Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(16.28) При переходе от классическою выражения для функции Гамильтона к оператору Гамильтона (16.19) мы можем, как и в механике частиц, считать зависимость от времени включенной только в ВФ А, (представление Шредингера) или только в операторы Р„11-,. (представление Гайзенберга). Мы выберем первый вариант — представление Шредингера. Зависящие от времени ВФ имеют вид 2ГЬсг,~'(ггт — „г) ~/ г,з,„ (16.29) 3. Как и при рассмотрении гармоническою осциллятора в п. 3.6, введем безразмерные операторы 2го ) я й, = ~/ — (гг(„1г + гР,). 2ю.
Из коммутационных соотношений (16.18) следуют перестановочные соотношения для операторов [й„й,) =1, (й„й,,1 = '(й,, й~1 =. О. Таким образом, операторы й г и й можно рассматривать как операто- ры рогкдеиия и уничтожения фотонов, действующие в пространстве чисел заполнения с базисными функциями (16.10). Из (16.26) видно, что фотоны являются бозонами.
Гамильтониаи свободного электромагнитного поля, выраженный через операторы й, и й,, имеет вид Н = ~ — ' (йгй,.ь+ й~йг) = ~~~ Ггиг (и, + — 1. (16.27) г 1 Взагсмодевствне с звекнромсгеннтнььв полем 273 4. Рассмотрим УШ для нерелятивистской заряженной частицы без спина, взаимодействующей с переменным электромагнитным полем, которое будем описывать классическими (не операторными) потенциалами А и .'.
УШ имеет вид — И вЂ” У = ~~ +е3 (т)1у — (рА+Ар)у+ А у. дг 12!п ! 2ьвс 2тс' (16.30) Второй член в правой части преобразуем с помощью равенства [р, А~ = — Ис()уА. (16.31) Если векторный потенциал удовлетворяет условию кулоновской калибровки (16.2), то УШ примет вид — (6 — = ~ ~ + е) (г)1 у — — 'Ару + ' А у. (16.32) дг с1т тс 2тс' Оценим порядок величин в правой части для внешнего поля, гармонически меняющегося во времени: А(1) = — 'вйзм1. (16.33) Тогда если импульс частицы имеет типичную для атомных систем величину р тезгс ', то члены в правой части (16.32) имеют порядок величины Ео, ЕоЬ и ЕоЬ2 соответственно, где Ь безразмерный параметр: Ь= — ' (16.34) ми тем В оптическом диапазоне (и = 10ш с ') параметр ь сравним с единицей в полях с напряженностью Ю = 10в ед.
СГСЭ = 10" В/см, т. е. при интенсивности излучения 1 10'з Вт/смз. Чаще приходится иметь дело с полями, в которых выполняется условие Ь « 1. Поэтому второй и третий члены в правой части (16.32) можно рассматривать как малые возмущения. Отметим, что даже при Ь « 1 членом, квадратичным по А, нельзя пренебрегать по сравнению с линейным, так как они описывают различные явления.
5. Рассмотрим взаимодействие квантовомеханической системы с квантованным электромагнитным полем. Для этого в УШ (16.32) заменим классическое выражение для вектор-потенциала на оператор (16.28). В дальнейшем для краткости квантовомеханическую систему будем называть атомом. Гамильтониан системы «атом + полев имеет вид (16.35) Н=Н,+$'+Нг; 18 ГКВ. Елки ив, В.Д.
Кривчсиков 274 Гливп!б где (16.36) Отметим, что оператор взаимодействия зависит от времени явно. В (16.35) мы опустили оператор возмущения, квадратичный по вектор-потенциалу. В отсутствие взаимодействия стационарные состояния системы описываются произведениями СФ гамильтониана атома ~п) (под и понимается набор квантовых чисел) и СФ гамильтониана свободного поля в представлении чисел заполнения ~п,). Здесь и, означает число фотонов с заданными значениями волнового вектора 1с, и поляризации е,. Матричные элементы зависящего от времени оператора Ъ'(г) в первом порядке теории возмущений отличны от нуля только между функциями состояний, в которых число фотонов с некоторым т отличается на единицу".
(и, и,)Ци, и, + 1) = (еч п~Ъ', )и, и, + 1). где введен оператор е ) 2рв - - ~(яг-,.ц (16.37) т у' Л~ы Такой переход соответствует поглощению фотона атомом. Аналогично, переход, соответствующий испусканию фотона, определяется вторым слагаемым в операторе Ъ'. (и, п,'~Ъ "~т, ки — 1) = (и, п)Ъ'~)п, п — 1), где введен оператор 6. Пусть в начальный момент времени поле находится в вакуумном состоянии — все числа заполнения равны нулю. Тогда единственным возможным процессом будет непускание фотона. Поскольку при размерах куба 7 з, больших по сравнению с длинной волны фотона 1, спектр свободного поля является квазинепрерывным, мы используем полученное в и.
11.8 золотое правило Ферми: (16.38) Взоггггос>ейегнегге с эггекнгронггенггнгнгям ноле и 275 е = ср = Гггл. Учитывая это равенство, для функции плотности состояний получаем вырамсение ( ) г)Хр Ьлег ггГ) сс Ь (2рс)л Подставляя это выражение в формулу (16.38), получим (16.39) г Ьг (зрс)~ ти г'ле 2 (Де ' р~г)е„гИ. Наибольший вклад в матричный элемент (У~ '"'рй = 77(г) '"'р1;(г))г дают области значений г, в которых атолгные ВФ заметным образом отличны от нуля: г ао = О, б 10 'ь см. В оптическом диапазоне й - 10в см ', и в существенной области интегрирования показатель экспоненты оказывается малым. Ограничиваясь первым членом раз- ложения 2 -ше 1 ()се) 2! (16.40) получаем ()гге гггг) (Ггр)г). Учитывая доказанное в п.
2.9 тождество — (Г грггг) = Ъ~уг () гтгг), получаем для ггР~ следующее выражение: з г)Р~, = ~г))ге ) ггй. 2рсг% (16.41) 18 где индексы г и г опгосятся к конечному и начальному состоянию атома соответственно. Определим плотность числа состояний. Число состояний поля с фотоном, импульс которого лежит в интервале значений (р, р + 4р) и интервале углов дй, есть* г р г)ргИ Ь е ЙГгг)В (2р)г)л сг (2рн) В последнем выражении через е обозначена энергия фотона с величиной импульса р: 276 Гзивп! б Здесь г17, означает матричный элемент дипольного момента: г1 = = ег.
Выбирая ось сферической системы координат в направлении импульса фотона 1с и учитывая, что вектор поляризации ортогонален импульсу, представим (16.41) в виде г)Р'; = " ~г17;~ в)па дг)соэс~г11. 7' з,сяв Полная вероятность испускания фотона в единицу времени определится интегрированием ло углам с1 и 5: "=3 ( — "').з ~ де а — постоянная тонкой структуры. Для атомов матричный элемент г7, по порядку величины равен с~/Ьи и вероятность излучения Р7, в единицу времени имеет порядок (16.43) Вероятности переходов при наличии фотонов в состоянии с числами з. отличаются от Р; только числовыми мнозкителями.
Учитывая соотношения (и+1~й' ~п) = оп+1, (и — Цй(и) = х1п, получаем Р„~(п, — ЦЪ', (иД~ = п,Р, (16.44) Р, ((гц + 1/Ъ', !пД) = (и, + 1) Р~. (16,45) Процесс испускания фотонов в отсутствие квантов в начальном состоянии называется спонтанным изтучениеи. Процесс испускания. связанный с наличием квантов в начальном состоянии, с вероятностью в единицу времени Рве — т,р' называется вынужг)еннььи нзпученнсяь Формула (16.44) относится, очевидно, к поглощению.
7. Заметим, что в выразкение для вероятности спонтанного излучения Р+ не входит объем куба периодичности 1з. Поэтому его моя<но отнести к излучению атома в свободном пространстве. То обстоятельство, что вероятности процессов, происходящих в присутствии поля, (16.44), (16.45) также не зависят от объема Ьз, позволяет установить связь между локальной плотностью энергии поля и = — "(я'+н') вр Вэа1еиос)ейстеое с электрои~инетным1 оолеи 277 и числом фотонов в единице объема п„которое входит в вычисления, предполагая, что соотношения (16.20), (16.23) выполняются и в этом случае. Формула (16.45) указывает условие применимости классического рассмотрения электромагнитного поля, действукицего на атом; таким условием является неравенство гь» 1. Отметим также, что использованная нами ВФ фотона 2рдсэ 1(1~е — „1) о е соответствует однородному распределению координаты в объеме В (как и для нерелятивистской частицы с заданным импульсом).
Однако функция, определенная таким образом, не является калибровочно иивариантиой. Заменив е, на е. + )с г (и), мы получим прежние выражения для полей К и Н, но другое выражение для плотности вероятности координат фотона, 8. Электромагнитное излучение, вероятность которо1о определяется матричным элементом дипольного момента, называется г)ииольнылч электрическим 11атгчениеи или Е1-излучением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
