Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если злемептаркая ячейка повторяется Л' раэ, то получается периодический набор точек, иазываемый решеткой. Предположим, что в гЛ точках находятся атомы; таким путем мы приходим к идеализированной модели кристалла. Если каждый атом является [3)-осциллятором, причем его внутренняя структура ке рассматривается, то мы имеем идеальный кристалл с ЗгЛ' степеяями свободы. Каждой степени свободы соответствует так иааываемая мода, или тип, колебаний (и, г).
Волновой вектор а принимает Л' значений; индекс поляриэаиии г принимает Зг значений. а) Доказать, что (каиояическое) среднее аначекие квактового числа и (а, г) осциллятора с модой (б, г) для температуры Т равно [ехр (йюВсТ) — 11 ', где с ° — угловая частота. б) Показать, что энергия идеального кристалла может быть представлена в виде Ее+ Етепэ — ' ~~э 2 йы(Ч~ г)+,Я~ йээ(%1 г) (н(Ч~ г))1 я, в Ч, э где член Е, ие меняется с теыпературой (эяергия нулевых колебакий), а член Е„„„зависит от температуры и обращается в нуль при Т =- О. в) Пусть углы О и ~р определяют направление вектора а с[Р = с[(соэ 8) сйр — элемеит телесного угла в е[-простраястве; заметим, далее, что величина и/8яэ — представляет собой число волновых векторов ка единицу объема ц-простракства в кристалле объемом и для каждого направления поляризации.
Заменяя суммирование ло ц иптегрировакием, получить формальное выраже. кие Е„„„= —,, ~ ~ ~~ ', дЧдйа (у— = —,), где а — длина вектора ц и граничная поверхность а = дв (О, ~р), до которой выполяяется интегрирование, удовлетворяет условию —,", ~ ~ дага=ЗгЛ'. Б [Вместо осциллятора в состоянии и (ц, г) можно рассматривать н (ц, г) квантов возбуждения с волновым числом ц и поляризацией г. Ови связаны со звуковыми волнами так же, как фотоны со световыми волиаыи, и иазываются фононами. Возможен и более Статистических механика идеааьних систем 97 общий случай возбуждений нли частиц, когда средние числа заполнения квантового состояния удовлетворяют условиям, указанным в п. «а».
Такие частицы (возбуждения) называются боэонами с равным нулю химическим потенциалом. Обобщение на случай произвольного химического потенциала см. в задаче 3.12.! Решение а) Положим ~' ехр( — (я+ — ) рлив) = на Е (1+а+а'+...) ехр ( — 2 Ки) = ехр ( — блпв) 1 1 — а в где а=ехр( — (1йа). 'Хогда )и Е= — — ряю — 1п.(1 — е р( — рйв)). 1 Теперь получаем (л) = 2 ' Я п ехр ~ — ( в+ — ) ))йю1— и=с 1 д!пЕ 1 Лт дб 2 ехр фзвс) — 1 б) Результат следует из задачи 3.9.
в) Угловая частота зависит от вг и з, т. е. от (д, 8, вр, э). Учитывая это и заменяя ~~'1(с(, з) выражением Зиа ) 1(Ч )Я ~Ч~~в находим Зев ч, ° ч,в 'у~~~дй2<ця в Граничная поверхность дс (О, вр) в ч(-пространстве должна быть такой, чтобы получалось правильное число мод колебаний. 3.11. Система невэаимодействующих бозонов эаилючена в объем ш Состояние бозона задается волновым вектором и и поляризацией з, величина сйЗяе представляет собой число волновых векторов на единицу объема в 11-пространстве.
При решении следует использовать, обозначения и результаты задачи 3.10. Глава 8 а) Показать, что в том случае, когда диенерсионное соотношение между ат и а имеет вид ет .= а (е, О, ф) ф, где 1) 0 — некоторая настоянная, теплоемкость системы при низких температурах изменяется по закону Гзд б) Для случая, когда а есть постоянная, равная а„ и поверхность о = де (О,~р) представляет' собой сферу радиусом о, для данной поляризации е, показать, что х, — = ава„ где х Р(т, х) = — )— т г у~ау хта .) еху у — 1 о — обобщенная функция Дебая. Величина х, удовлетворяет условию 15а»гй ~ч, в ~ (Ьт.т,)зд в) Получить высоко- и низкотемпературную аппроксимацито результата п.
«б» и показать, что первая из них согласуется с теоремой о равномерном распределении, тогда как вторая приводит к выражению Я Г ( 1 з ) е ( 1 з ) ~ Г в ~~~ ( л л Г ) в=в ) в согласии с п. «а». Здесь ь (а) — = ~в 1 ' (а ) 1) — дзета-функция 1=1 Римана, и для больших значений х можно приближенно считать Р(т,х) тх Г(т+ 1)~(т-~;1).
г) Полагая Ь (4) = я«/90, показать, что при« = — 1 и низких температурах для рассмотренной выше модели Зт 4 а»ва«Т«1 Е вп т лхх 15 Ь» л ав ' У вЂ”. [В простой теории теиаоемкоети Дебил (фононы) г = 1 = 1; величина а, =' а» представляет собой поперечную и а, — продольную скорость авука. Для излучения черного тела (фотоны) применяется низкотемпературная теорий, причем 1= 1, Зг = 2, Статистинсская механика идсаяьник систем величина а, = ао представляет собой скорость света. Для спиновых волн в ферромагнитном кристалле (магноны) величина г = 2. Теплоемкость определяется законами С, Т' (дебаевский кристалл при низкой температуре и излучение черного тела) и С, Т' (магноны).1 Решение а) Прп р — - 1ЙТ и х =- р6со = ~6адс имеем о»с)д= ( — ) ( — ) хза-' овх Следовательно, Для фиксированных О, ~р, т.
е. для фиксированного телесного угла, верхний предел интегрирования по х задается предельной поверхностно в «)-пространстве. Однако при достаточно низких температурах интегрирование распространяется до значений х =- ое, так что последний интеграл заменяется постоянным числом. Поэтому температурная зависимость определяется множителем, стоящим перед знаком суммы: Евеат Т <оп~+'. Этд приводит к искомому виду выражения для теплоемкости. б) Обозначая х, = Ьа,~)«Т = 6ад',4Т, имеем Хв Если х 'Р(т, х) гм — ~ т Г утду хвя д охру — тв о то в классическом пределе (см.
задачу 3.9) Т вЂ” ~ оо, х — н 0 и поэтому Р— э- 1, Зто удобный способ нормировки новой функции Р. Отсюда следует приведенное в условии выражение для Еяеия. Значения д, подчиняются условию ЗгЛ' = — ~ч~~ д,'. в в) Для высоких температур, объединяя два результата, полученные в п.
«б»,' находим Еяеия = ЗгЛЪТ. Это выражение представляет собой теорему о равномерном распределении для ЗГЛ' одномерных осцилляторов (задача 3.9). Глава 8 При низких температурах х, -в- оо и можно считать, что Ю (т, х)-г- тх-~Г (т + 1) ~ (т + 1), где ~ — дзота-функция Римана т). Находим' Зг Š— — Г(1+ — )~(1+ — ) ~", ( — ) г) Результат получается непосредственно. ИДЕАЛЬНЫЙ КВАНТОВЫЙ ГАЗ а) 3.12. В большом каноническом ансамбле среднее число заполнения (в1 ) одночастичного квантового состояния у с энергией Е1 в системе объемом и при температуре Т имеет вид (ехр ((Ьд — )л)гглТ ~ 1)) в для фермионов и бозонов соответственно, где )е — химический потенциал.
Будем рассматривать систему невзаимодействующих фермионов или невзаимодействующих бозонов. а) Исходя из задачи 2А, установить общий результат д)п В ("»= — д(Е)НТ) и, используя его, доказать, что —,'.„'=1пБ=~ ХАп(1=11), в где 8г — ехр!(р — Е,)ПсТ). б) Пусть число одночастичных квантовых состояний в интервале энергий (Е, Е + АЕ) в приближении непрерывного спектра равно АЕ'АЕ, где з ) — 1 есть постоянное число и А не зависит от энергии. В этом предположении показать, что 1п В=А()еТ)'""Г(з+1) Т ( ~т, з+1, (-), где хв дх Г (в+ 1) ~ ехр (а — а) А- 1 е Используя этот результат и задачу 2.7, показать, что величина А пропорциональна объему. в).
Показать, что среднее полное число частиц, свободная энергия, внутренняя энергия, энтропия и давление в системе .') См. работу (1). е)'Задачи ЗА2 — 3.17 соответствуют изложению материала в работе 11, равд. 28). Сисаисисаси««сиам меааиииа идеаа»ииа,систем описываются выражениями (и) = ( ~~ п1) = А ()«Т) Г (з+ 1) Х ( ), 3, 'х. ). р= р(п) — А()«Т)"»Г(з+1)Х ( ~т, з+1, ~), гт=<з+1) <и) йт '<В/"' +'~), 1< ~су ~) с я / ( ) Г( +2) 1<Ф/ст' +1'~) р ) 1<)с/ЬГ ° ~) ЬГ ) ' (з+ 1) ри = </.
г) Вводя обозначение 1 <)с/Ьт, «+1, -~-) 1 <р/ЬГ,, показать, что </ = (э+ 1) ри =- (э+ 1) <и) /сТх, Р = р (и) — )«Т (и) х, Ю=/е(п) [(з+2) х — ЗТ ~. д) Проверить, что величины <и), Р, Я и Х/, описываемые выражениями, приведенными в п. «в», являются экстенсивными, что рассматриваемая система представляет собой идеальный квантовый газ в смысле задачи 1.9 при л = 1/(з +11) и что величина Х/ — ТЗ + рз равна )» (и).
е) Пусть з = »/э и А = 4яирий-з ~ 2т (как в задаче ЗАО), где д — спиновое вырождение каждого состояния и т — масса частицы; показать, что (Под невзаимодействующими частицами подразумеваются частицы с точечным взаимодействием, т. е. частицы рассматриваются как геометрические сферы радиусом г, которые взаимодействуют между собой только при столкновениях; в конечных результатах переходят к пределу при г-«- 0.) Решение а) Согласно задаче 2.4, имеем )пЕ =— рэ ьг Вероятность состояния, определяемого числами заполнения пга пю ..., равна Е ' ехр ( — ~~ — '' + ~~ -Д-), 102 так как ',~"„исЕс есть энергия системы и У', и; — число частиц и общем случае.
Следовательно, Г ис, Л д1пи (и')=:Е ''' Х"' 'ехР1 И (' Е') )= (дн;1ит) Подставляя сюда выражение для (и;), получаем уравнение для В 1 д1п И/дСС д1а И Сг ~1 д(К,~Ь1Уд»1 ' д»1 Следовательно, если все с, за исключением с;, фиксированы, то 1п В= ~ — ' =- ~- 1п(1 -~-С;)+сопзс. д»т Таким образом, общее выражение совпадает с указанным в условии аадачи. б) Имеем 1пВ=.+. А ) Е'1п(1 ~ 11) с)Е= =.«-А (7»Т)""~ х' 1п ~1 .+ ехр ( — ") ~ Ых = о = ~ А (/сТ)" с ( ! — * 1п ) 1 х- ехр (+ — х ) ) ~ + охр ( х — — -1- 1 ~т)— =А (У«Т)'"ср(з+1) Т (-1 —, з)-1, ~) .
в) Как в п. «бои ! (~")= "''1- '- Свободную энергию Г получаем из уравнения (см. задачу 1.7) Р = У вЂ” ТБ =- 1» (и) — рэ = )с (п) — 1сТ 1п Внутреннюю энергию б' можно найти из соотношения Ю ~~)', (и;) Е1 = А ()сТ)*-"» ) о Статистическаа механика идеал»них систем Энтропия может быть определена по' формуле Я = (Π— Р~(Т. Давление получаем из соотношения ри=йТ1п Е.
г) Эти результаты получаются непосредствевно. д) Имеем бе — ТЯ + ри =- Р + йТ 1п =- (и) ()« — х)сТ + х)сТ), как и требуется в условии задачи. е) Этот результат получается простой подстановкой с использованием равенства Г (»/а) = 1с ч/2. 3.13. Выявить классический смысл модели, рассмотренной в задаче 3.12, действуя следующим образом. (Распределения теперь считаются нееырожс)ениымиЛ а) Показать, что в классическом приближении ((» — е — со) 1 (а, ее ~-) — » еа и, следовательно, х -~ 1. б) Используя классическое приближение и задачу 1.23, п. «в», получить следующее выражение для химической постоянной: Г(е+«) ее+»А в) Пусть газ бесструктурных частиц находится в ящике объе.
мом о, причем на единицу объема к-пространства приходится ЫЗя» волновых векторов к =- р!6 (как в задаче 3.10, п. «в»). Показать, что в этом простом случае э — А = — 4яитдбс»~(2~п, 1 где л — спиновое вырождение каждого уровня. Найти выражение для 1. г) Показать, что в классическом приблиясении Я =)е(п)((г+ 2) 1п Т вЂ” 1п р+ Л. 1Настоящая задача дополняет термодинамические результаты задачи 1.23.
Мы видим, что они справедливы только в классичесном приближении. Заметим, что химическая постоянная иногда определяется иначе.1 Решение а) При 1» — ~- — со Т( ... ~)= „,, ~*"-" Ь=", 1 э Глава Я где использовано следующее определение гамма-функции; Г(г) = ~ х'е "йх. о б) Из соотношения )ю= + —— А()«Т)"»Г(г+1) ехр ) У получаем КГ = 1п р — (г+ 2) 1п Т + (г+ 2) — 1 аг при условии, что Г (в +1) Ьв+ А в) Имеем АЕв Е = аа ~ 4я)«г «У« 'аогв йР Так как ро = 2тЕ и рЫр = )Г2Ет тв]Е, то отсюда вытекает приведенный в условии результат. Далее, 2+1п](2ят) 'Й''~до ]. г) Подставим результат для )в, полученный в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
