Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Од ко здесь мы имеем несколько иной случай, так как рассматривается только одна система. Число Лв представляет собой теперь число частиц в этой системе, но формула )у! Х! 6 (и)— )'(~ ((У+ В! )'(, (Л' — ))! вв,),,! 75 Статистическая теория иийормаэии и ансамблей Р(.) =-+'-р(- — '„") = — ', (+)"'-р(П.)), где Я вЂ” статистическая сумма и п>>Н пе 7 (и) = — — — —,. йТ 2Х' Полагая и> — = >>Н>ч',Ц«7', получаем 2ссп> — пе ис 2>ч' 2Х (и — п>)е 2М так что Р (и) = — А ехр (— Здесь величина А является нормировочным множителем, зави- сящим от Л>.
НЕКОТОРЫЕ ОБ>ЦИЕ ПРИИЦИПЪ| 2Л4. Состояния системы образуют >>' групп, обозначенных индексами с'=1, 2, ..., И', с-я группа содержит 6> равновероятных состояний. Вероятность того, что система находится в любом из этих состояний, есть Рс. Пусть отнесенная к единице времени вероятность того, что система совершает переход из некоторого состояния группы с в некоторое состояние группы 7', постоянна; обозначим ее через АО (прн Ап 0). а) Докааать, что скорость перехода из группы с в группу 1 есть >1 О = Р>АО6Н [Согласно принципу деи>ам»нога баланса Р (см. схему), ЛО=Л>с для всех 1, 7.] б) Доказать, что скорость изменения обычной функции Рс можно записать в виде Р, = 'Я (ВН ЯО) = 6„'~„'6,АН ~ — > — — ) — Р>Р>, 7 Р! ~а>' а / по-прежнему применима.
При решении задачи 2А2, п. «а» факториальные множители в знаменателе выра>кения 6(п) появля>отса потому, что для задания состояния ансамбля не имеет значения, какие именно системы находятся в состоянии 1 и какие в состоянии 2, пока число систем в >ждем состоянии является определенньпь В настоящей задаче эти множители в знаменателе возникают вследствие того, что атомы предполагаются неразличим>а»>и. б) Для канонического ансамбля вероятность состояния и имеет вид Глава» где Рю = ~ (АΠ— Ан) 6р 1 в) Система находится в стационарном состоянии, если выполняется принцип (Я), состоящий в том, что Р;=0 для всех [.
Доказать, что принцип 8 выполняется, если справедливы принципы Х и Р; первый из них заключается в том, что Р~ О, а второй — в том, что индексы [ распадаются на классы и, 'р, причем внутри каждого класса выполняется соотношение А вФ О, в том и только в том случае, когда Р66; =Рр~бв=К„(», у принадлежат группе и).
Интерпретировать этот результат. г) Показать, что информационная энтропия равна 8= — й~~ Р;[п — ' и доказать, что скорость производства информационной энтропии удовлетворяет соотношению Н, согласно которому 3)0, если выполняется принцип микроскопической обратимости М (АО= =Ан для всех ~, )). д) Показать, что связи, которые имеются в виду в и.
«в» н «г», относятся к более широкой схеме связей следующего вида: )) Х+Р М 'м~ в(с) ~~Ф'()() чч Влщ [Уравнение для Р; иногда называют основным кинетическим уравнением; оно впервые обсуждалось В. Паули в 1928 г. Обобщение этого уравнения является предметом исследований в настоящее время. Принцип Х является обобщением принципа М, принцип Р представляет собой обобщение принципа равновероятности состояний.
Заметим, что принцип 8 слабее принципа Э, поэтому эти принципы не эквивалентны. Вопросы, касающиеся основного кинетического уравнения и принципа детального баланса, рассматриваются далее в гл. 26.) Решение а) Умножим вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии в группе» на Аср Это дает лишь вероятность перехода в единицу времени в некоторое состояние группы (; чтобы получить Л;;, ее следует умножить на 6«. 77 Статистическая теория информации и ансамблей б) Имеем Ре = ~~РтАнСч — ~~ Р;Ат!67 = ! ! = Х Р7АР6' — Р Р' Ре Х Адат= = ~' 6 Ая6с 1 — — — 1 — Рсри в) Если принять во внимание результаты п. «б», то выполнение принципов Х и Р, очевидно, означает, что Р;=О.
Если выполняется принцип Р, то И" групп состояний распадаются на меньшее число классов состояний, переходы между которыми невозможны. Принцип Я выполняется, если вероятность на состояние имеет одно и то яю значение длл каждого класса состояний. Если Рс = О, равновероятность всех сосо»ояний ведет к детальному балансу только в том случае, если также предполагается, что все состояния являются взаимосвязанными, г) Информационная энтропия равна — 1п —. Р, Р, С; ас по всем состояниям Сначала проведем суммирование по всем состояниям в груп~с 1, Вероятности всех этих состояний равны величине Р;!6;, так что получается выражение, приведенное в условии задачи. Далее, все Р; равны нулю, и Ю= — й ~ 1Р,1 (ф) +Ре —" Р' ~; так как в силу условия нормировки г' Р;=О, последняя сумма обращается в нуль. Используя п.
«б», находим = — — й У ~ 6с6 1 — — — '1 Атс1п — + =--й~6,67( )А„1. ' . Гаа«а 3 Если Р>[6>=Р>>6>, то двойная сумма обращается в нуль. Если Р>!6; =~ Р>[6,, то сумма пололсительна. Следовательно, Я О. д) Доказательства тривиальны'). 2.15. а) Показать, что для всех положительных х выполняется соотношение 1п х > 1 — 1/х„где равенство возможно тогда и только тогда, когда х=1. б) Исходя из и. «а», показать, что если (р>), (р";) — два распределения вероятности для одного н того же набора состояний, причем р»>)0 для всех >, то величина К(р, ре) — = й >; р;1п Р' « положительна, кроме случаев одинаковых распределений (р>=— = р'; для всех >).
[Предположим, что р» являются равновесными вероятностями, возможно, не изолированной системы) например, это может быть каноническое распределение, если система находится в контакте с термостатом. Если мы знаем, что при этих условиях фактическим распределением является рм то это приводит к «приросту информации» К (р, р'). Напротив, переход от р; к р«> соответствует внутреннему увеличению энтропии К(р, р»). Величина К(р, ро) была введена А. Рени»).1 Решение а) Пусть у= — 1пх — 1+1/х. Тогда Ир > — т »а Это выражение отрицательно при 0(х(1 и поло>кительно при 1(х. Поэтому у имеет наименьшее значение при х=1, так что у.
-О. б)'П[ х.= — р,бр1 К(р, ре) =-й ~ р«>х>[ах; ) й У„р»>х> (1 — — ) =й ~ «(р» — р[) = О. Следовательно, К является неотрицательным. Если все х, равны единице, то К=О. Если одно апачение х;Ф1 отлично от единицы, то этот член дает положительный вклад в К и К О. >) Си. работу [51 в раздел 34 работы [61. >) Зтому вопросу посвящена работа [7[. Статистическая теория информации и ансамблей ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1.
Сиййеидест Р. А., НевеагсЬ, 2, 450 6949). 2. Еалс)еЬегй Р. Т., Ргос. Ха11. Асас). 8с1. ()8, 40, 149 (1954). 3. Марсе Х. Е., Соеррегг Майег М., 8гаИвИса1 МесЪап)св, Ыеъ с'ог)с, 1940. (Имеется перевод: Дяс. Майер, М. Геалерт-Майер, Статистическая механика, ИЛ, 1952.) 4.
К~ие1 С., Е1ешеп1агу 81аг!вг)са1 Р)сув1св, Нен гог)с, 1958. (Имеется перевод: Ч. Хиттель, Элементарная статистическая физика, ИЛ, 1960.) 5. ЕаийсЬегй Р, Т., РЬув. Нет., 96, 1420 (1954). 6. ЕаидеЬегй Р. Т., ТЬеггсойупаш1св ачт)с Опапгпш 8)лИвИса1 1Ипвгга11опа, Вен с'ог)с, 1961. 7. КсЫйй) Р., )опгп. РЬув. 8ос. Хар., 8прр1., 26, 215 (1969). 8о. Градситсйя И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, И., 1971.
ГЛАВА 3 Статистическая механика идеальных систем П. Ландсберз" В дальнейшем в настоящей книге информационная энтропия, о которой говорилось в гл. 2, и термодинамическая энтропия, рассматривавшаяся в гл. 1, считаются тождественными. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА 3.1. а) Система задается переменными хп хв, ..., хн, имен)- щими неаависимые нормированные распределении вероятностей р»(х!) Рв(хв), °, рк(хк). Показать, что энтропия может быть записана в виде н Я = — Й '~", ~ р; (х!) 1п р; (х;)»1х,, «=! б) Величины х; интерпретируются как три декартовы компоненты скорости 1~, частиц газа с точечным взаимодействием (т. е. частицы являются точками н взаимодействуют между собой, только когда оказываются в одной н той же точке пространства), находящегося в равновесии прп те»»поратуре Т.
Предполагая, что средняя кинетическая энергия, связанная с каждой ковщопентой, равна йт/2, показать, что для состояния с максимальной энтропией 12 «Т) ( 2ьт )' где л« вЂ” масса молекулы газа. в) Исходя из результата п. «6», найти вероятность того, что скорость молекулы газа лежит в интервале (»', '«'+»!г'), и показать, что она равна р(У)оУ, где У может принимать любые значения от О до оо и Р(г)=чнТ'а(2 »Т) ехр ( 2»Т ) ' Это выражение представляет собой распределение Максвелла по скоростям. «Р. Т. Хала»Ь«гв, 1»враг!шеа! о1 АРР1!ее Ма!Ьешамсв аай Матеша!!са! Раув!св, СштегвПу Со11еяе, Саг«!!11.
81 Статистикескал механика идеальних систем Решение а) Независимость распределений вероятностей р; (х;) оаначает, что вероятность обнаружения состояния х„х„..., хя системы равна я р (хо хю ..., хя) = [~ р; (х;). е=-1 Следовательно, антропия имеет вид 8= — й~ ... ) Р)пР1 = — .~ р~ ..рн1п(р~... рм) дхс... с1хм= — й ~', ~р;1пр~с(х;. б) На р, налагаются следующие условия: рс (У~) Л';=1, ~ — тИрс Л'; = — 1сТ (1=1, 2, 3). 2 Чтобы найти максимум энтропии при этих условиях, будем действовать так же, как в задаче 2.2, а именно рассмотрим функцию Г'= — Й 'се' (~ р;1п р; сд'с+а,' ) р;с1й;+ р; ~ р;1сеДТ1), С=1 тогда — = — й ~ (1п р1 + а,' + рЯ + 1) Лсэ = О, дР1 откуда р, =ехр ( — ()Я вЂ” а1), а;= — а,с+1.
Для определения множителей Лагранжа заметим, интеграл, приведенный в решении задачи 2.9, что ее ехр ( — р Ъ',1 — а;) а%', =-1, ее используя с я 1'И т. е. ( — ) ехр( — а1)=1, — (р;) 'й1ехр ( — 111се — 1) с1г' = ~~ . Отсюда имеем ( ) ЕХр( а1) 1 2ВТ~ ( аи ) ЕХР( а1) 6 — Оаэи г) Обсудить область применимости этих результатов, анализируя предположения, необходимые для пх получения. Глава о 82 так что т гмз >а Р ( >)= ( 2п>сл ) ' г> 2>вг откуда следует искомое выражение для ро в) Выражение рг рз рз дает вероятность вектора скорости с компонентами в интервалах (Р"„уг + Л'г) ()>з г' з + гвг'з) (Гм (> +Ы)>,). ИнтегРиРУЯ ато выРажение по сфеРическомУ слою существенно положительного радиуса >> = (г>1 + г>зз + г>,')з>з, находим искомую вероятность Р(г>) Л> ( 2 ~т ) ехр( ит ) 4пг>'ггг>, поскольку Л>г >Л>з гд'з = 4н)>з >Д>. ао сфориассооаз слою г) Основное предположение состоит в том, что распределения вероятностей р, (г>г), р, (Гз), рз (Ра) являются независимымн и что между частицами существует точечное взаимодействие.
В плотном газе такая аппроксимация взаимодействия непригодна. Предполагается также, что одна частица могкет быть рассмотрена независимо от остальных. Вто не выполняется для систем неразличимых частиц в том случае, когда возможны обменные аффекты. 3.2. Для распределения Максвелла по скоростям получить следующие величины: а) Среднее значение >г-й степени скорости (Га) = — ( — ) Г ( "+ ), где и — вещественное число, п > — 1 и à — гамма-функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
