Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 44
Текст из файла (страница 44)
арзаз ' ' арзазс Определим дифференциальное сечение тормозного излучения как отношение вероятности перехода к плотности потока начальных электронов: рйпз ' Л з. Используя золотое правило, получим 2ОО 1 лава 1б Энергетические знаменатели в квадратной скобке формулы 116.75) различаются только знаками и не содержат угловых множителей. Поэтому мы можем о(раничиться рассмотрением угловой зависимости числителей.
Для различных значений поляризации имеем а = 1: (е)р — е>с1) = — рвшг1+ д(в1пс1сова — совс1вшав1пЬ), а = 2: 1е >р — езс1) = — в гйп а вш Ь. Возводя эти функции в квадрат; складывая и интегрируя по с1 и Ь, получим гг(Й~г .яг (,р — гг)'= (дг.~р'-грд . ). Оставшееся интегрирование по а также выполняется элементарно; -(-1 316 о сй ~ >(сова 3 р й,) рг + ог — 2рр сов а -1 Отсюда находим окончательный результат: 116.77) )1в (Й) = — У а — 1п 3 рг '1р (() й Введем безразмерную величину по равнук> отношению энергий фо- тона )Ис и начального электрона Г,: 2тс г)=й— ь г' Тогда выражение можно представить в виде ,~ ( ) 13~2 311 (1)->)Т- ч) Ф 3 р' ),1 — Т:ч/ ч' Логарифмический множитель при не слишком малых г) меняется медленно, и зависимость сечения от энергии определяется главным образом множителем >) 1.
Спектральная интенсивность тормозного излучения определяется выражением сЫ 1ггг) = — Езаз — 1п > ~~1 Н>с. (16.78) рг 1,1- >)1:Ч1 Зависимость спектральной интенсивности от >1 показана на рис. 47. Отметим логарифмический рост Я (г)) при )с — > О. Такое поведение Взаггтойвггствив с электроаигвнннгньгм оолен 291 характерно для чисто кулоновского потенциала. Отметим, что при гв — > 0 матричные элементы возмущений (16.72), (16.73) становятся большими, а энергетические знаменатели в (16.74), напротив, малы, Таким В образом, в этом случае нарушаются условия применимости теории возмущений.
0 0,2 0,4 0,0 О,В ч Здесь для А должно быть взято выражение (16.28). Выбирая ВФ электрона в начальном и конечном состояниях в виде ~~лоских волн, как в и. 16.14, и обозначая через Ь, е, и к, е1 импульсы и поляризации фоюна в начальном и конечном состояниях, запишем матричный элемент перехода: в ~ 2РЬс 2 г(рьн — Ч вЂ” К)г ( 2твг 1 Ввгг7гй Интеграл отличен от нуля только при условии 1с+ с(= р+Ь и вычисляется в этом случае элементарно: вг 2ра е,ет тв1 г г1Я Нашей конечной целью является вычисление сечения рассеяния фотона.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется золотым 15. Выше мы рассматривали одно- квантовые процессы, в которых начальное и конечное состояния поля отличались значениями только одног о из чисел запол не ни я. Сечения таких процессов определялись в первом Рвс. 47 порядке теории возмущений по полю матричным элементом возмущения, линейного по оператору А. В нерелятивистском приближении возможны следующие двухквантовые процессы: двухфотонное поглощение (в начальном состоянии— два фотона, в конечном — фотонов нет), двухфотонное излучение (в конечном состоянии — два фотона, в начальном — фотонов нет) и рассеяние (в начальном и конечном состоянии — по одному фотону с различными, вообгце говоря, квантовыми числами). Рассмотрим рассеяние фотонов свободными электронами.
В этом случае в первом порядке теории возмущений отличный от нуля вклад дает только второе слагаемое в операторе возмущения в (16.32): г )га = — вА2, 2тивг 292 Егос<г !б правилом: дв(1с, а) = — ' ~ [(1[1<2[г)~ т(Е1), с Ь, (16.79) где плотность конечных состояний Гзьг НП г(Ю =— арз ДЕ< При заданных Ь и р величина и направление импульса фотона в конечном состоянии связаны углом рассеяния о между направлениями Ь и к.
Примем для простоты, что в начальном состоянии элекгрон покоится: Ь = О. Тогда из закона сохранения энергии следует равенство Ь."6 = )гс1с+ — г = йс [!с+ — (1с — Ь) ~, (!6.8!) 2гп 1 2 где введена величина 1 = — = 386 10 ' см, гпс называемая г«гггпт<гг«гаск<гй <)лгп<пй волны электрона.
Дифференцируя формулу (16.81) по к, найдем входягцую в выражение для плотност и конечных состояний величину: --- = (- — г) = ~6с[1+ 1(Ь вЂ” )ссовс1))~ '. (16.82) <гЕ< г. <<Ь Рассмотрим произведение векторов поляризации е<е .
В качестве базисных направлений удобно выбрать вектор ег в плоскости Ьа, а вектор ез — перпендикулярным этой плоскости. Тогда отличны от нуля будут только произведения езоз = 1. < У, < 1 Если начальный фотон не поляризован, то формулу (16.82) следует усреднить по поляризациям. Это приводит к появлению в выражении для сечения множителя (е'ег) = — (1+ сов с1) . 2 Итак, для усреднения по поляризациям дифференциального сечения рассеяния получаем формулу г.<йг= ( ' ) [ ' ~ -'""' '<и. <~<83< Учитывая малость величины 1<1 в нерелятивистской области, можно разложить Ь по этому параметру.
Сохраняя члены первою порядка по Й1, получаем 4~ (<г) — [ — ' ) [1 — 2)<1 (1 — соа с1)) ' ' <1П. <. гпс l 2 293 Взаимодействие с электроиагннлгнььн полни Интегрирование по угловым переменным элементарно. Полное сечение рассеяния имеет вид и-'~го(1 2И)-нг11 2й~). 3 ' Здесь нт есть классическое томсоновское сечение рассеяния свободными электронами. Квантовая поправка уменьшает сечение с ростом энергии фотона*.
злдлчи 1. Показать, что в дипольном прибил>кении в системс двух тоя(дсственных заряженных частиц излучения нет. Лналогичнос узвар>адонис имеет меся и в классической элскгродинамикс: для двух частиц с одинаковыми е и гп дипольное излучение нсвозьзоягно. 2. Доказать, что переход из а-состояния в а-состояние запрошен во всех порядках мультиплстности. 3. Найти зависимость от зг вероятности дипольного перехода ьзсзкду состояниями частицы в кулоновском поле с главными квантовыми чисдами п н эр при Гзг — > сс. 4.
Определить зависимость сечения рекомбинации электрона в состояние 1а атома водорода от начального импульса электрона. НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Постоянно используются сокращения: ВФ вЂ” волновая функция, СЗ вЂ” собственное значение, СФ вЂ” собственная функция, УШ— уравнение Шредингера, Фà — функция Грина. Операторы: Операторы обозначаются значком - над буквой.
Постоянно используются обозначения: ач, а — операторы Бозе; с, с — операторы Ферми: Н вЂ” гамильтониан; ,з,,7 — полный момент частицы, системы; 1, Ь вЂ” орбитальный момент частицы, системы; р — импульс; а, о' — спиповый момент частицы, системы; Параметры; а — характерная длина потенциала; Й вЂ” волновое число„ Е вЂ” энергия; 77о — характерная величина потенциала; Я вЂ” заряд ядра в атомных единицах; Константы: ао — боровский радиус = 6-/птел = 5, 292 10 и см; с — скорость света = 2,99793 10ьэ см/с; е — заряд электрона = 4, 803 10 ~а ед. СГСЭ; тп., — масса электрона =- 9,109 10 "'" г; гпр — масса протона = 1. 673.
10 зх г; 6 — постоянная Планка = 1, ()54 10 зт эрг.с; а — постоянная тонкой структуры = ез,'йс, 1,1а = 137.04. ПРИМЕЧАНИЯ К сгл)э. 5. Приведенные в первой главе определения и формулировки теорем достаточны для понимания дальнейшего изложения. Более строгое и последовательное изложение можно найти в книгах: Н. И. Ахнезер, И.
34. Глизшан. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — Мл Наука, 1966. Ф. Рисе, Б. Секефольви-Наг)ь. Лекции по функциональному анализу. — Мл ИЛ, 1954. Изложение математического аппарата, тесно связанное с задачами квантовой механики, можно найти в книге: П. А. ЛХ Дирак. Принципы квантовой механики. — М л Физматгиз, 1960.
К стр. 7. Приведенное определение с)-функции достаточно для целей дальнейшего изложения. Теорию см. в книге: В. С. Влаг)цниров. Уравнения математической физики. — Мл Наука, 1971. К слцт 7. В дальнейшем мы будем считать, что рассматриваемые функции дифференцируемы необходимое число раз. К стр 30. Отметим, что равенство явдяется следствием одних только коммутационных соотношений и поэтому выполняется в любом представлении. К слгр.
44. Другие примеры применения метода факторизации можно найти в книге: Х Грин. Матричная квантовая механика. — Мл Мир, 1968. К сир. 57. Теорию когерентных состояний можно найти, например, в книге: Дэк. Клауг)ер, Э. Суг)аршан, Основы квантовой оптики. — Мл Мир, 1970. 296 Примсчааия К сир. 83. Гипергеометрическим называется уравнение :. (1 — х) —, + (с — (а + Ь + 1)] — — абп = О, дс лс где а, Ь и с — любые комплексные числа. Если с не равно нулю или отрицательному целому числу, то одно из его решений, регуляр- ное в нуле, есть гипергеометрическая функция К (а, Ь, с, ) (иногда обозначается как з.Г1), которая определяется рядом с (с —, с !! с (с и 1) 2! Второе независимое решение есть из(х) = я' 'г (а — с+1, .Ь вЂ” с+1, 2 — с, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
