де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 69
Текст из файла (страница 69)
11, 2)). где введена независимая переменная а,. Это выражение эквивалентно соотношению (7.47). При использовании для 7'(а,) приближения Гаусса (П3.24) выражение (П 3.25) принимает вид Распределение Гаусса для макросконически» переменных 427 равна А,. Тогда подсистемы могут быть описаны двумя микро- каноническими ансамблями в 6!ч'!- и бааз-мерных фазовых пространствах, соответствующими интервалам энергии (А,, А,+ б.А!) и (А — А,, А в А! + ЬА).
Согласно постулату об энтропии Гиббса ') и в соответствии с термодинамикой, имеем следующие выражения для энтропий подсистем после их изоляции в состоянии А,: 8! (А!) = л1п Яп!, (А!) ЬА!. Яз(А — А!) = й1п Яд, (А — А,) ЬА. Путем сравнения с (П 3.25) получаем Ял(А!', А)=5!(А )+Ба(А — А )+й1п — '. (П 3.32) ! Это доказывает, что энтропия Больцмана (неравновесного) состояния, при котором энергия малой подсистемы есть А,, с точностью до аддитивной постоянной равна сумме „локальных' равновесных значе- ний энтропий подсистемы.
Заметим также, что, согласно (П 3.5), й 1и ~ (А,) с(А! = 5! (А,) + Яз (А — А,) — 5 (А) + й 1и — ' = ! =Яв(А!; А) — о (А), (Г1 3..33) где 5(А) =7г1п Я (А) ЬА (П 3.34) есть энтропия (Гиббса) полной системы. Для наиболее вероятного состояния имеем !э!пу(А!'"')с(А! =5 (А!""'; А) — Я(А), (ПЗЗ5) или, применяя вместо А, переменную а,, Ял(к!=О' А) — Я(А)= — й1п ', (П3.36) )!сЗкд!Яз ! где было использовано также соотношение (П 3.24). Частное в (П 3.36) приближенно равно отношению ширины распределения Гаусса (П 3.24) к ширине НА!, равной наименьшему рассматриваемому интервалу энергии.
Примем, что ширина а!А!, которая должна быть значительно меньше ширины распределения Гаусса, имеет величину порядка р ') Энтропия системы по Гиббсу определяется как где э — плотность вероятности в фазовом пространстве и где интегрирование проводится по всему фазовому пространству. Для микроканонического ансамбля, соответствующего адиабатически изолированной системе, из этого определения следуют соотношения (П 3.30) и (П 3.31). 428 Приложение 1!! Тогда разность Я(А) — Яв (а, =О; А) оказывается величиной по рядка '/а)г1п Лг,. Эта величина пренебрежимо мала по сравнению с величиной 5(А), которая имеет порядок ЛИ 1см.
(П 3.34) и (П3.8)]. Это иллюстрирует известный факт, что для систем со многими сте- пенями свободы энтропия Гиббса и энтропия Больцмана для наиболее вероятного состояния почти равны друг другу. Обратимся теперь к определению интенсивных термодинамических переменных. Согласно термодинамике, температуры изолированных подсистем определяются соотношениями 1 д5,(А,) Т,(А,) дА, 1 д52 (А — А,) Тв (А — А,) дА, (П 3.37) (П 3.38) Сравнивая эти формулы с (П3.28) и (П3.32), имеем д а5 (а,) д5, (А,) д5р (А — А,) 1 1 т,(А) т (А — А1) ' (П 3.39) ЛИТЕРАТУРА 1. Х и нч и н А. И., Математические основы статистической механики, М., 1947. 2. 1г'ап де г 1, ! идеи 1., Маг и г Р.„рнуз!са, 27, 609 (19б1).
Это показывает, что интенсивная переменная Х,, сопряженная, согласно (П 3.28), флуктуациям энергии а,, есть разность обратных температур двух подсистем, которэге изолированы при фиксированном значении ан Если предположить, что вторая подсистема бесконечно велика по сравнению с первой (другими словами, если эта подсистема представляет собой тепловой резервуар), то, используя явное выражение для 52, нетрудно проверить, что температура Т, становится равной равновесной температуре Т = (7г]~) полной системы.
Тогда Х, есть флуктуация обратной температуры малой подсистемы, причем температуры всегда определяются для изолированных подсистем. ВАДАЧИ К глазе УП 1. Доказать формулу (7.13). Указание. Преобразовать 9 к диагональному виду. 2. Получить соотношение (7.63) для случая присутствия магнитного поля и вывести затем соотношение (7.93). 3. Доказать соотношения (7.111) (7.113). 4. Доказать, что ! ехр(М1) ~ = ехр ИМ: 0)1). Указание.
Преобразовать М к диагональному аиду и воспользоваться тем, что детерминант и след матрицы инвариантны относительно преобразования подобия. 5. Вывести соотношение (7.232) из (7.231), используя явный вид функций распределения. Указание. Использовать (7.231) для Г-+со. 6. Доказать, что общее выражение Гаусса Р(и! и', т) = с ехр ~ — — (А: ии+2В: ии'+С: и'«')1, (1) 2 где А и С вЂ” симметричные матрицы, сводится к Р («! и" 1) =- с ехр ~ — 2 С: («' — 0 «) (»' — 0 .
«)~, (2) где 0= — В ~ ° А и С=В А ' ° В, (3) если наложить условие (7.81). 1. Показать, что в формуле (2) задачи 6 С-'= й(9- 0 9-'.0), (4) если использовано условие (7.82). 8. Показать, что матрица 0(г) в распределении Гаусса (2) должна иметь форму 0(т) е м', (5) если выполняется условие (7.179), выражающее марковский характер про цесса. Указание. Вычисляя и"' сначала с помощью левой части (7.179), а затем с помощью правой части, получаем 0 (г .+ т') = 0 (г') . 0 (1); решением етого уравнения является (5). 9. Вывести (7.245) из (7.244) и условий (/.246).
Задачи К главе )г111 1. Найти функцию спектральной плотности (8.64) для процесса, описываемого одной»-переменной, которая подчиняется линейному закону регрессии (7.94), путем вывода дифференциального уравнения для функции кор реляции р(т) и преобразования Фурье этого уравнения. Указание.
Доказать сначала, что дифференциальное уравнение для корреляционной функции имеет вид др (т) = — Мр(в) и(т) (все т), дт где и(т) = — 1 при -. < 0 и и(т) =1 при; > О. При дифференцировании этого уравнения по т получается уравнение второго порядка, в которое входит о-функция, так как ди/д = 2Ь(т). Исключая др1дт из этого уравнения с помощью первоначального дифференциального уравнения, написанного выше, получаем уравнение, фурье-образ которого дает алгебраическое уравнение для функции спектральной плотности. 2. Найти спектральную плотность (8.80) для процесса, описываемого одной »-переменной и одной р-переменной р = », подчиняющимися а~конам регрессии (8.65) и (8.66), установив дифференциальное уравнение для функции корреляции р„„(т) и применив к этому уравнению преобразование Фурье.
Указание. Доказать сначала, что р»»(-) подчиняется уравнению .)- = т ~ )Ры(т)= — М д где и(с) =- — 1 при: =-0 и и(т) =1 при т > О. Если подействовать на это уравнение второго порядка оператором (д"/дтз+ ~Ь ~)~, то получим дифференциальное уравнение четвертого порядка. Используя опять первоначальное уравнение второго порядка в правой части полученного уравнения четвертого порядка, приходим к следующему уравнению: дгр др дар Мг Р» +2Мг Р«» и(т) к (т) — 2М Р»» з(ч) — 2М вЂ” 1 ~~"" к (т) ~. дтз Если учесть, что (д р»»/дт~),,=(Д~)= — лй ~ и (др»»/дт), в=(аР) =О, то получим дифференциальное уравнение, которое после йреобразования Фурье переходит в простое алгебраическое уравнение для спектральной плотности. 3.
Доказзть, что для системы, описываемой одной в-переменной, существуют следующие соотношения между действительной и мнимой частями обобщенной восприимчивости н(м) н корреляционной функцией р(1): 1гТк' (»») = — ~ соз»»г — г(1, дг о йТк»(»») = — ~ з!и м1 — гЫ. дг О 431 Задачи Указание. Корреляционную функцию (8.140) для систем, описываемых одной переменной, можно записать в виде кт Найдем производную по времени этого уравнения и произведем обратное преобразование Фурье. При этом непосредственно получаем второе доказываемое соотношение, если учесть, что дР(да — нечетная функция времени. Первое соотношение следует из второго согласно соотношению Крамерса— Кронига (8.102) и лемме 1 г з1п ва( соли(= —.У' 1 — (оа (( > 0).
3 и — и -оа 4. Найти соотношения, являющиеся обобщениями соотношений (8.145)— (8Л49) и выражающие микроскопическую обратимость для систем, описываемых как а-, так и 8-переменными в магнитном поле. К главе уХ 1. Уравнение Фоккера — Планка (9.117) для броуновского движения удовлетворяется следующей функцией распределения, которая является гауссовой и по координатам г и по скоростям и: Д( ( 5т 1з ( т ГР— 2НЮ ° (У+ 01Уа ~ ехр~ —— 4а,а ~ 2н~Д Рван ~ 2А ТР"" (Эту формулу можно получить из результата Чандрасекара ').) В этом вы- ражении мы использовали обозначения 8 = и — и,е ' (т = Р(), аа авар (à — Го) — ио(1 — Е '), где ио — средние начальные скорости и г,— начальные положения. Безразмерные функции г", О, Н и А = гаг — Н' зависят только от -.
(см. задачи 3 и 4 к этой главе). Используя' это выражение для у, доказать, что при этом (9.118), (9.121) н (9.126) принимают вид т 19а ( т)га (г; () = Лгбв ( ех рвуравн/ Р( 2айуравн ° в(г; () = — уаа+ иое-., Н г" у (() = — „" тр"". ') 8. С й а и б с а э е к й а г, нет, Мод. Рйуз., 1б, 1 (1943). Задачи 2. Доказать, используя результаты предыдущей задачи и соотношения (9.141) н (9.144), что (т — У' ) (Р— А) у.у Рввв РА А дуайр= — р —, ус, Рг де (РН вЂ” А — — ус+и,е- ). и 3, Функция распределения у (г, и; Ь), приведенная в задаче 1, удовлетворяет уравнению Фоккера — Планка. Доказать, что из этого вытекают следующие соотношения: — =2(1 — О), — =0 — Н.
сИ НН дт ' дт 4. Доказать, что интегрирование этих соотношений прн начальных условиях Р (0) = а )~ О, 0 (0) = Ь )~ О, Н(0) = 0 дает Р(т) = а+Ь(1 — е-')' — 3+2т+4е-' — е-") О, ~ (т) Ье-вв+ 1 е-вв ) 0 Н(т) =Ье--(1 — е-')+(1 — е ')в) О. б. Доказать, что при начальных условиях, указанных в предыдущей задаче, результаты задачи 1 в начальный момент времени у=О будут иметь вид т ~Чв ( Рзт (à — ГВ)' 1 е (г; 0) = пв, т (О> = Ьу'Р"". Заметим, что, согласно первому из этих результатов, величина а связана с полушириной йг функции р(г; 0) следующим образом: Рвт (йг)в 2ьу'Рввв Заметим также, что случай Ь =0 соответствует в-образному начальному распределению по скоростям в (и — и,), а случай Ь = 1 соответствует У'= У'Р"" при г= О.
6. Доказать, что функции, приведенные в задаче 4, в предельных случаях очень больших н очень малых времен имеют следующий вид: )> 1: Р(т) в а+Ь вЂ” 3+2т, гг (т) = 1, Н(т) 1, Задачи т (( 1: г" (т) ж и, б (т) = Ь вЂ” 2бт+2т, Н(т) = Ьт.
7. Показать, что из формулы (9Л46) для интенсивности источника энтропии следует теоТ ат ЗЬ (Т 7 Рооа)З ' Используя результаты задач 1 и 2, показать, что — оо„~ — т )С~ + 2 — 77 иОЕ '+ иОЕ Принимая во внимание результаты предшествующей задачи, доказать, что для ч ) 1 имеем а, тР(г — го Ф ~ио)з 1 (г — го 9-1ио)2 ао ЗЬТГоо" З,рр-~ где 0 = ЬТ~ '"1пф. Пусть коэффициент трения равен 10' сея-', что приближенно соответствует погруженным в воду броуновским частицам диаметром 10 з см и массой 10 'з г. Проверить, что прн этом для комнатной температуры (ЬТго'"1тп) = 40 см' сек з.
Показать, что для ~ г — го — р ~ио! «10 т см имеем (а,/ат) > 10о или а, )) ам Этот результат упоминался в тексте гл. !Х, 6 8; он, таким образом, практически всегда справедлив для жидкостей и газов, за исключением областей, имеющих пренебрежимо малые размеры (меньшие размеров броуновских частиц). 8. Доказать, что из общей формулы, приведенной в задаче 7, наряду с результатом задачи 6 для ч (( 1 следует ЗЬТооо" Ь вЂ” 1 г '( а Г (и — го) ио+(Ь+2т)иа)' аа Показать, что для б = 1 — о, где о (( 1, имеем а, )) аз; этот результат упоминался в тексте гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
