Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика (с задачами). Под ред. Н.Н.Боголюбова (1185121), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Рассмотрим матричные элементы дипольных переходов для частицы, связанной в центральном поле. Состояние системы определяется квантовыми числами и, 1, т. Волновая функция допускает разделение переменных у (сЬ 5, 1) = Л'.„1 (Г) гп (съ 7'). Угловая часть ВФ имеет вид 'т~) (~, 7') = П) (сов с)), (16.46) 2о 1де По' (сов с)) — нормированные присоединенные функции Ле1кандра: 2 (1 ч тп)! Матричный элемент компоненты дипольного момента может быть записан в виде (п)эл~о(1 ~п(т) — К~К„г)1У,*„,У)„огз с(г гИ. (16.47) Вместо декартовых компонент д„г(ю д, мы воспользуемся разложе- нием вектора с1 по сферическим гармоникам: 1(о = ег сов с1 = у.
2 г)'1о = д»., — 172 Н1 = ЕГ В1П С)Е"' = У у11 = дк + Ир, г( 1 = ег в)п с)е " = ог1'1 1 = г(, — (с(ю 278 Гшва 16 где =д Рассмотрим вычисление интеграла (16.47); 1 (п1п~г( (п(т) = д 2л Л,Я~гас( У,*У)„,У~ гИ. Начнем с интеграла по угловым переменным: 1( ) = П1" (совсз) П;(совсз) П~ (совст) 1~') г(совсЬ 7(~) ~8 ~ — 312 " к .1 ~ -~-~п:к (1 — Н-1) д(т--и — а) Последний интеграл вычисляется элементарно: 2р (2р) ~ 1(т+ ье — и) о Он обращается в нуль, если только не выполняется условие т+ю — в=О, при которолз р ь ~ Для вычисления интеграла по а воспользуемся значениями низших присоединенных функций П,'": соотношением ортогональности П~ (х) П, (х) г(х = сзп л — 1 и рекуррентными формулами т (1+ т) (1 — т) ьл (21+ 1) (21 — Ц (16.48) Взиггггодейсгнвгге с электрокаенггпгныгг полек Х/1 — хзП~ (ж) = 279 Пгп — 1 (1+ гп) (1 -и пг Ц Пгп — 1 (21 + Ц 121 — Ц + (16.49) Х/1 — жзП~~ (т)— Пгп-Ьг П ггг) (1 Ь ггг Ц 1 1гп — 1 )21 + Ц 1 (16.50) Рассмотрим то -1-1 Пгп ~.) П.
(,) ~т,ц~-!-г),У,. Учитывая формулу (16.48), получаем )а) гн '" Гз 1о гг'2р т' 2 г)1-,1,г + + 1+ ) 'дг.гг . (16.51) 12)ь Ц 121 — Ц Таким образом, отличны от нуля будут только матричные элементы переходов мегкду состояниями с 1 и 1 т. 1. Используя (16.49), 116.50), можно показать, что то же требование распространяется и на переходы с аг = з:1. Для них 1н) гтг'гг ГЗ ~ 11 Е2, ~/Л ~ Ф,г — 1 —,,11 (16,52) ы 12)+ Ц 121- Ц 11= ~/-~ ,1г-+') Г~ ~ газо '1/л ~ с11. — 1+ 11-1- т) 1) 4 т — Ц 121-г- Ц 121 — Ц Таким образом, в дипольном приближении для частицы, связанной в центральном поле, отличны от нуля только матричные элементы переходов из состояния (и, 1, т) в состояние (пг Ц т), где 1 = 1 с 1г и = т, т:с 1. г'16.54) 280 Глава 1б 9.
Формулы (16.54) задают правила отбора для векторного оператора Й. В случае многоэлектронного атома в дипольном приближении возможны лишь такие изменения электронной конфигурации, при которых изменяются квантовые числа и, 1 только одного электрона, так как оператор суммарного дипольного момента 2 „сг, есть аддитивиый оператор. Из правил отбора следует, что при дипольном излучении или поглощении одного фотона момент атома изменяется на единицу. Поскольку система «атомлполен замкнута, то из закона сохранения момента в этом случае следует необходимость приписать фотону момент импульса, равный единице.
Использованная нами при вычислениях координатная приближенная ВФ фотона изотропна. Поэтому разумно предположить, что этот момент связан со спиновым состоянием, и приписать фотону спин, равный единице. Частица с конечной массой покоя и спином, равным единице„при заданном значении импульса р находится в трех различных спиновых состояниях с проекциями в на направление импульса, равными 1, О и — 1.
Для фотона возможны лишь два направления поляризации: в„— ~1. Это связано с равенством нулю массы покоя фотона, которое выражается условием поперечности векторных ВФ фотона. 10. В качестве примера вычислим вероятность спонтанного перехода между состояниями 2р — э 13 в атоме водорода. Для переходов из р-состояния в в-состояние вероятности переходов вне зависимости от величины сззп равны з за (16.55) 32рсзь 3 где через Д обозначен радиальный интеграл д д д 2 Радиальные ВФ имеют (в атомных единицах) вил Д1о (г) = 2е ", д ( ) т — 1у2 2 ъ'6 Радиальный интеграл вычисляется элементарно: д = — ' " сл"зг' 1 = 213~2 8-"~2. Я~ Переходя к обычным единицам и подставляя это значение в формулу (16.55), получим В Лсз зз гпзс4 Взо5вчодво1тнвнв с звектроновнитнв5м волан 281 Частота излучения определяется формулой 1( ( ) Е( )) Зтв' Отсюда находим окончательное значение: "-(-.')'О " или Р' = 0,2 10" с 11.
Если матричный элемент дзч обращается в нуль, то говорят, что дипольный переход между состояниями ~г) и ~ () запрещен. В этом случае для вычисления вероятностей перехода следует улучшить приближение (16.40), положив е' '"" -1 — 11сг. Матричный элемент перехода определится интегралом 15 = у~ (г) (1сг) (ре ) у, (г) в(г. Поскольку 1се = О, удобно выбрать направления векторов к и е за оси декартовых координат, например Ох и сО соответственно. Тогда интеграл примет вид з5 = (~~И(хР, ) /а) = — (~/ (хР, +Р,у) + (хРя — Р,,У) !1).
Второй член пропорционален -компоненте орбитального момента 1в. Аналогично, для других направлений й, е матричные элементы равны — вуИ.й: — '(я й. Излучение при переходах, вероятности которых определяются этими матричными элементами, называется зиагоитныли динолы5ььи нли М1-излучением. В нерелятивистском приближении при движении в центральном поле орбитальный момент сохраняется и не имеет недиагональных матричных элементов, отличных от нуля. Поэтому магнитные дипольные переходы в этом приближении запрещены. Для многоэлелтронных атомов в случае ЕЯ-связи М1-переходы должны удовлетворять правилам отбора Лп,=О, Ы,=О (16.
56) для всех одноэлектронных ВФ. Поэтому возможны переходы только между двумя состояниями, принадлежащими одной конфигурации и обладающими одинаковыми значениями Ь и К Разности энергий таких состояний малы и соответствуют излучению частот микроволнового диапазона. 282 1 лава! б Первый член может быть преобразован следуюшим образом: + „- 1 (1.,зу~ ух~-,я) т, ~ Вычисляя матричный элемент оператора 6 между состояниями ~ги) и )и), получим (т!6!и) = — — "'- ~г ((тГух!1) (1!Н!и) — (ги/Н/1) Я~ух~гг)) .
г Учитывая, что у гамильтониана Н в собственном прелставлении отличны от нуля только диагональные элементы, получим — гг ®хрв+ ур,~г) = — ' — гт)ух~гг). Излучение, испускаемое системой при переходах, вероятности которых опрелеляются такими матричными элементами, называется эгегггирггчвскцгг квадруло:гыгылг или Е2-излучением. Правила отбора лля квадрупольных перехолов можно получить из правил 1!б.54), представив матричный элемент в виде (ги~ух~и) = у (т~уЯ (1!х!и). Таким образом, для квадрупольного излучения отличны от нуля вероятности переходов из состояния (гг,, 1, т) в состояние (и, 1, вг), где 1=1фО, 1=-1х2, ~гв — т~ < 2.
Напомним, что все вычисления в пп. 16,8 — 1б.11 относились к случаю, когда состояние системы можно описывать УШ без учета релятивистских поправок. В частности, во всех рассмотренных случаях выполнялось условие Нг1 — ~ г. При учете взаимодействия спинового магнитного момента с внешним полем отличные от нуля матричные элементы М1-переходов возможны и для частицы в центральном иоле. 12. Выше мы установили, что возбужденные состояния атомов при учете взаимодействия с электромагнитным полем не являются стационарными. Даже при отсутствии фотонов в начальный момент амплитуда возбужденного состояния атома со временем изменяется: Рп аго1г) — 1 — ~ 1., 2 1г иго « 1 « 1(Р~г ° Поэтому начальное состояние системы «атом + поле» не обладаег определенной энергией.
Рассмотрим однофотонный переход Взаггггадейсгпегге с эегекпграчаенггпгногги палс и 28З между возбужденным состоянием атома )1) с энергией Ег (вычисленной без учета взаимодействия с полем) и основным состоянием ~0) с энергией Ео. При временах, больших по сравнению с Р,1, атом почти наверное будет находится в основном состоянии с гэпределенной энергией Ео. Но поскольку в начальном состоянии система «атом + палея не обладала определенной энергией, то и конечное состояние поля (при 2 — ~ ж) будет описываться некоторой функцией распределения по энергии. Найдем вид этой функции.
Уравнения движения для амплитуд начального состояния аю и конечных состояний аог (индекс 1 здесь означает квантовые числа фотонов) имеют вид гб "" = ~~г (10)Г~01) ец"о ")'ао„ (16. 57) г)г г ггг — "' = 2 (01))')10) с Ц"" ")'а (16.58) 1 Нас интересует решение этой системы с начальными условиями ага(0) — 1г ао, (0) = О. Будем искать решение в виде агО (о) = Е ' ~ . (16.59) Подстановка этого решения в уравнение (16.58) и интегрирование по времени с учетом начальных условий приводят к соотношению аог = (ОЦЦ10) ~) ~ ' г) ~г ) (1660) Ь(х — хгг + гвгг2) Подстановка этого решения в уравнение (16.57) приводит к соотношению — )2 1 — ехр)г(хгг — гг )1Ч-Чггг2) 2 Л (гго гг .
гзгг2) г Поскольку спекгр фотонов квазинепрерывен, суммирование по 1 можно заменить интегрированием по частотам. Итак ,к) ~1х ~2 1 — охр [~ гхо — х ) 1+ огг2) „П „ 2 ) гг ггхо гп — гдгг2) о Предполагая сг малым по сравнению с ог, мы можем пренебречь этой величиной в правой части. Разобьем функцию времени под интегралом на действительную и мнимую части: 1 -. охряно . ъг)1) 1 — соо)(гго "- н)г) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
