)ен Далее, Ят=)сД(1п2, Я((0) =)е1п6(0). Следовательно, Яг — 8 (О) )а (т/еиЛ') 8 2))с ) 2 0 Таким образом, значение р, которое определяет относительную ошибку при замене всех состояний ансамбля наиболее вероятным, велико при вычислении числа состояний ансамбля, но Глава 2 мало при вычислении информационной энтропии. Такое положение весьма типично; оно показывает, что информационная энтроння является очень нечувствительной функцией. Вероятность Р (и) имеет максимум при п =- О.
Это, однако, не является достаточным условием того, чтобы среднее по ансамблю хорошо аппроксимировалось средним по наиболее вероятным состояниям ансамбля. Следует также показать, что максимум является достаточно острым. В качестве меры «крутизны» можно взять отношение Р (О) к среднеквадратичному отклонению, имеющее вид 2 (2(я!у)пв ( 2 )вп2л )у/в !я) ву ' отсюда следует, что при Ж вЂ” в- оэ крутизна становится бесконечной. Таким образом, замена всех состояний ансамбля наиболее вероятными состояниями в настоящем случае оправдана.
2ЛЗ, Каждый атом системы из Х()) 1) слабо взаимодействующих неразличимых атомов ориентируется параллельно или анти- параллельно приближенному магнитному пол»о Н. Пусть ив равность между числом атомов на нижнем уровне н числом атомов на верхнем уровне, н пусть )» — магнитный момент атома; тогда состояние системы можно характеризовать целым числом и, Ясли за нулевое значение энергии принять энергию системы прп и=О, то в состбянии и энергия равна Е„= — п)»Н, а магнитный момент системы равен )»п.
а) Используя аадачу 2Л2, показать, что в пределе нулевого магнитного поля число размещений, которые приводят к состоянию и(()в', определяется выражением 6(п) ==2~ ( — „) 'ехр ( — — и). б) Показать, что если система находится в равновесии при температуре Т во внешнем магнитном поле Н, то вероятность состояния и является гауссовой функцией со средним значением (и) и среднеквадратичным отклонением о, определяемыми соотношениями (и) = — ~, и — )в )7 Решение а) Формула для 6 (п) выводится в задаче 2.12, п. «а».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
