де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(5], 38 711 (1952). 441 Задачи Заметим, что в практических случаях второй член обычно пренебрежимо мал по сравнению с первым, так как (О'/зр) имеет величину порядка 10 з — 1О з град '. К главе Хl! Показать, что для несжимаемых жидкостей (д1ч е = О) связанные дифференциальные уравнения (12.32) и (!2.37) можно записать в виде — = = (() — ьд), дм 4чр (г ~е Нй Р— = — (д) + 5 ) го! го! !д+ яр го! го! м, ддд 3. Доказать, что феноменологические коэффициенты Ь и !е, введенные в (4.16) и (4.17), выражаются формулами Л=Ь,,— Л,з(=2Тч), / = — (/,,+25, з)(= Тт„,), 1 где Ь,, и Е, з — феноменологические коэффициенты задачи 2, описывающие вязкое поведение изотропной системы. 4. Вывести следующие формулы для времен релаксации при постоянных (и, в), (р, в), (о, Т) и (р, Т) 5. Вывести следующие шесть термодинамических соотношений между сжимаемостями, теплоемкостями и дА/дЕ ддрдд д, дд*дддд Э д д д (дР/до),,! (дв/дТ)а А тэрдд д =тд(рдрд, (Р/ )т,! ( ! Т)в! (дР/до)А т (дА/дЕ)эр р т, А юА (др/до)А, (дА/д$) (др/до)1, т (дА/дб), т ддддддд, дд Рддд (др/до)! д (дА/дб) (дА/д$) (дв/дТ)А р (дА/д() (дз/дТ)! где использовано обозначение (1 = '/, го! е, а также равенство (12.39).
2. Снова получить феноменологические уравнения (12.25) и (12.2б) для вязкого течения в изотропной жидкости из формы выражения (12.53), приравнивая нулю магнитное поле. Указание. Учесть, что в случае полной изотропии между коэффициентами, входящими в (12.48), существуют соотношения 1 5! з = Ез д = Лз з, 5д д = Ез ь 5з з = -~ (5з з — 5з з), 5зд=0, Лзз=б. Задачи учитывая, что все времена релаксации в задаче 4 содержат одну и ту же постоянную скорости р, которая входит в феноменологическое уравнение (12.57), но различные термодинамические величины дс/дА, и учитывая также, что можно определить четыре сжимаемости 1 /до1 и четыре теплоемкостн / дз 1 Р *тдТ/ д а ' Р р,д аналогичные четырем временам -.
задачи 4. Указание (относительно первого соотношения). Записать числитель в виде — (дз/де) /(дз/др) „, а затем преобразовать (дз/до) л в (дз/дТ) д)( )~(дТ/де) л, 'аналогично поступить с (дз/др)а л. 6. Локазать, что (др/до), Х (дР/до)д, ° Х, и вывести аналогичные соотношения, содержащие другие времена релаксации, указанные в задаче 4. 7. Можно определить „внутренние теплоемкости" следующим образом: С =С д С 1 Доказать соотношения что находится в полной аналогии с известными термодинамическими соотно- шениями при постоянных А и $ 8.
Вывести соотношение с д адюТ 2 — 1— Се д Ср дХд где ад — коэффициент расширения прн постоянном А. Указание. Применить первое соотношение задачи 5 и предпоследнее соотношение задачи 7, Задачи 9. Вывести следующие формулы, меняя местами б н А в уравнениях состояния, приведенных в гл. ХИ, ь' 4: к (О) =( — ') <О, ~до) +~дА) ~ д ) =~д ) ~(0 10. Рассмотреть идеальный газ, в котором возможна колебательно-трансляционная релаксация и для которого имеет место уравнение состояния ТсТ йТ . Р= — = — ' М ! где М=Мт — молярная масса (т — масса молекулы) и где Р=)чя— газовая постоянная (заметим, что давление р не зависит от 1 и А).
Для такого газа получить следующие формулы; и аналогичную формулу с заменой А на с. Далее, Р 11 О,А тА'+ М ' ~р,':=Си,С+ М' (2) С молярнымн теплоемкостями, например сл А ср АМ имеем куда входят так называемые, полная' и,внешняя теплоемкости и с исх,е 11. С помощью результатов задачи 10 показать, что в случае колебательно-трансляционной релаксации в идеальном газе в приближении, когда й(0) — к (со) х,=! к (со) ! (см. гл. Х11, й 4), скорость звука дается формулой си ~вт +си 1 )(Т ~и, Е( + нли с (ы) = — (с (со)+с'(ОЦ+ — (с (со) — с (0)) Й!пмт. 1 1 2 2 Доказать эквивалентность этих формул с соотношением (12.115); доказать также, что Задачи Показать также, что затухание на длину волны в втой системе равно к (Свл — Са1)Я 1 ! —— 2 С 1(С А+ 11) СЬ !Пот (Заметим, что в эту формулу входит „внутренняя теплоемкость' с,с~ =с А — с„г.) Удобно построить графики с' и р в зависимости от 1пм.
Доказать, что на этих графиках ст увеличивается от ст(0) до с'(со), про. ходя через точку перегиба при н=-. ', а величина и равна 0 при в=О, проходит через максимум при и = т-' и снова обращается в нуль при м = оо. 12. Найти термодинамические соотношения между каждыми двумя из А * четырех восприимчивостей к (м), кг(м), к; (м) и кА(м). введенных в гл. ХП, 6 4, исключая время релаксации т. Пример: ( до ). + ~ д" ) 13. Доказать две следующие формулы для релаксационных восприимчивостей (см.
гл. Х!1, Я 4): «'.(-) = ф~ 'А,э л 1 "А(м) = — ианк!(м). 14. Доказать, что если в гл. Х!1, 5 4 имеем неравенство к (о)))! й'(„) ! то получим следующий результат: мРэ Проверить, что если ! к (0) )( ! к(оо) ! и в то же время мт((1, то имеет место указанное неравенство. 16. Вывести соотношение (12.168) для эффективной объемной вязкости 4„ с помон;ью (12.98) и условия лтс(1. Указание. Как видно из (12Л36), для малых значений мт восприимчивость к.
(ь>) равна просто (дб/до)А,, отсюда следует, что Использовать этот результат и выражение для производства энтропии которре следует из (12.68) и (12.164). 16. Вывести следующее выражение для отнесений на единицу массы диссипации, вызываемой акустической релаксацией за период гармонической звуковой волны: кк (ма)!и! е т' = — ~ — 1 ! !о! уе -э г = 2 ~! др) !д з -аг.г "Рэ до ~А т1 которое справедливо в приближении «" (м)((!„"'(м) ! и мт<~1 (см. гл. ХП, й 4).
Обратить внимание на зависимость этого результата от фактора затухания у. Задачи 17. Вывести соотношение (12.169), которое справедливо для малых значений теплопроводности, следующим путем. Сначала исключить й из (1288) и (1289); это дает в в зависимости от Т. Затем с помощью этого соотношения исключить в из (12.91) — (12.93). Далее, исключить 8 из (12.90) — (12.93). При этом правые части (12.91) — (12.93) становятся линейными выражениями относительно о, А и Т.
После этого подставить сначала (12.92) а потом (12.93) в (12.91), пренебрегая членами, квадратичными по 1. Воспользовавшись соотношениями Максвелла (12.74), получаем уравнение вида (12.96) с желаемой восприимчивостью (12.169). 18. Доказать следующее термодннамическое соотношение: которое можно получить, выразив дв через до и дТ при постоянном А. К главе ХПУ 1. Вывести уравнение сохранения электрпчес«ого заряда дал — = — д1ч Т дг из уравнения баланса массы компонента 7г двл — = — б!ч (рве+У ) (1=1, 2,..., и) (ср. гл.
11). 2. доказать, что при механическом равновесии условие термодинамического равновесия (13.43) принимает вид лл /дА Вгабрл = — — ( — — 1пго1 А)) с (,дг (1=1, 2, ..., и). 3. Доказать, что энергия э(и+пг12) [где и определяется соотноше- нием (13.46)] сохраняется при условиях дч 1 дА рл — =О, — 1.— =О. дг ' с дг 4. На основании выражения (13.155) для производства энтропии можно установить феноменологические уравнения в = 5,,Е+5, гыгг, ,/= 52,Е+ 7., Яигг, справедливые для изотропной жидкости при выполнении соотношения Онсагера 7~ э=Ел ~ которое используется при переходе от (12.172) к (12.173).
Указание. Воспользоваться первым из системы шести соотношений задачи 5, предпоследним результатом задачи 7 и, кроме того, соотношением Эпдачи Можно определить следующие три физические величины: удельную электРопРоводность (1)Е) с, седиментационный потенциал (Е~Е)~ в, массовый коэффициент электрофореза (1(Е)д щ где у=м'г. Доказать, что между этими величинами существует следующее соотношение: являющееся следствием соотношения Онсагера. К главе ХУ 1. Доказать, что если в химических реакциях ие сохраняется потен.
циальная энергия, т. е. если формула (2.27) не используется в расчетах, проведенных в гл. ХЧ, 9 2 и 3 [см. (15.24)~, то мы получим выражение для производства энтропии в виде (15.57), но вместо (15.63) имеем А' а 1 х = — —, Т где А. =А + г фа~ау — — т РР . а.1 г(гЭ' 1 и;У' ~ч рл дМл — — — — — — (а=1, 11), а'г Т' И л~й Т и"г л-1 где дг дг аг как в (15.12), (15.14) и (15.15).
3. С помощью введенной в гл. Х переменной полноты с1 химической реакции 1 можно записать (15.60) в виде Показать, что при этом феноменологическое уравнение (15,98) можно записать в виде т 1' г куда не входит масса М'. (если пренебречь членами более высокого порядка, чем билинейные члены в в„эв,). 2. Доказать с помощью (15.15) и (15.48), что соотношение (!5.52) можно записать в другом виде: 447 Задачи 4, Доказать, что соотношения (15.83) и (15.117) можно записать соответственно в виде л л г'= ~ ~~~~ л а е . г(().
и л=! 5. Показать, что матрица (15.84) получается из общего выражения (10.34), если весовые множители выбрать в виде аз= са. 6. Вывести соотношения (15.106) — (15.108) из выражений (15.99) — (15.104). 7. Вывести соотношения (15.109) и (15.110) из (15.106) — (15.108). 8.
Установить формализм для общего случая, который илгеет место при комбинировании первого и второго примеров, обсуждавшихся в конце 9 3 и в 9 4 гл. ХН. 9. Доказать, что если в формализме, использованном в гл. ХЧ, 9 5 заменнть индекс о на 0 и записать Лр в виде Ли„то для стационарного состоян!я с фиксированным ЛТ получим л-1 Лг-'!л ~ -1 — — т Л Лг — (лг=О, 1, ..., и — 1), Лт .2~ м гчт -о где л 1 — матрица, обратная матрице л„! (т, !'=О, 1, ..., и — 1). 10. Результат задачи 9 содержит как термомолекулярную разность давлений, так и эффект термоэффузии. Вывести соотношение (15.138) из этого результата. используя обычные правила теории детерминаитов.
11. Доказать, что из (15.76) — (15.78) следует (как было показано, члены П.е пренебрежимо малы) 7 ~ (7 ( ! ),л(1 ~ угбс Г!1 л о! у ~ (7 ( 1!) лг! ~ л ~() ~ таас д() л ус=.) ~~~~~ба л 'гг!г= ~та'гт() !! а=! О) где в последнем равенстве использованы обозначения гл. Х1, 6 7. Найти соотношение (15.70): л Ая= У Х "аул Ф =-1 также из формализма гл.
Х1, 9 7 и первых трех формул этой задачи. 12. Доказать, что величины переноса, определенные формулами л л У ='ХилУ У =Хг) .га (ЛТ О) а 1 а 1 448 Задача связаны соотношением и показать, что Р 4» = 0л„е„ где величины в правой части определены в гл. Х1, ф 7. !3. В гл. ХЧ, ф 5 мы нашли соотношение Доказать, что величины переноса, определяемые соотношением У, =,'Я длил (бТ = О), л-1 удовлетворяют соотношению ~У = ил — ь. 14.
Доказать, что величины переноса и* и д*, определяемые как Л =а*1, Уа=Ч'.7 ФТ=б» связаны соотношением 16. Показать, что в газе Кнудсеиа (идеальиый газ, заключенный в двух сосудах с отверстием между ними; диаметр отверстия мал по сравнению со средней длиной свободного пробега в газе) энергия переноса равна 2ИТ 2йТ и' == — = —, т М (1) где й — постоянная Больцмана,т — масса молекулы, Р— газовая постоянная и М вЂ” молекулярная масса (А =- йАГ и М = тМ, где Аг — число Авогадро) Указания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
