Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 43
Текст из файла (страница 43)
огп)(гггг с н)1) 284 Гэиап!б В пределе (юо — и) ~ -э оо вклад в интеграл от действительной части даст только монотонная функция (ыс — х), так как сов [(но — н)1) быстро осцнллирует. Прн этом интеграл от действительной части следует вычислять в смысле главного значения, учитывая нечетность Пе Г (н). Таким образом, о имеет отличную от нуля мнимую часть 1т о = — — г(ы) 1Ц д 1 л(~. — ~) о соответствующую поправке к средней частоте излучения. Обычно эта поправка незначительна. Интеграл от мнимой части Е(я) определяется окрестностью точки ь = юо. ~1-~я ~П мял(ми — ю)е) ям мо .я о ()с )Щз П ашн о Мд Г ~о — ~ о Таким образом, действительная часть д определяется равенством Ве я = — ~ т1 ко) Щ1~ й ' г1П А, и равна полной вероятности излучения в единицу времени.
Распределение фотонов в конечном состоянии по энергии можно получить из (16.60), положив 1 -э сс: ~па (У)! Интегрируя по телесному углу и умножая на плотность конечных состояний (в интервале энергий), получим с учетом 116.62) ~~~ М) э (16.63) 2р (я. — яа)э Э э-'~4 Форма линии, описываемая выражением (16.63), называется есшествепной или лоренцевской. Отметим, что ширина линии оказывается пропорциональной интенсивности спонтанного излучения: чем спектральная линия интенсивней, тем она шире. Такая же связь между шириной и интенсивностью линий имелась и в классической модели осцнллятора с радиационным затуханием.
Однако при переходе между возбужденными состояниями ширина линии определяется суммой констант ч для верхнего и нижнего уровней: Я = Я. + Яу. 285 Взониодво1тнвнв с звектротиннтнвги волен Поэтому спектральная линия, соответствующая переходу в коротко- живущее состояние, будет широкой, но, возможно, слабой. 13.
Выше мы рассматривали переходы под действием электромагнитного поля, в которых как начальное, так и конечное состояния атома принадлежали дискретному спектру. Если энергия поглощаемого фотона Ью больше потенциала ионизации 1, то в результате поглощения один из атомных электронов может перейти в состояние, принадлежащее непрерывному спектру. Это явление называется фотоэффек>поль Вероятность перехода в единицу времени определится формулой Р1 = — р ((~.
О! Ъ, ~)1, 1) г (Е1) . Основное упрощающее предположение в теории фотоэффекта состоит в замене ВФ конечного состояния, учитывающей взаимодействие электрона с атомным остатком. на ВФ свободного состояния — плоскую волну Я Плотность числа конечных состояний для свободного электрона имеет вид Вврт 11- 12рл)' Итак, вероятность испускания в единицу времени электрона с импульсом, лежащим внутри телесного угла дй, имеет вид ЫР1, = Г .' (с1, 0)Ъ" )1., 1) (2ра)в Используя явный вил оператора взаимодействия — Ц~ "') ( — 1йе 17) й т Г' овн поучим выражение для вероятности фотоэффекта в виде в Г 2 Г1Р1, = Р ~ ей~» ч~) (е,T) у; (г) в1зг дй. (16.б5) 2~Д,ннтв Очевидно, это выражение явно зависит от нормировочного обьема Ва для фотонов.
Удобнее вычислять величину сечения перехода, равную отношеникз вероятности перехода к плотности потока фотонов й 'зс. Вычислим сечение фотоэффекта для атома водорода в основном состоянии. ВФ начального состояния имеет вид у,(г) = е ~' ров 286 Гоара !б Введем обозначение ж для волнового вектора переданного импульса: ж = 1с — Ч. Проводя в формуле (16.65) интегрирование по частям и учитывая поперечность поля, найдем 1 Г 1 е (е1х')уодг = е1Ч у,е зг .
Интеграл вычисляется элементарно в сферических координатах: 1 / г . Х . 2 В~/ра~' хурао ао ехр ( — — -~- и, 'аог сов с)) 2р а)п ог Йт дс~ = (1 о ало~ ) (16.67) Обозначим через о) угол между направлениями импульсов фотона )с и электрона Ч, а через 1 — угол между плоскостями 1сс1 и е)с. Тогда ес1 = д вш с)сов 2 , . 2 , ,'2 ,о' я 1„2 ') а. = 9 (1 — 2-'совс1+ — ') . я ч Если энергия электрона в конечном состоянии много болыпе энергии связи.
АЯ ооп 2т Ао то волновой вектор электрона много больше обратного боровского ади са: р у 2 2 е опал Ч ао» вЂ”,— = Е йоао ДаЛЕЕ, уЧИтЫВая, ЧтО ВОЛНОВОЙ ВЕКтОр фОтОНа й = не 1, ИМЕЕМ )о и ял оч 2ола В нерелятивистском приближении можно ограничиться членами - Ь)/гпс. Тогда, пренебрегая в знаменателе формулы (16.67) единицей в силу неравенства (16.68), получаем та,',)одо (1 — (Бддпа) оооЧ)~ Угловая зависимость в числителе показывает, что наиболее вероятно непускание электрона в направлении электрического поля падающей волны. Отметим, что при выводе формулы (16.69) мы не использовали разложение экспоненты в операторе взаимодействия. а поэтоьчу учли все порядки мультипольности перехода.
Проводя вычисление в дипольном приближении, что эквивалентно замене ж=Ч: мы получим вместо углового фактора в знаменателе (16.68) единицу. Взаггггог)еггетвгге е,зггектрогиггенггнгнызг волен 287 В этом случае можно провести интегрирование по утлам и получить явный вид полного сечения: е = — ааО ( —,11 (16. 70) 3 ' ~В) где Е = гггг — энергия фотона. Подчеркнем, что наше приближение пригодно лишь при Г )) 1. Вблизи красной границы фотоэффекта нужно пользоваться точными ВФ электрона в кулоновском поле.
Соответствующие расчеты показывают, что учет взаимодействия в конечном состоянии приводит к появлению в формуле для сечения дополнительного множителя 11 ехр( — 4хагсггях) 1 Е(х) = 2р х= ~/ Е 1 — ехр( — ярх) 1г  — 1 Множитель Е (х) уменьшает сечение фотоэффекта вблизи красной границы. При Е = 1 Е (х) = 2ре ~ = О., 12 и медленно возрастает с увеличением знерг ии Е, Даже при Г = 601 значение Е (х) составляет е всего 0,66. Отметим, что сечение ионизации на красной границе имеет конечную величину. Это связано со специфическим поведением кулоновских ВФ непрерывного спектра на больших расстояниях.
Для частиц, связанных короткодействую- 11г шими потенциалами„при Е = 1 сечение фотоэффекта обращается в нуль. На рис. 45 показана зависимость сечений от Е71 для атома Нг Рис. 45 и отрицательного иона Н, . Отметим также степенной характер убывания сечения при Š— > хг. 14. Выше мы рассматривали однофотонные процессы, в которых начальное состояние системы принадлежало дискретному спектру. Если начальное состояние электрона принадлежит непрерывнолгу спектру, а фотонов в начальном состоянии нет, то возможны два типа однофотонных процессов, Конечное состояние электрона может принадлежать дискретному спектру:, а конечное состояние поля будет содержать один фотон. Такой процесс — рекомбинация — противоположен фотоэффекту.
Его сечение определяется мазричным элементом (16.66). Конечное состояние электрона может принадлежать непрерывному спектру, а конечное состояние поля будет содержать один фотон. Такой процесс неупругого рассеяния называется нгормозггы.гг излр челггез ь 288 Е2иоа Гб Рассмотрим тормозное излучение электрона в кулоновском поле ядра. Вместо использования точных ВФ непрерывного спектра мы, как и в п.
16.13, будем описывать начальное и конечное состояния электрона ВФ свободного движения с определенным импульсом ,рг У2 — — УУ вЂ” — та влияние кулоновского поля ядра учтем как возмущение - г Ъ'и = — ' г Матричный элемент оператора взаимодействия с полем Ъ'е меж- ду функциями у; и у7 обращается в нуль: свободный электрон не излучает. Отличный от нуля вклад возникает только во втором по- рядке теории возмущений от члена первого порядка по Ъ' и и по Ъ'е. С!Ы$)=2 (' """" "' ' ' ""'~ ""). (367~) Е, — Е„ Е, — Е, аь Матричные элементы операторов Ъ'ж и (ге вычисляются элементарнщ М1' ~) (16.72) ~р.
Ь|2 ' (Ь, 1с~Ъ'г~р, О) = — — '~ ~ е,рс1(р — Ь вЂ” 1с). (16.73) гл я Ьз~ Энергии начального и конечного состояний определяются импуль- сами соответств> ющих свободных частиц: л'р' лзд' 2т 2ув Учитывая закон сохранения импульса, имеющий место при взаи- модействии с квантовым полем, энергии промежуточных состояний можно выразить через импульсы р, и, к: Е, =- — ' (с1+ 1с)2, 2т Е, = —" [(р — й)2+ '"е~~ . Подставляя выражения (16.72), (16.73) в матричный элемент (16.71), получим ()'/Цг) — ~ ' ~ Г (е ™ + ( ~) 1 . (16.74) Ла т ~ Езч ~р — Ч вЂ” Ц~ 1.Е, — Е„Е, Еь~ Взоииодейгтвне е электролниннтньси солев 289 Направления импульсов фотона 1с и электрона р в конечном состоя- нии независимы.
Поэтому функция плотности конечных состояний может быть представлена как произведение плотностей состояний для фотона и свободного электрона: Кз ' /с 1 ' е е рз р ~р — ч — !с~~ В, — В Е, — Вз Найдем выражение лля энергетического спектра испускаемых фотонов. Для этого надо формулу !'! 6.75) просуммировать по возможным направлениям поляризации е, и проинтегрировать по угловым пере- Л1ЕННЫМ. Введем систему координат с осью Ог вдоль р и плоскостью Ох", совпадаюшей с плоскостью р1с (рис.
46). Тогда компоненты векторов р, Ч, 1с будут определятся выра- жениями р = р (о., о, 1), 1с = й (и!и с1, О, сов Ч), с! = 17(в!пасовЬ, в1пав1пЬ, сова). Рис. 46 Вектор поляризации е„ортогоиален импульсу фотона 1с, потому удоб- но положить е1 = ( — ссзвсс, О, в!пЧ), ез = 10, 1, 0). В нерелятивистском приближении формулу (!6.75) можно упро- стить, воспользовавшись, как и в и. ! 6. ! 3, малостью импульса фото- на. Тогда Е; — Еи = — (р — с! — 2Ч)с — и ) = — 1,р — с! ) Л 2 2 лз 2т 2т Ез — Еь = — ! — 2 — "й+ 2с!1с — й ( — — (9 — р ), Й с' зн.с 2'з Л' 2 2 2т, 1с 2го 2 ~р — с! — 1с~ — (р — с!) = (р + 9 — 2рд сов а) (!6.76) 19 П.В. Влютии, В.Д. Кривчснков гс)Е = Е с!Пс Е с!Пргзссй:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
