Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(7) Неравенство (4) является необходимыы и достаточным условием устойчивости фааы, условия же (6) н (7) — лишь достаточными, но не необходимыми условиями, и поэтому возможны такие устойчивые состояния фааы, для которых отдельные условия наругпаютсн (например. в критической точке), ОБЩИЕ РАБОТЫ ') !. 2етапиуд М. И'о Неаг апй ТЬепзойупашлся, 5!Ь ей., Ыечс уогйг 1968. Н. Весуег В., ТЬеогу о! НеаЬ 2пй ей., Вег!!и, 1967. Н!. Р!ийег М.
Е., Еер. Ргойг. РЬуя., 30, 615 (1967]. !Ч. Вотйпиоп л. 3., Ыцшйя апй Ьлс(пЫ М!хгпгея, 2пй ей., Бопйоп,1969. У*. Наваров И. П., Термодинамика, М., 1961. Ъ"!в. Кубо Р., Термодинамика, изд-во «Мир», 1970. УП*. Вуколовин М. П., Новиков Н. И., Термодинамика, М., 1972. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Еапйидегу Р. Т., Аш. 7опгп. РЬуя., 29, 695 (1961). 2. НЬ!епЬесй 6. Е., ВеМту Е.
А., РЬуя. Веч,, 39, 1014 (1932). 3. ЕлпЬипйвг Н., РЬуя. Веч., 74, 805 (1948). 4. Зйиитапп 6., Н!!! Е., Ргос. 1п1егн. Соп(. ТЬегнлойупаш!ся, Сагй1Н, 1970; Риге Арр1. СЬегп., 22, 243 (1970). 5. Ееипег 6., Сгппйгбде йег шесЬап!ясЬеп %аппо!Ьеог!е, 2. Ап!!., Бе!рг!д, 1866, 8. 143. 6. МЯпе Е.
А., НапйЬпсЬ йег Ая1горЬую!с, Вй. 3, 1930. 7. Зе!ее!ей Рарегз оп сйе Тгапз!ег о! Вай1аИоп, ей. 77. Н. Мепте1, Ыочс уог!с, 1966. 8. Еапй«Ь«гу Р. Т., ТЬепаойупаш1ся чЛ!Ь Опав!пш 81аИз!!са! Н!пя1гаг!опя, Мечи и огй, 1961, р. 156. 9. Висрдпуйат М. З., Ра!гЬапйи И'. М., в книге: Ргойтеяя ш Ьотч Тешрега1пге РЬуя!ся, ей. С. 1.
Ооггег, чо!. 3, Ашягегйюп, 1961, р. 89. 10. Р!ррагй А. В., РЬИ. Май., 1, 473 (1956). 11. Ьу!!Ьи уо ТЬе Ргорегг!ея о( Бщп!й апй 8о!Ы Не!Ыш, Ох!огй, 1967, р. 302. 12. Еориигапиуг Х. Т., Ас!а РЫя. Ро1ошса, 33, 953 (1968). и) Здесь и далее звездочкой отмечены работы, добавленные редактором перевода.— Прим. род.
РЛЛВЛ 2 Статистическая теория информации и ансамблей и. 7анйсберг * МАКСИМИЗАЦИЯ ЭНТРОПИИ. АНСАМБЛИ В задачах настоящой главы определяется пнформацпонпая энтропия '). Хотя /с может представлять собой любую постоянную с размерностью энтропии, обычно в качестве й берут постояцную Вольцмана. 2Л.
Система моягет находиться в любом пз Л' состояний. Вероятность того, что система находится в 1-и состоянии, равна р; (1 = ), 2, ..., Л'), причем ~ р; =- 1. Применяя мотод псопрег=1 деленных множителей, показать, что распределение вероятностгд соответствующее максимуму информационной энтропии Л' = — — Й ',р; 1п ры имеет вид 1 Рг=рз= ° ° ° =Рк= —. У и что Л' — — о, = й 1п Лг 1'егяенне Мы дол;кпы получить максимум информационной эятропии Л' =- — й~~ р; 1п р; при условии ~~~ р; = 1.
Пусть а — неопределенный множитель; рассмотрим теперь максимизацию выражения 1 — — — й~~~ (рю!и рз — арз) по всем ры Отсгода находим условие д1 —.=- — Й(1п рг+1 — а) =-О " Р. Т. Баядздегд, Оераггшепг оГ Арр11ей МагЬешапсз апб МагЬешамса1 РЬуюсз, Оп!чегзпу Со1!еде, Сагб1И. ') Б оригинале введенную К. Шенноном информационную энтропию автор называет статистической н, чтобы отличить ее от термодннамической, пишет слово «энтропияз с заглавной буквы, опуская определение.
Однако для удобства читателей в переводе каждый раз приводится полное название с маленькой буквы.— Прилс. ред. Статиетиеееная теория информации и анеомйяей 59 Следовательно, 1п р; = а — 1 для всех 1. Поэтому все р, равпы между собой. Условие вормировки приводит к требуемому результату для реп Для максимальяой ииформацвонпой эптропип получаем с 1 Ял— = о „,== — й К 1 — — 1п —.1=й1п э'. .) — ' 2.2. Пусть экстепсивяая переменная х приппмает значение хо когда система, рассмотренная в предыдущей задаче, паходятся в л-лс состоянии. Пересмотреть нахождение макспиулга ппформапионной энтропии, вьшолнекпое в предыдущей засшче, осли павел стяо, что среднее значение х (=~~~ р,х;) имеет задзпяую величину хо.
Показать, что для 1 — -- 1, 2,..., .У и пеопределелшого миояштеля ~) р~ = —, ехр ( — рх;), г() ' где Л (х) = — ~~, ехр ( — рхс). Показать также, что Я„„„,=--Юз=йб „+Ипг. Решение Обобщим решение задачи 2.'1, рассматривая выражение 1= — й ' (р; 1п рс — арс+ррсхс), где р — второй неопределенный множитель. Имеем — = — й (1п р~+ 1 — а -'- рх;) .
д1 Отсюда следует, что 1 рэ = г ехр ( рЯхс) (1=- 1, 2,,) где 2 (х) = — ~~ ехр ( — ~х~) . Далее 1 га1 гб1з хо= ~ рзхз= — ~ хзехр( — ~хз) -=- — ~ . ' ] г (я) Зр ес, ае, Глаоа х Наконец, бо — = бмакс =' + й ~~~~~ рз фх~ + 1п Я (х)1 = й()хо+ й 1п Я. 2.3. Экстенсивные переменные х н у принимают значения х; п у; соответственно, когда система, рассмотренная в двух предыдущих задачах, находится в состоянии й Пусть средние значения х и у для системы фиксированы (х, и уо соответственно); показать, что максимуму нпформационной энтропии отвечает функция распределонпя р,= — ехр( — ~х~ — уу,) (( =-1, 2, ..., Л'), 1 где Я= У„ехр( — 1)х; — уу;) и ~) и у — неопределенные множители. Показать также, что б = Ьо— = Тхо+ йууо+( 1в и.
Репоение Поступая так же, как в предыдущих задачах, находим ~= — й~~, '(р;1п р; — ир;-~-фрохо+уру), — = — к(!п р;+1 — и+ рхз+уу,), д1 Следовательно, 1 р; =- — „ехр ( — ~х~ — уу;), гдо Б = — 2„' ехр ( — рхо — уу;) .
Далее, о — ~Х~~ Р*'~с — — ( Зр )„, . Уо — ( а ) . гн а. Наконец, Яо = Я„,„, =- (с ,'~~~ Р; (Рх; + УУо+ 1п и) = — кухо+ 1оУуо+ к1п Е. о 2.4. Набор копий системы, распределение которых по состояниям в любой момент времени определяется вероятностями -ры полученными в трех предыдущих задачах, называется ансамблем.
Задача 2.1 описывает микроканонический ансамбль, задача 2.2— канонический ансамбль, если х является внутренней энергией Статистическая теория информации и ансамблей 61 системы, а задача 2.3 — большой канонический ансамбль, если х является внутренней энергией системы и у — число (одинаковых) частиц в системе. Величины У и Б называются етатиетическилси еумлгами. Термин болыиие ансамбли иногда применяется в тодг случае, когда полное число частиц фиксировано только в среднем.
В малых ансамблях полное число частиц фиксировано точно. Показать, что при такой интерпретации могут быть установлены следующие соответствия, согласующиеся с термодинамикой: й —,, у — — „, — И)пг У, йТ)пВ р, где à — свободная энергия, при условии, что информационная энтропия и термодинамическая энтропия потуг быть отождествлены. Решение В каноническом ансамбле (энтропия Ьг) величина х, является внутренней энергией дг Яз=)срдл'+й1пЕ=, (ср. задачу 1.7, п. са») Гл — е В большом каноническом ансамбле (энтропия Я») величина уа есть среднее число частиц и, и, следовательно, Яз = 1срдл'+йуи+ гс1п Я = г'" Р' (ср.
задачу 1.20). Иа этих соотношений следуют приведенные в условии задачи соот- ветствия. 2.5. а) Система характеризуется значениями величин У = дд'„ о = од, и = и,. Пусть прн этом ео энтропия равна ог. Прдл других условиях она характеризуется величинами о =- иг, и = дг, и темпоратурой Т,. Пусть тогда ее внутренняя энергия есть ТУ = У»(Т,) и ее энтропия равна Я»(Т»). Выбирая соответствующий ансамбль, доказать, что если У (Та) ) дд'„то о а (Т,) ) Яд.
б) Качественно обсудить этот результат с точки зрения распределения вероятностей '). Решение а) Применяя канонический ансамбль, получаем, что для системы, удовлетворяющей второму условию, д) См. также работу (1). Глава 2 Вместо суммирования по состояниям в 2, (как в аадаче 2.2) можно производить суммирование по энергиям Ея вводя кратности вырождения д~ уровней энергии.
Обозначая череа Ев некоторое определенное значение энергии, получаем 22 ~з звехр ( ьу ) ~эвехр ( ьу ) Примем теперь анергию Еа равной энергии П, при первом условии, напои'енном на систему. Тогда дв = д, становится равным значению Х задачи 2.1 для мпкроканонического ансамбля, соответству1ощего первому условию, и 5, = Й 1п д,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
