Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 18
Текст из файла (страница 18)
«б», в выражение для знтропии Я=4(и) (г+2 — ф) = = й (и) ]г+ 2 — 1п р+ (г+ 2) 1в Т вЂ” (г+ 2) + 1]. 3.14. Выявить смысл равенства нулю химического потенциала для модели, рассмотренной в задаче 3.12. а) Исходя из задачи ЗЛ1, п. «в», показать, что Х(0, г, — ) = ь(г+1). б) ПолагаЯ й = Г (г+ 1) Т (О, г+ 1в ~) й"«А/ов показать, что если р, = О, то У=(г+1) ри=(г+1) иВТ"о= — ТЯ, Г(О, в, М)у (в+2) )вГ (О, в+1, ~) ' в) С помощью соображений, аналогичных использованным в задаче ЗЛЗ, п. «в», показать, что для фотонного газа (т.
е. для Статистическая механика идеальных систем излучения черного тела) »=2, А =Злой »сз, где с — скорость света. Используя значение г", (4) = яег90, пока- зать, что 77 л»йлй-зс-3 45 гг ясий-е -з (~ Т)е 8 Г5 г) Показать„что для модели, рассмотренной в задаче 3.11,. дисперсиояное соотношение для фотонов и фококов имеет вид. и что для звукового поля или фококпого газа при низких тем- пературах где сг и сг — поперечная и продольная скорости звука. (Для излучения черного тела (бозе-газ фотонов) справедливы следующие характеристические законы: У = Зри =- егеТЯ =— =- ЗиВТ~. Если положить (г' = (4о7с) ир~, то о = я'И'60йзс ж ж 5,7 10» эрг см» с г.К « — постоянная Стефана — Больцмака. Эти соотношекия примеиимы также к кизкотемпературиым фоиоиам в теории типа дебаевской.
Число фокопов или фотонов (гг) в общем случае пе сохраняется„однако око остается постоянным при квазистатических адиабатических процессах, так как в этом случае энтропия Я постоянна. При записи в п. «б» обобщенных соотношений для излучения черного тела никак кеиспольэуется то обстоятельство, что мы рассматриваем частный случай бозоииого газа. Поэтому возкикает вопрос, можно ли их проиллюстрировать, обращаясь к простым моделям фермиоияого. газа; см. задачу 5.2 ) Решение а), б) Применяя соотношения задачи 3.12, находим (п)=А(йТ)"гГ(з+1)1(0, з, ~), ТЯ = (з + 2) А (йТ)'+з Г (з+ 1) Х (О, з+ 1, ~), У = А (йТ) "з Г (з+ 2) Т (О, з + 1, ~).
Отсюда следуют искемые результаты. в) Как и в задаче ЗАЗ, к. «в», АЬнсИ = 4ягглй »рессор. Глава д Для фотона Ь Е Е Е=йч, р= — = — =— ). р), с Отсюда получаем искомый результат, замечая, что Е = 2 из-за двух направлений поляризации. г) Так как волновой вектор й = — 2я(а, имеем, как в п. «в», так что 1 = 1, как в задаче 3.11. 3.15. Термодинамические свойства модели, рассмотренной в задаче 3.12. а) Записывая для простоты 1 (з) вместо 1 ()«((«Т, з, ~) в тех случаях, когда это не приводит к путанице, и полагая у — = )г((сТ, .доказать соотношения ( †) д«1 1 1(в) др(т, <а> р 1(в — 1) ' ( — )...=- ' др1 в+1 1 (в) дт! в, 1а1 р 1 (в — 1) б) Для коэффициента объемного расширения 1 (др) р (д7)р,са) получить соотношение в) Для изотермической сжимаемости получить выражение 1 (в+ 1) 1 (в — 1) р1» (в) г) Получить для теплоемкости выражение 1(в+О Г 1» (в) Ср=(з+1)(с(л) (з+2 — (з+1) ( ) (, )).
д) Показать, что коэффициент Грюнайзена Г = арф(КвС» (ср. задачи 1.4, п. «а»; 1.9, п. «д») равен 1((з + 1). 1от Статистическая механика идеаяьних систем Решение а) Воспользуемся соотношением (и) =- А ()сТ)"' Г (з + 1) 1 (з). Так как производная (д(п)/дТ)р < > равна нулю, то имеем + А ()«Т)'е< Г (а+ 1) Т (з — 1) Я ) = О. Из этого выражения получаем первый результат. Аналогично Это дает второй результат. Третий результат получается аналогично. б) Из соотношения <и> ЙТ 1 (г+1) р 1(г) применяя первый результат п. «а», имеем <и> >сТ Г1 1(г+1) 1(г — 1)~ ( ) Г1 дТ )р <н> Т р ( 1»(г) 1 1 (г) ( 1(г) 1 (г+1)') ( г->-1 1 ( дс ( Т Х(г+1)(1(г — 1) 1(г) )\ Т с (дТ )р, <н>~ ' 1» (г) 1'(г) "'Г'+1(+1)1( — 1) '1= Т <(1 ('+')1( — 1)1(+1>+'+'1' Таким образом, мы получили искомый результат.
в) Будем теперь исходить из второго результата п. «а». Вычисления проводятся следующим образом: <и> ЬТ1 (.+1) с 1' (г) ( ( = Г1 др ( р <к> О ( 1(г+1)1(г — 1) ) 1 1(г) др )т, <н> и с ( Х»(г) ) с 1(г — 1) р 1» (г) р 1 (с+1) 1 (г — 1) ' Глава 3 г) Здесь нам потребуется третий результат и. «а». Имеем П=(э+1) (п))«Т ('+ ), С.= —" —.(.+1)< >йТГ1 — '('+')'(' — 1)1'+1 '(') . Ф Г Отсюда следует искомый результат. д) Искомый результат непосредственно получается из преды- дущего.
3.16. Применим модель, рассмотренную в задаче ЗЛ2, к не- вааимодействующим электронам с массой л», находящимся в объе- ме и при температуре Т. а) Покааать, что в этом случае с'+с Х(с~ г +) Г(,+2) б) Показать также, что для значений А и з, приведенных в задаче З.ХЗ, в) Получить выражение для Кт. Используя значение (л)Ь 2,56.10»о см» (натрий), показать, что Кт — — 11,6*10 '» см» дин '. Ре»пение а) Имеем (Ю с»,*, в)= — ) — — -~ 1 Г х*с(х Г(в+1) ) охр(х — с)+ о с 1 х с)хЖ Г («+1) ) о с'+с Г (в+2) ' б) В соответствии с задачей ЗЛЗ можно написать ») ЬГ в/» Статистическая механика идеаяьних систем П ж (а+1) йТ (и) — — = — [г(к), Г (е+ 2) с+1 ЫТ Г(с+3) с+2 (и) ЫХ Х (с+1) (и) 'кТ и 1 2 Р— — — — — — (и) [ь и Х (е) и 1сТ с+2 5и в) Полагая у= 2, из задачи ЗЛ5 получаем Кт= 5 Р=[,г ( — ) (Зяг) Кт т 11,6 10 " см'дин-г.
3.17. Выражения для средних чисел заполнения по большому каноническому ансамблю для ферми- и бозе-газов были испольаованы в задаче 3.12 без доказательства. Они могут быть получены как частные случаи более общего рассмотрения. В каждом квантовом состоянии в системе слабо взаимодействующих неразличимых частиц может находиться О, 1, 2,..., а частиц, где а — постоянная.
Пусть 11= — ехР(7 — [,Т ), Ь'1 1 Ю 1 Г(с+1) г [ ехр е У=,Т 1 , а+1 (х — т) — 1 ехр [(а (-1) (х — т)] — 1 ~ а) Покааать, что для г — 1 — [Х(у, г+1, а)) =Х(у, г, а). б) Показать, что среднее число заполнения квантового состоя- ния равно 1 а+1 ехр (х — т) — 1 ехр [(а -[-1) (х — т)[ — 1 в) Показать, что среднее полное число частиц в приближении непрерывного спектра [р (Е) = АЕ', см. задачу 3.121 равно (в) = А ()сТ) "' Г (г+ 1) Х (7, г, а).
г) Докааать, что, ( 1 4у '1 . с+1 1(т, е, а) аТ)е, <н> Т 1(т,е — 1,а)' Подставляя значения т =- 9,11 ° 10 'г г, й = 6,62 10 м эрг.с и (в)Ь = — 2,56 10" см ', находим Глава 8 д) Показать также, что с =- р, (и) — А (йТ)'+х Г (о+ 1) Х (у, з+ 1, а), ри=(п) )оТ ' ' = — ХХ, 1(у, а+1, а) 1 1(у, л, а) а+1 8 = й (п) ~(х+ 2) ~',; — у] . е) Покааать, что при а = 1 и а = оо получаются результаты для фермионов и бозоков соответственно, совпадающие с выраже- ниями, приведенными в задаче 3.12, п. оаа ').
Решение а) — Х (у, а+1, а) = И ду (а+1)з ехр да+1) (х — уЦ'[ ам (ехр [(а+ 1) (х — у) [ — 1) х / 1 ~ Х ехр(а — у) Г(а+2) „), [ехр (а — у) — 1)з "о Проинтегрируем по частям первый член, положив ам ехр ( 7) [ехр (х — у) — 1]о ' и =(о+1) х, о=в это дает Г(*+2) [. [ехр(х — у) — 1 [о (,) ехр(х — у) — 1 -~- (х+ 1) ( о[х [ = 'о 1 х' Г (г+1),) ехр (а — у) — 1 о Ю 1 [* (а+1) х' Г(а+1) о ехр [(а+1) (а — уЦ вЂ” 1 о откуда следует )оскомый результат.
') См. рабату [2). Во втором члене положим (а+1)о ехр[ (а+1) (х — уЦ (ех р [(а+ 1) (х — уЦ вЂ” 1) о а+1 ехр [(а+1) (а — у)[ — 1 Как мы видим, ии-член обращается в нуль; оставшийся член равен Статистическая механика идеаяъных систем б) Для неразличимых и невзаимодействующих частиц - = Я~ ехр —" = )~~ Вхр ~ — '~~ ()»пт — Е1п1) ~= ~ 1",'1»'..., 1пе<пя п~=« пг=« =П(Х Ф)=П-,",1 ° 1 и:=О 1= !и Е= 7 (1в(1 — ге~') — 1п(1 — 11)1. Следовательно, согласно задаче ЗА2, д1ан д1ОБ (пт) = — .
= »1 — = д <ЕялТ) д<1 п. «а», 1 а+1 е П 1 ~-~ачо 1 1 в) Искомое выражение вытекает из соотношения (и) = ~~~~ (пт) в приближении непрерывного спектра. г) Из выражения (п) =А (1«Т)'ы Г(а+1) 1(у, з, а) имеем ( д ~~> ) (е + 1) <п1 Т (7, е — 1, а) 1 дт 1 дт )ь, <~> т 1(т, е, а) 1 дт )ь, <~1' откуда следует искомый результат. д) Из задачи 2.бе получаем выражение для свободной энергии Е= р(п) — рэ = р(п) — кТ1п Е.
Применим затем реп<ение н. «в»;,зто дает Р— р (и) = — ТОТ ~~" 1п (1 — гэ") + ЫТ ~~О 1п (1 — 11) =.- = — (ЙТ)'"О А ( ~ х' (1п (1 — 1'ы) — 1в (1 — 1) ) <Ь ~ . О где суммирование производится по всем одночастичным квантовым состояниям. Здесь Е; и и, представляют собой соответственно энергии и числа заполнения квантовых состояний 1. Далее, 1; = = ехр ((р — Е1) 1«Т1. Задавая квантовые состояния системы числами пп находим Статиста«ескаа механика идеальных систем АНСАМБЛИ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ 3.18. В (малом) ансамбле постоянного даеления задаются р, Т и число частиц и, а также среднял энергия Ео и средний объем оа.
а) Исходя из задачи 2.3, показать, что вероятность состояния (Е, р) имеет вид ехр [ — (Н+ рс)~гсТ] гр (р, Т, и) где Ер — нормировочная константа, связанная с термодинамическим потенциалом соотношением 7р (р, Т, и) = ехр ( — — „г ) . б) Обсудить трудности, связанные с определение»« статистической суммы 2р(р, Т, гг) = ~„ехр ~ — ( ',+Р ']. т,г в) Показать, что этп трудности не возпнкают, если взять 2 (р, Т, и) =- — ~ ~~ ехр ~ — (")+Р 1 Ыо= = — ] 2 (о, Т, п) ехр ~( — „~ ~) с]о, со 3 о где 2 — каноническая статистическая сумма я о» вЂ” соответствующим образом выбранный постоянный объем, определение которого сопряжено с трудпостямн.
г) Найти выражение, аналогичное приведенному в п. «б» выражению длн классической статистической суммы Ур, и показать, что в этом случае не возникает трудностей. Показать также, что средняя по ансамблю величина объема определяется соотношением д 1илр(р, Т, и)~ о = — 1«Т =- [ др т,а' аналогичным результату гйТ[ д1ИИ(с, Т, и) задачи 2.6, и.
«б». [Классический ансамбль используется в задаче 9.4. Трудности, о которых говорится в п. «б» и «в», обсуждаются в работе [3] '), в которой даны ссылки на более ранние работы.] г) См. также работу [4]. 8 — 088« Глава 8 Решение а) 11оложим в задаче 2.3 величину х равной энергии Е, а величину у равной объему щ Состояние г системы в ансамбле задается объемом ггг и одной из энергий Е„, (иг), соответствующей этому объему. Таким образом, состояние г характеризуется дву,мя величинами. Результат задачи 2.3 о = ггрЕ» + г«угго + й 1н и термодинамический реаультат Т$=Е»+Рэ,— 6 должны быть эквивалентны для всех Ео и и„' отсюда получаем охр'[ — (Е+ го](lгТ[ Р(Е э) = Я,(р, Т, а) б) В обще»г случае «собственные значения объема» о, образуют непрерывный набор, так что сумма по 1 расходится. в) Расходвмость устраняется путем интегрирования по и, но возникает новая трудность, связанная с определением величины эо.
Однако точное значение величины гго не влияет па те термодинамические величины, которые выражаются через производные от 1~ 3 . Современное состояние затронутого вопроса освещено в работе, указанной в условии задачи. г) В классическом случае величину Е можно заменить классическим гамильтонианом Н, зависящим от 1 обобщенных координат и импульсов. Как и в задаче 3.4, напишем 3„(р, Т, п) = й г ~... ~ ехр ~ — (и' "„' от) +' ~ др ... дуг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
