Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть ( ) обозначает среднее по классическому каноническому распределению, обсуждавшемуся в задачах 3.4 и 3.5. Отсюда вытекает ряд теорем о равполсериом распределении. а) доказать, что г) (г; — ~ =)сТ. б) Пусть а р Н= ~ аср,*.+ ~ Ь,д,й ;=1 ' 'г= покааать, что в этом случае (Н)= ( е) В этом общем виде результат был получен Толненом. зо в) Для классического релятивистского гааа с точечным взаимодействием гамильтониан одной частицы имеет внд Н = с (ро + ро + ро + т,сг)»»г где т, — масса покоя. Докавать, что где т = рто и р = (1 — Уг»'сг) Мг. (В квантовой статистике эти теоремы выполншотся только в класс»»ческом пределе; см.
задачу 3.9.) Решение а) Нормировочный интеграл для канонического распределения имеет вид 1=А ~ ... ) ехр ( — —,т )»»д» ... с(р Вроиитегрируем по частям по д».' 1=А ~ ~ ~иехр( — „т ) ~ 4Ь )р»+ + лг ~ ° ° ~ч» д ехр( вг)М ° ° ° Р». В соответствии с условием задачи первый интеграл не дает вклада, н иэ этого выражения следует искомый результат. б) Иэ п. «а» следует, что каждое слагаемое в выражении для энергии дает вклад, равный ЙТ»г. в) В этом случае дН с с орг р» — =р» — — '2р .= — ' дР» 2 Н Согласно релятивистской механике, правая часть равна рггу«сг о оуо. о д Иу +,о Ч )'" о фгооооуг+ о»оосг)яг (»»о»угс о д ро (о,о» г ) тосг о»1 г) /о поэтому Статистическая механика идеальиих систем ТЕОРЕМА О ВИРИАЛЕ 3.7.
Частица ! находится В точке г! =(чсх, чсг, д!с), и на нее действует сила Р! =с)р;/Й/, где р! =(рс„р;„, рс,). Вириал системы и из и частиц равен С= — '/, Я~ Р! гс, где гориаонтальная черта е=-! обозначает усреднение по времени. а) Допуская, что движение частиц описывается урагнгниями движениЯ Гамильтона (с/У!1/дг =- дЕ1/дРсг, дРо/~о1 .=- — дН/ддс;, с = = — - 1, 2,..., и; /' == х, у, г) и что для системы справедлива эргодичгпсая гипопыга, согласно которой усреднения по ансамблю и по времени приводят к одинаковык! результатам, доказать равенство С = г/г>г/сТ. б) Докааать, что в том случае, когда силы определяются потенпиалом И', Рм = — дИ'/ддп и импульс входит только в кинетическую энергию К = ~ рг/2сп, справедливо равенство с=! 1 3 К= — Я ~И~ г;= — пйТ.
2 ' 2 в) Показать, что для одной частицы (и = 1) в центральном поле с потенциальной энергией И' = аги выполняется соотношение К= — Й= Е, 2 2-(- и где Š— полная энергия. (Теорема о вириале К =- С была сформулирована Клаузнусом; она может быть выведена независимо от теоремы о равномерном распределении, как это покааано в задаче 9.16, в которой рассматриваются тесно связанные с настоящей задачей вопросы.) Решение а) Согласно задаче 3.6, ( ° >- он 'ч дс,— э / =( — тР„) =/ст. ддп / ЭтомУ соответствУет внРиал С=с/гпйТ. б) Соотношение, приведенное в условиях задачи, имеет вид , Х(, ус!), и 1 дй' 3 С другой стороны — ~~~ ( — ) — — ~ (рст — ) = — п/сТ, Глава в в) Используем тот факт, что ЛУ т7т= г — = иу(Г, а*г откуда Е=К+Й = (1+ — ) К. 3.8.
Силы взаимодействии между частицами газа ~ () г1 — гд ))=— =' ~ (г;д) зависят только от расстояния между частицами. Используя предполодкевия и выводы задачи 3.7, получить следующие результаты. а) Показать, что силы взаимодействия дают в выражение для виРиала вклаД вЂ” '!д ',ггд~ (грв), гДе сУммиРование пРонавоДитсЯ по всем парам частиц. б) Показать„что сила, действующая со стороны сосуда объемом и на газ при давлении р, дает в вириал вклад (в/з) ри. в) Показать, что для классического неидеального газа из п частиц при температуре Т ри = пИ + — ,'~ г,д~ (г,д).
пп парам (Ь д) г) Для газа, в котором силы взаимодействия выводятся иа потенциальной энергии, являющейся однородной функцией порядка и по координатам, получить теорему о вириале (и + 2) К вЂ” ". иЕ + Зри. Решение а) Считая силу / (ггд) положительной для случая отталкивания, получаем Г= г д ~(г1д), 6=- — Г. ггд Вклад в вириал, обусловленный парой (7', й), равен 1 — — (г1 à — гд Г) = — — (гг — гд) Г= — — г,д~(ггд). 2 2 г 2 Отсюда следует искомый результат.
б) Сила, действующая со стороны сосуда на алемент поверхности На, равна — рпвги, где и — единичный вектор внешней нор- Статистическая механика идеальных систем мали. Вклад в вириал равен 2 Р ) и'гбо= 2 Р ) а1чгс1о= — Рэ 2 где использованы теорема Гаусса и равенство с)1т г = 3. в) Из задачи 3.7 и полученных выше результатов имеем — 3 3 С=К= — пйТ= — рэ — — ~ г д~(гм).
па парам и, Ю г) В этом случае г)к~ (г,„) = — гзк (дИЧдг1к) = — иИс. Отсюда следует, что 3 1 К = — ро+ — иИ'. 2 2 3емножая на 2 и добавляя к обоим частям иК, находим (и+ 2) К =- Зри+ иЕ. ОщиллятОРы и ФОнОны 3.9. Состояние (в)-осе)иеьентора с угловой частотой с» = 2ят характеризуется ю квантовыми числами н .=- (и„..., пш); его энергия в этом состоянии равна Ь (н) = ~ (пе + — ) + ( вз+ 2 ) -)- ° + (Йш + ) ) сею где гм — положительные целые числа или нули и Ь вЂ” постоян- ная Планка, деленяая на 2я. а) Показать, что уровни энергии могут описываться выражением К;=-( — +)) йсо, )=О, (,2, ..., причем вырождение этих уровней дается формулой (ш+! — 1) ) )) (ш — 1)) Рассмотреть некоторые простейшие частные случаи. б) Доказать, что каноническая статистическая сумма такого квантового осциллятора при температуре Т имеет вид ( 1 — схр ( — 2х) ) ~ 2 2э)ь х ) где х = 6со!2)сТ.
Исходя из этого, показать, что его средняя энер- гия равна (Пе)ч — — Ясвш'( — + (ехр2х — 1) '~. Гаава 8 в) Получить выражения для классической статистической суммы и средней энергии одномерного осциллятора с массой ув и угловой частотой у» кри температуре Т, применяя способ задачи 3.4, если гамильтониан имеет вид Н (р, д) = ара + Ьда ( — оо а., р, д ( оо), где а — = 1!2т, Ь вЂ” = тоуау2. Показать, что (Л,)ч, ([Уу)ч переходят в эти выражения в пределе Т вЂ” э- оо (классический предел). г) Доказать, что Л идентичных различимых [ус[-осцилляторов эквивалентны [1)-осцилляторам, число которых равно у1'ус.
д) Показать, что теплоемкость уу идентичных различимых квантовгах [1[-осциллЯтоРов Равна (С,)ч = У1(сЕ (2х), где Эа ехр у Е (у) — = (функция Эйпштейнау. (ехр э цз [Пункт «в» представляет собой независимую проверку теоремы о равномерном распределении в частном случае.! Решение а) Записаавая энергию уровня Е (и) как Е;, мы совершаем подстановку ~~~ кч =.
у. Ясно, что у может принимать все полоу 1 жительные целочисленные значения, включая нуль. Будем рассматривать один из атих уровней. Кто вырождение можно определить при помощи следующей задачи теории чисел: ду есть число способов представлений целого числа у в виде суммы и целых чисел, причем эти числа могут повторяться, а также быть равными нулю; кроме того, существен их порядок. Число су, очевидно, равно числу способов размещения у тождественных шаров по эу различимым ящикам. Последнее число равно (й + у — 1)!/у!(ю — 1)! [1[. Заметим, что основное состояние у =- О всегда невырождено, л — 1.
Все состояния [1)-осциллятора (т. е. одномерного осциллятора) также невырожденьу. б) Квантовая статистическая сумма имеет вид (2,)а —— ехр( — эух) ,'~ луехр( — 2ух) = уьз =ехр ( — уса) у,' ( ! ехр( — 2ух). (и+у — ()! у —..о По биномиальной формуле + + ч(ч-()а~ + + а(а — П ... (ч-у+()ау у! Статистическая мехакика идеаяьких систем получаем (1-а) =1+ иуа+, +... иу(ус+1) ... (ус+у — 1) ае + у'! (т+у — 1)! у' =Х у! (и — 1)! у=о Следовательно, (Ху)« — — ехр ( — их) [1 — ехр ( — 2х)] ".
Из аадачи 2.6, п. «б», следует, что внутренняя энергия равна (у ъ уст» у д!ая! ) Зса д)аг! 1)д= откуда вытекает искомый результат. в) Имеем (я,)кя=й-! ~ ~ ехр ( — а р» у' дз) у(рс)уу 2иУст 1»ге Уст =Ь '(2япс)сТ вЂ” ~ таух у! '= ууч Предел величины (Е!)«при Т -~ оо или и-е-оо для в=1 равен (2,), — =(г,), . Классическая средняя энергия равна йТх д)аЯ йТ»2 у дх = У«Т» — — = У«Т. ЬЕ к Усу' Воз Из и. «б» имеем (сУ1)« — ч- Лса — = У«Т = (У!)ке. г) В рассматриваемом случае не нужно вводить поправку на тождественность частиц (задача 3.4) и статистическая сумма для Ы-осцилляторов, число которых равно Л', имеет вид 2„=21 =( — „'„,) Это выражение совпадает со статистической суммой для И)-осцил- ляторов, число которых равно ЛУи . Глава д д) Искомый результат следует из соотяошекия дУ Уды дУ С = — =.— дТ 2ЬТг де 3.10. Рассмотриы базисный набор из т точек в пространстве, называемый элеменепарной ячейкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
