Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Следовательно, 'лз) у +й(язв у ~~Е1 гга Ув б) В системе, удовлетворяющей второму условию, энергия системы может флуктуировать и распределение вероятности охватывает гораздо больше состояний, чем это возможно при фиксированной энергии. Следовательно, Я, (Т,) Я,. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СУММЫ 2.6. а) Если заданы число п одинаковых частиц в системе, ее вяутренняя энергия У п объем г, то для описания системы удобно испольэовать мгшроканоннческий ансамбль (задача 2.1). Если зтн величины изменяются, следует рассмотреть набор ансамблей с близкими значениями параметров п, У, и, которые становится независимыми переменнымн.

Исходя из задачи 1.20, п. «б», показать, что статистическая сумма Й 1п Х удовлетворяет соотношениям Систему, определенную таким обрааом, можно рассматривать как изолированную. б) Для канонического ансамбля независимыми переменными являются и, и и Т, тогда как среднее значение 1л' теперь задано. Систему, определенную таким образом, можно рассматривать как изолированную, находящуюся в тепловом равновесии с большим тепловым резервуаром (термостатом) при температуре Т. Показать, что статистическая сумма удовлетворяет соотношениям в) Для большого канонического ансамбля независимыми переменными являются о, Т и )л, тогда как средние значения У и п заданы.

Предполагается, что система, определенная подобным С~яатистинесная теория информации и ансамблей 63 образом, находится в равновесии с термостатом при температуре Т и с болыпвм резервуаром частиц с химическим потенциалом )». Показать, что статистическая сумма удовлетворяет соотношениям г) Получить соотношение Реп»ение а) Результаты следушт из задач 1.20, п. «б» и 2.4, откуда имеем ТЙЯ = йТЙ 1п Л' = НТ + рйо — («Йп. б) Из задачп 1.7, и.

«а» имеем ЙР = Й (се' — ТЯ) = — — ЬЙТ вЂ” рйв + )»Йп, а пз задачи 2.4 Йг" —.— — Й (1аТ 1п 2) = — ео 1п 2ЙТ вЂ” е»ТЙ (1п 2). Следовательно, » ( йТ »Т откуда получаготся требуемл1е результаты. в) Из задач 2.4 и 1.20, п. «в» получаем 1'аскроем теперь дифференциал в правой части и, используя задачу 1.20, и. «б», упростим зто выражение; в результате находим Й ( — ) = — Й1»+ — (0' — 1»в) ЙТ+ — Йш рс «и р йТ / »Т йТ» »Т г) Так как в последней формуле стоит полный дифференциал, искомый результат получается сразу. См. таки«е задачу 20.4. 2.7.

Система находится при фиксированных значениях химического потенциала и температуры. Показать, что логарифм большой статистической суммы для такой системы пропорционален объему. [У к а з а н и е: Полезно воспольаоваться результатом задачи 2.6, п, «в»Л Гвава 3 Решение Как покааано в задаче 2.6, п. «в», х — = 1п Е удовлетворяет соотношению Следовательно, для системы с постоянными значениями и и Т вЂ” = сопз1. Аналогично, если р и Т постоянны, то из соотношения Гиббса — Дюгема 1с»ь задачу 1.20, п. «г») вытекает, что давление р постоянно.

Таким образом, 1п == — ° и. »ь ЯТ 2.8. Замена статистических сумм У и Я в задаче 2.6 пх термодинамическями зквивалептами, приведенными в задаче 2.4, позволяет получить интересные термодинамические результаты. а) Из соотношения ( ди )ь т «Т вывести соотношение П= — У(д ) б) Исходя из соотношения ( — "), = д1аи 1 У вЂ” ра дТ !ь, а йТ» показать, что Я =. й ~ 1п Е + Т ( — ") и отсюда установить соотношение (дТ ) в) Вывести чисто термодинамическими метотамп, полученные в и. «а» и «б» термодинамические соотношения. Решение а) Заменяя 1пБ на ри/йТ, находим что и требовалось. б) Из заданного уравнения следует 1и ° Сслапсисмикеская пссория информации и ансамблей что является первым искомым соотношением. Заменяя 1п Е так же, как в п.

«а», получаем о — — + ЙТ Т [ дТ в) Из соотношения Гссббса — Дюгема, сформулированного в задаче 1.20, и. «ген о' ссТ вЂ” о др + п сс)с =- 0 находим и =-.- о (ф) (дТ ) МАКСИМИЗАЦИЯ ЭНТРОПИИ. РАСПРЕДЕЛКНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ 2.9, Одномерное нормальное (гауссово) распределение с нулевым средним значением и среднеквадратичным отклонением а описывается выражением р (х) = (2по») Иехр ( — —,), — оо х( оо. а) Показать, что для такого распределения информационная энтропия равна Й1п (2неое)!2, где е — основание натуральных логарифмов.

б) Показать, что для заданного значения ~ х'р (х) с(х = — ое нормированное распределение вероятности, имеющее наибольшую информационнусо знтропс«ю, является одномерным нормальным распределением. Решение а) Для информационной энтропии имеем Ю= — Й ) р(х)1пр(х)с)х= — Й ) р(х) ( — " — — „, ) Йх= = — 1п (2ноа) + —, " х'р (х) асх = — Й1п (2пеое). 2о' 2 б) Мы должны провести максимизацию по произвольным вариациям величины р(х) в подынтегральном выражении о~ оо ~1р(х)1= — Й ~ р(х)!в р(х) с)х — сс ~ р(х) с1х — р ~ х'р(х) с1х, з-е»ее Глава х гдв и, р — мнонеители Лагранжа.

Следовательно, — й- й 1п р (х) — а — ()хл =- О. Отсюда следует, что условие максимума имеет вид р (х) = аехр ( — рхл). Из условия нормировки получаем' ) гя ~не а ( ехр ( — Ьхл) е(х = а 1 — ) = 1р) Далее, ол = а ~ хе ох р ( — Ьхл) е(х == — ( — ) Следовательно, при заданных условиях. 2.10. Пусть — — = 2>'ЯГ ~1+ — ), где à — гамма-функция, Вг 1 г)' р (х) = р ( — х) — распределение вероятности, СО и еег ЛХ„=[) ~х("р(х)дх~ ' (г)0) — момент г-го порядка, Я(р(х)1= — й ) р1п р дх — информационная энтропия распределения вероятности. Показать, что М„= В„ехр ( г Я[р(л)1 1 з й г и что знак равенства отвечает условию для г=1, 2, ....

Для г=О получаем (яф)нл. 67 Статистическая теория информации и ансамйяяй Решение Нам потребуется следующий интеграл: Ю 1т= ) х'ехр( — рх")с(х. о Положим «(х = — х 1' «««(у = — х «" «у" Ыу. 1 1 г г у =х, Тогда у 1 ~ урехр( — ору) (у ( с+1 «) о — 6-<е+ «УгГ ( ), 1 Р(р+1) 1 г .+1 ° («о+«г Максимизируем, как и в задаче 2.9, подыятегральное выражеиие в соотношонии « = — ~ р (х) ( — й 1п р (х) — а — () ~ х (") «(х, откуда — Й вЂ” й1п р (х) — сс — р ) х )" = О. Совместимое с указаяными требованиями распределеяие, отвечающее наибольшей информационной знтропии, имеет вид ро(х) =аехр( — р)х)")е Постоянные а, р могут быть определены из соотношений 1= ~ р(х) «(х=2а ~ ехр( — ()х") а«х=2аГ (1+ — ) (1-««г« — О о Лс,"=2а 1 х" ехр( — рх") с)х= — 'р-<г«-«угГ1 г+ г 1 г / г6 Отсюда следует а= в„ 2Г 1(г+ 1)/г) Мг Мг г-»" = —" Вг Г (х)г « р, (х) = — ехр ( — — ), гМ," что и требуется 5а Глава 2 88 Информационная энтропия распределения рс удовлетворяет соотношению Ве 1 Г ! Вг [х[г ! 1 М„ — — — — рс (х) [~[п —" — — ) ![х — — =1п — ".

г= 3 М. гм' г' г Вг Ю г Ото»ода следует, что при ааданном М„все другие распределения имеют меньшую информационную энтропию, т. е. ! ос 1) 1 8[р[х)1 — '" = вхр ! — — — ) )ехр «1 таким образом, мы при)плн к кскомому результату.

МЕТОД НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 2 11. Состояния квантовомеханичвской системы характериауются полным набором квантовых чисел. Предположи»г, одно из них определяет энергию Еп причем соответствующая кратность вырождения по энергии равна д! (1= 1, 2, ...). Рассмотрим ансамбль из Л! копий этой системы в смысле задачи 2,4. Пусть некоторое состояние такого ансамбля характеризуется числами (п„па, ...), где и, — чксло систем с энергией Е!.

а) Доказать, что число способов реализации этого состояния ансамбля равно ,у! в! в» ! 2 в!.и».... б) Если число и достаточно велико„то справедлива формула Стирлпнга и[ = Г (1 + и) = и"е " (2пп)'/», где через Г обозначена гамма-функция, а п — положительное целое число. Обращаясь к какой-либо книге по специальным функциям'), проверить правильность этой формулы.

в) Сделаем предположение о непрерывности ') по п и определим Ч"-функцию Гаусса соотношением Чг (п) =— — Г (1 + п) . а Исходя из результата п. «б», доказать, что Ч' (п) ж 1п ( и -[- —,) . !) См., например, [81.— Прил. перев'. ») Важность этого предположении и полезность функции Ч' (и) была наказана в работе [21. Статистическая теория инсбормации и ансамбяей 89 Используя таблицы значений функции Ч'(н)'), проверить, что для и ) 3 такое приближение выполняется с погрешностью, меньшей 0,26%. г) Сделав предположение о равных априорных вероятностях различных способов реализации состояния ансамбля, знергия которого считается заданной, показать с помощью п.

«в», что для наиболее вероятного состояния ансамбля вероятности и!!)У описываются соотношением Ф -зк. пг и. бзе ~~ базе »+О(!ПЧ! где р' — множитель Лагранжа. д) Обсудить связь между зтим результатом н результатом задачи 2.2. Решение а) Для каждого состояния ансамбля обозначим системы с одинаковой энергией одинаковыми буквами, а системы с различными энергиями — разными буквами.

Характеристики

Список файлов книги